2018-2019学年湖南省衡阳八中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年湖南省衡阳八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）sin240的值为（）ABCD2（5分）已知向量，若，则与的夹角为（）ABCD3（5分）已知角的终边经过点（2，3），则（）A5BCD54（5分）已知，则在上的投影为（）ABCD5（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b，A，则B（）ABC或D或6（5分）已知tan2，则（）ABCD7（5分）已知ABC中，ABC90，AB2，D是边BC上一动点，则（）A2B2C4D无法确定8（5分）已知向量（其中0

2、，），若函数为偶函数，则的取值为（）ABCD9（5分）已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA4，且，则ABC的外接圆半径为（）ABCD10（5分）在ABC中，若2sincossinCcos2，则ABC是（）A等边三角形B等腰三角形C非等腰三角形D直角三角形11（5分）若对于任意xR都有f（x）+2f（x）3cosxsinx，则函数yf（2x）cos2x的图象的对称中心为（）A（k，0），kZB（k，0），kZC（，0），kZD（，0），kZ12（5分）如图，已知圆M：（x4）2+（y4）24，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为边AB，AD的中点

3、，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A8，8B8，8C4，4D4，4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设平面向量，若，则b等于 14（5分）若ABC的三边长为2，4，5，则ABC的最大角的余弦值为 15（5分）已知sin2x+cosx+m0对任意xR恒成立，则m的取值范围是 16（5分）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知均为锐角，且，（1）求cos（+）的值（2）若，求cos的值18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边

4、分别为a，b，c，已知（1）求角C的大小（2）若c4，ABC的面积为，求ABC的周长19（12分）已知函数的部分图象如图所示（1）求A，的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值20（12分）如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，（1）若，求x，y的值；（2）若，且与的夹角为60时，求的值21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，f（C）0，sinC+sin（BA）2sin2A，求ABC的面积22（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）cosx的图象经如下变换得到：先将g（x

5、）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）m在0，2）内有两个不同的解，（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（）12018-2019学年湖南省衡阳八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）sin240的值为（）ABCD【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：sin240sin（180+60

6、）sin60，故选：D【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键2（5分）已知向量，若，则与的夹角为（）ABCD【分析】求出的模，利用向量的数量积求解两个向量的夹角【解答】解：向量，若，设与的夹角为，5，52cos5，可得故选：B【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力3（5分）已知角的终边经过点（2，3），则（）A5BCD5【分析】利用任意角的三角函数的定义求tan，再由两角差的正切求【解答】解：角的终边经过点（2，3），tan，故选：A【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的正切，是基础题4（5分）已知，则在上的投影为（）A

7、BCD【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可【解答】解：，则在上的投影为：故选：C【点评】本题列出向量的数量积应用，是基本知识的考查5（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b，A，则B（）ABC或D或【分析】由已知即正弦定理可得sinB，由ba，可得范围B（，），即可得解B的值【解答】解：a2，b，A，由正弦定理，可得：sinBba，可得：B（，），B或故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题6（5分）已知tan2，则（）ABCD【分析】利用已知条件，求出正弦函数值，然后求解即可【解答】解：t

8、an2，则故选：A【点评】本题考查数控技术化简求值，同角三角函数基本关系式的应用7（5分）已知ABC中，ABC90，AB2，D是边BC上一动点，则（）A2B2C4D无法确定【分析】先将向量分解为 +，然后利用数量积性质进行计算【解答】解：（）4+04故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算以及线性运算，属于中档题目8（5分）已知向量（其中0，），若函数为偶函数，则的取值为（）ABCD【分析】根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，利用函数是偶函数，求出的值，进行判断即可【解答】解：2cos2（x+）+sin（2x+2）1+cos（2x+2）+sin（2x+2）1+2sin（2x+2+）

9、，若f（x）是偶函数，则2+k，kZ，即+，kZ，当k0时，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的性质，利用向量数量积的公式结合辅助角公式以及三角函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键9（5分）已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA4，且，则ABC的外接圆半径为（）ABCD【分析】根据题意，设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得acosB+bcosAc，即可得c的值，又由正弦定理可得2R，变形计算可得答案【解答】解：根据题意，设ABC的外接圆半径为R，则2R，则acosB+bcosA2RsinAcosB+2RsinBcosA2R（sinAcosB+

10、sinBcosA）2RsinCc，则c4，则2R，则R，故选：C【点评】本题考查正弦定理的应用，关键是求出c的值，属于基础题10（5分）在ABC中，若2sincossinCcos2，则ABC是（）A等边三角形B等腰三角形C非等腰三角形D直角三角形【分析】由已知利用倍角公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos（BC）1，结合角的范围，即可得解ABC是等腰三角形【解答】解：2sincossinCcos2，sinBsinC，可得：2sinBsinC1+cosA1（cosBcosCsinBsinC），sinBsinC1cosBcosC，可得：sinBsinC+cosBcosC1，c

11、os（BC）1，B，C（0，），BC（，），BC0，可得：BC，则ABC是等腰三角形故选：B【点评】本题主要考查了倍角公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题11（5分）若对于任意xR都有f（x）+2f（x）3cosxsinx，则函数yf（2x）cos2x的图象的对称中心为（）A（k，0），kZB（k，0），kZC（，0），kZD（，0），kZ【分析】根据题意求出函数f（x）的解析式，再化f（x）为正弦型函数，可得函数yf（2x）cos2x的解析式，根据正弦函数的对称性，求出图象的对称中心【解答】解：对任意xR，都有f（x）+2f（x）3co

12、sxsinx，用x代替x，得f（x）+2f（x）3cos（x）sin（x），即 f（x）+2f（x）3cosx+sinx；由组成方程组，解得f（x）sinx+cosx，yf（2x）cos2xsin2x，令2xk（kZ），得x，yf（2x）cos2x的对称中心为（，0），kZ故选：D【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，求出函数f（x）的解析式是解题的关键，属基础题12（5分）如图，已知圆M：（x4）2+（y4）24，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A8，8B8，8C4，4D4，4【分析】由于，可得0，

13、根据M的半径为2，ME，OM，可得8，8，即可得出【解答】解：由题意可得：，+，0；M的半径为2，ME又OM，8，8，8，8故选：B【点评】本题考查了数量积运算、向量垂直与数量积的关系、余弦函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设平面向量，若，则b等于2【分析】根据即可得出3b60，解出b即可【解答】解：；3b60；b2故答案为：2【点评】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系14（5分）若ABC的三边长为2，4，5，则ABC的最大角的余弦值为【分析】由余弦定理即可得到最大角的余弦值【解答】解：由于ABC的三边长为2，4，5，

14、可得5所对的角为最大角，不妨设此角为C，由余弦定理，得cosC故答案为：【点评】本题求最大角的余弦着重考查了利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题15（5分）已知sin2x+cosx+m0对任意xR恒成立，则m的取值范围是（1，+）【分析】由题意可得，mcos2xcosx1恒成立，根据二次函数的性质可只要求出cos2xcosx1的最大值即可求解【解答】解：sin2x+cosx+m0恒成立，1cos2x+cosx+m0恒成立，即mcos2xcosx1恒成立，根据二次函数的性质可知，当cosx1时，cos2xcosx1取得最大值1，则m1故答案为：（1，+）【点评】本题主要考查了利用恒成立问题转

15、化为求解最值问题，及二次函数闭区间上最值的求解是求解问题的关键16（5分）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是3，5【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可【解答】解：非零向量，夹角为，若|2|，|cos2cos，不等式|3+|+|对任意恒成立，9+6+2+2，即32+12cos+4cos+2；整理可得，（332）+（124）cos0恒成立，cos1，1，解得，即35故答案为：3，5【点评】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字

16、说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知均为锐角，且，（1）求cos（+）的值（2）若，求cos的值【分析】（1）利用向量模长公式进行转化求解，结合两角和差的余弦公式进行计算即可（2）根据两角和差的余弦公式进行转化求解【解答】解：（1），（2），是锐角，coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin+【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合向量模长公式以及两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角C的大小（2）若c4，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理可得sinBcosCsinC

17、sinB，结合sinB0，可求tanC，结合范围C（0，），可求C的值（2）由已知利用三角形面积公式可求ab，根据余弦定理可解得a+b8，即可解得ABC的周长【解答】解：（1）在ABC中，bcosCcsinB由正弦定理可得：sinBcosCsinCsinB，sinB0，可得：tanC，C（0，），C（2）C，c4，ABC的面积为4absinCab，解得：ab16，由余弦定理可得：16a2+b2ab（a+b）23ab（a+b）2316，解得：a+b8，ABC的周长a+b+c8+412【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题19（1

18、2分）已知函数的部分图象如图所示（1）求A，的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，可得函数的解析式（2）由题意利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调增区间（3）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）根据函数的部分图象，可得A2，2（2）由（1）可得f（x）2sin（2x+），令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ（3）在区间上，2x+0，故当2x+0时，函数f（x）取得最小值为2sin00；当2x+时，函数f（x）取得最大

19、值为2sin2【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题20（12分）如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，（1）若，求x，y的值；（2）若，且与的夹角为60时，求的值【分析】（1）由得，用、表示即可；（2）由2得2（），求出，再计算的值【解答】解：（1）由，得，所以（+）+，所以x，y；（2）由2，得2（），所以+；又|4，|2，且与的夹角为60，则（+）（）+42+22+42cos608【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题21（12分）已知函数（1）求函

20、数f（x）的最小正周期；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，f（C）0，sinC+sin（BA）2sin2A，求ABC的面积【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据正弦函数的周期公式即可计算得解（2）由题意可得，结合范围0C，可得，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA2sinAcosA，分类讨论可求三角形的面积【解答】解：（1）函数f（x）的最小正周期是（2），且f（C）0，0C，可得02C2，可得，由sinC+sin（BA）2sin2A，得sin（A+B）+sin（BA）2sin2A，sinAcosB+cosAsinB+sinB

21、cosAcosBsinA4sinAcosA，整理得sinBcosA2sinAcosA，若cosA0，则，又，b此时ABC的面积为，若cosA0，则sinB2sinA，由正弦定理可知b2a，由余弦定理，于是此时ABC的面积为SabsinC综上所述ABC的面积为【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式以及正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题22（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位

22、长度（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）m在0，2）内有两个不同的解，（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（）1【分析】（1）由函数yAsin（x+）的图象变换规律可得：f（x）2sinx，从而可求对称轴方程（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）sin（x+）（其中sin，cos），从而可求|1，即可得解（ii）由题意可得sin（+），sin（+）当0m时，可求2（+），当m0时，可求32（+），由cos（）2sin2（+）1，从而得证【解答】解：（1）将g（x）cosx的图象上所有点的纵坐标伸

23、长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cosx的图象，再将y2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y2cos（x）的图象，故f（x）2sinx，从而函数f（x）2sinx图象的对称轴方程为xk（kZ）（2）（i）f（x）+g（x）2sinx+cosx（）sin（x+）（其中sin，cos）依题意，sin（x+）在区间0，2）内有两个不同的解，当且仅当|1，故m的取值范围是（，）（ii）因为，是方程sin（x+）m在区间0，2）内的两个不同的解，所以sin（+），sin（+）当0m时，+2（），即2（+）；当m0时，+2（），即32（+）；所以cos（）cos2（+）2sin2（+）12（）21【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想