2018-2019学年湖南省五市十校高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年湖南省五市十校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M2，4，6，N1，2，则MN（）A2，4，6，1，2B1，2，4，6C1，4，6D22（5分）下列条件：ab；ba；ab0；其中一定能推出a2b2成立的有（）A0个B3个C2个D1个3（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a42a3，a11，则S4（）A31B15C8D74（5分）若实数x，y满足约束条件，则2x+y的最大值为（）A3B1C9D105（5分）已知向量（1，2），（4，2），则与的夹角为（）ABCD6（

2、5分）已知Sn为等差数列an的前n项和，S33，a33，则a1011（）A2019B1010C2018D10117（5分）函数f（x）xcosx+x在，上的图象大致为（）ABCD8（5分）如图，某人在点B处测得某塔在南偏西60”的方向上，塔顶A仰角为45，此人沿正南方向前进30米到达C处，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A20米B15米C12米D10米9（5分）若关于x的不等式log2（ax22x+3）0的解集为R，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）10（5分）已知关于x的不等式ax+6的解集为（b，9），则a+b的值为（）A4B5C7D911（5分）将函数f（x

3、）sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象，则yg（x）在区间，上的最小值为（）ABCD12（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）f（x），当x1，0时，f（x）x2，则函数g（x）（x2）f（x）+1在区间3，7上所有零点之和为（）A4B6C8D12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为   14（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与

4、A1C1所成角的大小是   15（5分）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动若1，则的最小值为   16（5分）若正实数a，b满足a+b4，则+的最小值是   三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和饨角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OAOB（1）求（2）若点A的横坐标为，求sin（+）+sin（）的值18（12分）如图，三棱锥VABC中，VAVBACBC，D、E、F、G分别是AB、BC、VC、VA的中点（1）证明：AB平面

5、VDC；（2）证明：四边形DEFG是菱形19（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且abcosC+csinB（1）求角B；（2）若a，b，求AC边上的高20（12分）已知数列an满足an+1an+2n+2，a13（1）证明：数列an2n为等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn21（12分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x4y40截得的弦长为2（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+50上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标22（12分）对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在

6、实数m，n使h（x）mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的（1）若函数h（x）4x2+2x+3是“基函数f（x）3x2+x，g（x）kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）log3（9x1+1），g（x）x1”生成一个函数h（x），且同时满足：h（x+1）是偶函数；h（x）在区间2，+）上的最小值为2（log3101）求函数h（x）的解析式2018-2019学年湖南省五市十校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M2，

7、4，6，N1，2，则MN（）A2，4，6，1，2B1，2，4，6C1，4，6D2【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合M2，4，6，N1，2，MN1，2，4，6故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）下列条件：ab；ba；ab0；其中一定能推出a2b2成立的有（）A0个B3个C2个D1个【分析】对于可分别对a，b取特殊值来说明一定能推出a2b2，对由不等式的性质可直接得出a2b2成立【解答】解：ab，不一定能推出a2b2，如a1，b2时；ba，不一定能推出a2b2，如a1，b1时；ab0时，由不等式的基本性质知，a2b2成立因此不能

8、，能故选：D【点评】本题考查不等式的基本性质，属基础题3（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a42a3，a11，则S4（）A31B15C8D7【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q2，由此能求出S4【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，a42a3，a11，q32q2，解得q2，S415故选：B【点评】本题考查等差数列的前4项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）若实数x，y满足约束条件，则2x+y的最大值为（）A3B1C9D10【分析】先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可

9、【解答】解：由实数x，y满足约束条件画出可行域如图：目标函数z2x+y可化为：y2x+z得到一簇斜率为2，截距为z的平行线要求z的最大值，须满足截距最大当目标函数过点A时截距最大又，x3，y3，点A的坐标为（3，3）z的最大值为：23+39故选：C【点评】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度属简单题5（5分）已知向量（1，2），（4，2），则与的夹角为（）ABCD【分析】根据向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算即可求出，从而可以得出与的夹角【解答】解：；与的夹角为故选：D【点评】考查向量数量积的坐标运算

10、，向量垂直的充要条件，向量夹角的定义6（5分）已知Sn为等差数列an的前n项和，S33，a33，则a1011（）A2019B1010C2018D1011【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式能求出首项和公差，由此能求出第1011项【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，S33，a33，解得a11，d2，a10111+101022019故选：A【点评】本题考查等差数列的第1011项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）函数f（x）xcosx+x在，上的图象大致为（）ABCD【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及f（）的符号，利用排除法，可得答案【解答】解

11、：f（x）xcos（x）xxcosxxf（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C，令函数f（x）xcosx+x0，则x0，或x，故函数有三个零点，排除D，由f（）0，排除B，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，利用排除法，是解答此类问题最常用的方法8（5分）如图，某人在点B处测得某塔在南偏西60”的方向上，塔顶A仰角为45，此人沿正南方向前进30米到达C处，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A20米B15米C12米D10米【分析】先设出塔高为h，进而在RtAOB中求得OBOA，在RtAOC中根据ACO30表示出OC最后在OCB中，利用余弦定理求得关于h的一元二次方程进而求得

12、h【解答】解：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ABO45，则OBOAh在RtAOC中，ACO30，则OCh，BC30在OCB中，由余弦定理得：OB2OB2+CB22OBCBcos60，即（h）2h2+3022h30cos60，h2+15h4500，解得h15或h30（舍）；故选：B【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是将实际问题转化为解三角形的问题解答；考查了学生综合分析问题和解决问题的能力9（5分）若关于x的不等式log2（ax22x+3）0的解集为R，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）【分析】由题意可得 ax22x+20恒成立，可得 ，由此求得a 的范围

13、【解答】解：关于x的不等式log2（ax22x+3）0的解集为R，ax22x+31恒成立，即 ax22x+20恒成立，求得a，故选：C【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于基础题10（5分）已知关于x的不等式ax+6的解集为（b，9），则a+b的值为（）A4B5C7D9【分析】由题意可得，9和b是ax+6的两个实数根，由此求出a和b的值，可得a+b的值【解答】解：关于x的不等式ax+6的解集为（b，9），9和b是ax+6的两个实数根，a39+6，且ab+6，求得a5，b4 或9（舍去），故a+b9，故选：D【点评】本题主要考查其它不等式的解法，属于基础题11（5分）将函数f

14、（x）sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象，则yg（x）在区间，上的最小值为（）ABCD【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论【解答】解：将函数f（x）sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得ysin（2x+）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数yg（x）sin（x+）的图象在区间，上，+，故当+时，g（x）取得最小值为，故选：A【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数

15、的最值，属于基础题12（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）f（x），当x1，0时，f（x）x2，则函数g（x）（x2）f（x）+1在区间3，7上所有零点之和为（）A4B6C8D12【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由f（x+2）f（x）f（x），得f（x+4）f（x+2）（f（x）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（x）是R上的奇函数，当x1，0时，f（x）x2，x0，1时，f（x）x2，x2，1时，f（x）（x+2）2，x1，2时，f（x）（

16、x2）2，f（0）0，则f（2）f（0）0，f（2）0由h（x）（x2）f（x）+10得（x2）f（x）1，当x2时，（x2）f（x）1，不成立，即x2，则f（x），作出函数yf（x）和y的图象如图：则两个函数关于点（2，0）对称，两个图象有4个交点，两两关于（2，0）对称，则函数h（x）（x2）f（x）+1在区间3，7上所有零点之和为4+48，故选：C【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件判断函数的周期，以及求出函数在一个周期上的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为4

17、5【分析】由两点求斜率公式可得AB所在直线斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解【解答】解：直线l过点A（3，1），B（2，0），由两点求斜率公式可得：设直线l的倾斜角为（0180），tan1，则45故答案为：45【点评】本题考查直线的斜率公式，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题14（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是60【分析】先作出异面直线EF与A1C1所成角，再在正BA1C1中即可得解【解答】解：连接A1B，则A1BEF，则BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角，在正BA1C1中，BA1C160，故答

18、案为：60【点评】本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题15（5分）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动若1，则的最小值为【分析】建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为（0，b），求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案【解答】解：建立如图所示的坐标系，1，则AO1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB，故A（1，0），B（0，），设P点坐标为（0，b），b，0，则（1，b），（0，b+），当b时，取最小值，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，难度中档16（5分）若正实数a，b满足a+b

19、4，则+的最小值是【分析】由题意可得+（a+1）+（b+1）（+），展开后，运用基本不等式可得所求最小值【解答】解：正实数a，b满足a+b4，则+（a+1）+（b+1）（+）（5+）（5+4），当且仅当b2a+1，即a1，b3时，上式取得等号，可得+的最小值是，故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于基础题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和饨角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OAOB（1）求（2）若点A的横坐标为，求sin（+）+sin（）的

20、值【分析】（1）直接利用OAOB，得到，进一步利用诱导公式和关系式的变换求出结果（2）利用单位圆的应用和和角公式的应用求出结果【解答】解：（1）锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OAOB则，所以，所以（2）点A的横坐标为，所以，所以sin（+）+sin（）【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式的应用，单位圆的应用，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力18（12分）如图，三棱锥VABC中，VAVBACBC，D、E、F、G分别是AB、BC、VC、VA的中点（1）证明：AB平面VDC；（2）证明：四边形DEFG是菱形【分析】（1

21、）推导出ABVD，ABCD，由此能证明AB平面VDC（2）推民出DEGF，且DEGF，从而四边形DEFG是平行四边形，再由VBAC，得GDDE，由此能证明四边形DEFG是菱形【解答】证明：（1）VAVB，D是AB的中点，ABVD，ACBC，D是AB的中点，ABCD，CDVDD，CD平面VDC，VD平面VDC，AB平面VDC（2）D，E分别是AB，BC的中点，DEAC，且AC2DE，同理，GFAC，且AC2GF，DEGF，且DEGF，四边形DEFG是平行四边形，VBAC，GDDE，四边形DEFG是菱形【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四边形是菱形的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

22、基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且abcosC+csinB（1）求角B；（2）若a，b，求AC边上的高【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出B的值（2）利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出高【解答】解：（1）在ABC中，已知abcosC+csinB根据正弦定理，整理得，所以，由于0B，C，所以，即tanB，解得（2）由正弦定理得，整理得，由于ab，所以，所以AC边上的高h【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力20（12

23、分）已知数列an满足an+1an+2n+2，a13（1）证明：数列an2n为等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn【分析】（1）由等差数列的定义，将原等式变形即可得证；（2）运用等差数列的通项公式可得an2n+2n1，再由数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）证明：an+1an+2n+2，a13可得an+12n+1an2n+2，即有数列an2n为首项为1，公差为2的等差数列；（2）an2n1+2（n1）2n1，即为an2n+2n1，可得前n项和Sn（2+4+2n）+（1+3+2n1）+n（1+2n1）2n+12+n2【点评】本题考查等差数列和等比数

24、列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题21（12分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x4y40截得的弦长为2（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+50上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标【分析】（1）设圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标，进而得方程；（2）利用P点所在直线设P点坐标，利用过A，P，C的圆以PC为直径，设圆上任一点M，满足MPMC，结合数量积为0，可得圆系方程，解得定点坐标【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a0

25、），则C到直线2x4y40的距离d，由弦长为，r2，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得d2r23，解得a3或a（舍），圆C的方程为：（x3）2+y24；（2）由（1）知，C（3，0），设P（m，m5），PA为切线，PAAC，过A，P，C的圆是以PC为直径的圆，设圆上任意一点M（x，y），则，（xm，y+m+5）（x3，y）0，得（xm）（x3）+y（y+m+5）0，可得x2+y23x+5ym（xy3）0，由解得或，故经过A，P，C三点的圆所过定点的坐标为（3，0）和（1，4）【点评】此题考查了圆的方程，圆系方程，直线与圆的关系等，难度适中22（12分）对于定义域相同的函数f（x）和g

26、（x），若存在实数m，n使h（x）mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的（1）若函数h（x）4x2+2x+3是“基函数f（x）3x2+x，g（x）kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）log3（9x1+1），g（x）x1”生成一个函数h（x），且同时满足：h（x+1）是偶函数；h（x）在区间2，+）上的最小值为2（log3101）求函数h（x）的解析式【分析】（1）由题意设4x2+2x+3m（3x2+x）+n（kx+3），由恒等式可得m，n，k的关系，求得k；（2）设h（x）mlog3（9x1+1）+n（x1），运用偶函数的定义和单

27、调性的定义，求得m，n的关系，以及最值，可得m，n的值，进而得到所求解析式【解答】解：（1）函数h（x）4x2+2x+3是“基函数f（x）3x2+x，g（x）kx+3”生成的，设4x2+2x+3m（3x2+x）+n（kx+3），可得3m4，m+nk2，3n3，解得k；（2）设h（x）mlog3（9x1+1）+n（x1），由h（x+1）h（x+1），可得mlog3（9x+1）+n（x）mlog3（9x+1）+nx，即为mlog32nx，即mlog39x2nx，可得2mx2nx，即mn，可得h（x）mlog3（9x1+1）（x1）mlog3，令y，x2，再令3x1t（t3），则yt+，设3t1t2，可得y1y2t1+t2（t1t2），由3t1t2，可得t1t20，t1t21，即有y1y20，即y1y2，则yt+在3，+）递增，可得yt+，当t3时取得等号，可得log3log3，h（x）在区间2，+）上的最小值为2（log3101）可得mlog32（log3101），即m2，n2，则h（x）2log3（9x1+1）2（x1），【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性和最值，注意运用转化思想和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题