专题01 极值点的关系证明高考数学压轴题典例剖析（解析版）

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1、专题01 极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数,其中为正实数 (1)若函数在处的切线斜率为，求的值；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有两个极值点，求证：【答案】(1)(2)单调减区间为,单调减区间为(3)见解析【解析】(1)因为，所以，则,所以的值为(2)，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,单调减区间为(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且因为要证,只

2、需证构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且则在上递减,上递增,所以的最小值为因为,当时,则,所以恒成立所以,所以，得证2、已知。=网(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.(2),令,时,无极值点,时,令得:或,由的定义域可知,且,且,解得:,为的两个极值点,即,且,得:,令,时,在递减,时,不合题意,综上,.3、已知函数（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，若过两点，的直线

3、与轴的交点在曲线上，求的值【答案】（1）当时，的极大值为；当时，的极小值为；（2）见解析；（3）或或=网【解析】（1）当时，则则的关系如下：来源:来源:增减增所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为（2），当时，且仅当时，所以在R是增函数当时，有两个根当时，得或，所以的单独增区间为：；当时，得，所以的单独减区间为：（3）由题设知，是的两个根，且所以同理，所以，直线的解析式为设直线与轴的交点为则，解得代入得因为在轴上，所以解得，或或4、已知。(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).来源:【解析】(1)当时,在上为单

4、调递增函数,即,只需满足即可,即.(2),令,时,无极值点,时,令得:或,由的定义域可知,且,且,解得:,为的两个极值点,即,且,得:,令,时,在递减,时,不合题意,综上,.【专题练习】1、设函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，且，求证：.【答案】（1）；（2）函数在，单调递增，在单调递减（3）当函数有两个极值点时，故此时，且，即，所以，设，其中，则，由于时，故在是增函数，故，所以.来源:ZXXK当，即时，的两个根为，当，即时，当时，来源:故当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在，单调递增，在单调递减（3）当函数有两个极值点时，故此时，且，即，所以，设，其中，则，由于时，故在是增函数，故，所以.2、已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，所以.因此曲线在点处的切线方程为.（2）由题意得，故的两个不等的实数为.由韦达定理得，解得.故，设.则，所以在上单调递减，所以.因此的取值范围为.9