专题2.5 以子数列或生成数列为背景的解答题（原卷版）

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1、 专题二 压轴解答题第五关 以子数列或生成数列为背景的解答题【名师综述】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法来源：Z|xx|kCom类型一 排序数列分类讨论问题典例1已知数列、满足，其中，则称为的“生成数列”（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，依次将数列，

2、的第项取出，构成数列探究：数列是否为等比数列，并说明理由【举一反三】1对于数列，把作为新数列的第一 项，把或作为新数列的第 项，数列称为数列的一个生成数列例如，数列 的一个生成数列是已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和（1）写出的所有可能值；来源:（2）若生成数列满足，求数列的通项公式2已知数列满足，其中，为非零常数来源:Z。xx。k.Com（1）若，求证： 为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是公差不等于零的等差数列求实数，的值；-网数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在

3、，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由类型二 不定子数列性质探究问题典例2记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令（）若，请写出的值；（）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件； （）若，求证：存在，使得，有 【举一反三】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得，恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，恒成立（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记 ，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由类型三 新数列中定义理解与应用问题典例3【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数

4、列为“回归数列”（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，且对于任意，均有成立求数列的通项公式；求所有的正整数s，t，使得等式成立【举一反三】设数列A：， ()如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；学_（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；来源:Z*X*X*K（3）证明：若数列A满足- 1（n=2，3，N），则的元素个数不小于 -【精选名校模拟】1若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数（

5、1）已知，且，写出、；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且（），若数列中，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值2【20192019上海浦东新区一模】已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为求，并猜想不要求证明)；令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；已知数列满足：，数列满足：，求证：来源:Z。xx。k.Com3【2019江苏南师大附中第一学期期中考】已知，都是各项为正数的数列，且，对

6、任意的正整数n，都有，成等差数列，成等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）若存在p0，使得集合M恰有一个元素，求实数的取值范围来源:Z_X_X_K4【2019苏北三市一模】已知数列满足对任意的，都有，且，其中，记（1）若，求的值；（2）设数列满足 求数列的通项公式； 若数列满足，且当时，是否存在正整数，使，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由5【2019江苏徐州2019届高三第一学期期中】设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的

7、通项公式； 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：6【2019江苏徐州一中上学期第一次月考】各项均为正数的数列中，设，且(1)设，证明：数列是等比数列；(2)设，求集合7【2019北京通州第一学期期末考】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数质数的个数是无穷的设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，中所有不大于的项的和为（）求和； ()判断和的大小，不用证明；（）设，求证：，使得8【2019北京丰台第一学期期末】将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质_网（）写出一个具有性质的数阵

8、，满足以下三个条件：，数列是公差为2的等差数列，数列是公比为的等比数列；（）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵试判断数阵是否具有性质A，并说明理由9【2019上海静安高三上学期期末质检】将个数，的连乘积记为，将个数，的和记为（）（1）若数列满足，设，求；（2）用表示不超过的最大整数，例如，若数列满足，求的值；（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）10定义为n个正数的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为（1）求数列an的通项公式（2）设数列的前n项

9、和为，若4对一切恒成立试求实数m的取值范围(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由11【2019上海华东师范大学第二附属中10月模拟】设数列an的前n项和为Sn若，则称an是“紧密数列”（1）已知数列an是“紧密数列”，其前5项依次为1、，求x的取值范围（2）若数列an的前n项和Sn=，判断an是否是“紧密数列”；并说明理由（3）设数列an是公比为q的等比数列，若数列an与Sn都是“紧密数列”，求q的取值范围12【2019重庆綦江区实验中学模拟】已知曲线，过曲线上一点（异于原点）作切线（I）求直线与曲线的另一交点的坐标（结果用表达）；（II）在（I）的结论中

10、，求出的递推关系若，求数列的通项公式；（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数使得不等式对一切 恒成立，若存在，求出的最小值；否则请说明理由13已知等差数列an、等比数列bn满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）按如下方法从数列an和数列bn中取项：第1次从数列an中取a1，第2次从数列bn中取b1，b2，第3次从数列an中取a2，a3，a4，第4次从数列bn中取b3，b4，b5，b6，第2n1次从数列an中继续依次取2n1个项，第2n次从数列bn中继续依次取2n个项，由此

11、构造数列cn：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，记数列cn的前n项和为Sn，求满足Sn22014的最大正整数n14若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；学_（3）设是无穷数列，已知求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”15已知数列满足数列 前项和为() 求数列的通项公式；（）若，求正整数的值；（）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不

12、存在，说明理由www216已知数列各项均为正数，且对任意恒成立，记的前项和为（1）若，求的值；（2）证明：对任意正实数，成等比数列；（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由17设首项为1的正项数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）数列是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（3）设试问是否存在正整数使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由18记对数列和的子集T，若，定义；若，定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时，（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：9