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1、2018-2019学年湖南省衡阳市衡阳县高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)已知集合Ax|x1,Bx|3x1,则()AABx|x0BABRCABx|x1DAB2(3分)下列四组函数,表示同一函数的是()Af(x),g(x)xBf(x)x,g(x)Cf(x),g(x)Df(x)x,g(x)3(3分)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+)上单调递増的函数为()ABylnxCyx3Dyx24(3分)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是()A 如图是棱台B 如图是圆台C
2、 如图是棱锥D 如图不是棱柱5(3分)函数yloga(x+2)+1的图象过定点()A(1,2)B(2,1)C(2,1)D(1,1)6(3分)经过点(1,0),且与直线x+2y30垂直的直线方程是()A2xy+20B2x+y+20C2xy20Dx2y+107(3分)在四面体PABC的四个面中,是直角三角形的面至多有()个A0个B1个C3个D4个8(3分)直线的倾斜角为()ABCD9(3分)函数f(x)ln(x2+1)的图象大致是()ABCD10(3分)已知函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)f(x),当x(0,1时,f(x)2x1,则方程f(x)log7|x
3、2|解的个数是()A8B7C6D5二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11(4分)已知幂函数yf(x)的图象过点,则这个函数解析式为 12(4分)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB1与DD1所成的角是 ,13(4分)已知ABC的三个顶点A(1,3),B(3,1),C(1,0),则ABC 的面积为 14(4分)已知一个正方形的所有项点在一个球面上,若这个正方体的表面积为24,则这个球的表面积为 ,15(4分)已知函数f(x),若x2,6,则该函数的最大值为 三、解答題:本大题共6小题,满分50分解答须
4、写出文字说明、证明过程和演算步骤16(8分)计算下列各式的值(1)(2)log3lg417(8分)已知直线l1:x+2y+10,l2:2x+y+20,它们相交于点A(1)判断直线l1和l2是否垂直?请给出理由;(2)求过点A且与直线l3:3x+y+40平行的直线方程18(8分)已知函数f(x)x22|x|3(1)作出函数f(x)的大致图象,并根据图象写出函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在2,4上的最大值与最小值19(8分)直线l过点(1,0),圆C的圆心为C(2,0)()若圆C的半径为2,直线l截圆C所得的弦长也为2,求直线l的方程;()若直线l的斜率为1,且直线l与圆C相切;若圆
5、C的方程20(9分)四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA面ABCD垂足为点A,PAAB4,点M是PD的中点(1)求证:PB平面ACM(2)求证:BD平面PAC:(3)求四面体AMBC的体积21(9分)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数,且f(1)1,若a,b1,1,a+b0时,有成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性(2)解不等式(3)若f(x)m22am+11对所有的a1,1恒成立,求实数m的取值范围2018-2019学年湖南省衡阳市衡阳县高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
6、求的1(3分)已知集合Ax|x1,Bx|3x1,则()AABx|x0BABRCABx|x1DAB【分析】先分别求出集合A和B,再求出AB和AB,由此能求出结果【解答】解:集合Ax|x1,Bx|3x1x|x0,ABx|x0,故A正确,D错误;ABx|x1,故B和C都错误故选:A【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用2(3分)下列四组函数,表示同一函数的是()Af(x),g(x)xBf(x)x,g(x)Cf(x),g(x)Df(x)x,g(x)【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致,否则不是同一函数【解答】解:Af(x)|x|,g
7、(x)x,所以两个函数的对应法则不一致,所以A不是同一函数Bf(x)的定义域为R,而g(x)的定义域为(,0)(0,+),所以定义域不同,所以B不是同一函数C由x240,解得x2或x2,由,解得x2,两个函数的定义域不一致,所以C不是同一函数Df(x)的定义域为R,而g(x)的定义域为R,且g(x)x,所以定义域和对应法则相同,所以D是同一函数故选:D【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致,否则不是同一函数3(3分)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+)上单调递増的函数为()ABylnxCyx3Dyx2【分析】由题意利用函数的奇偶
8、性和单调性,得出结论【解答】解:由于y在区间(0,+)上单调递减,故排除A;由于ylnx不是奇函数,故排除B;由于yx3既是奇函数又在区间(0,+)上单调递増,故它满足条件;由于yx2是偶函数,不是奇函数,故排除D,故选:C【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题4(3分)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是()A 如图是棱台B 如图是圆台C 如图是棱锥D 如图不是棱柱【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断【解答】解:对于学习A,不是由棱锥截来的,所以A不是棱台,故A错误;对于学习B,上、下两个面不平行,所以不是圆台;对
9、于学习C,是棱锥对于学习D,前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以D是棱柱故选:C【点评】本题考查几何体的结构特征,解题时要认真审题,注意熟练掌握几何体的基本概念和性质5(3分)函数yloga(x+2)+1的图象过定点()A(1,2)B(2,1)C(2,1)D(1,1)【分析】由对数函数恒过定点(1,0),再根据函数平移变换的公式,结合平移向量公式即可得到到正确结论【解答】解:由函数图象的平移公式,我们可得:将函数ylogax(a0,a1)的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,即可得到函数yloga(x+2)+1(a0,a1)的图象又函数ylogax(
10、a0,a1)的图象恒过(1,0)点,由平移向量公式,易得函数yloga(x+2)+1(a0,a1)的图象恒过(1,1)点,故选:D【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点,记住结论:函数yloga(x+m)+n(a0,a1)的图象恒过(1m,n)点6(3分)经过点(1,0),且与直线x+2y30垂直的直线方程是()A2xy+20B2x+y+20C2xy20Dx2y+10【分析】由垂直关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可【解答】解:直线x+2y30的斜率为,与之垂直的直线斜率为2,所求直线方程为y02(x+1),化为一般式可得2xy+20故选:A【点评】本题考查直线的一般式方程
11、和垂直关系,属基础题7(3分)在四面体PABC的四个面中,是直角三角形的面至多有()个A0个B1个C3个D4个【分析】由题意画出图形得答案【解答】解:如图,PA底面ABC,ABC是ABC为直角的直角三角形,则四面体PABC的四个面中,是直角三角形的面最多,有4个故选:D【点评】本题考查棱锥的结构特征,正确画出图形是关键,是中档题8(3分)直线的倾斜角为()ABCD【分析】求出直线的斜率,由直线的倾斜角与斜率的关系,计算即可得到所求值【解答】解:直线xy+10的斜率为k,设倾斜角为,可得tan,由0,且,可得,故选:D【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系,考查运算能力,属于基础题9(3分)函
12、数f(x)ln(x2+1)的图象大致是()ABCD【分析】x2+11,又ylnx在(0,+)单调递增,yln(x2+1)ln10,函数的图象应在x轴的上方,在令x取特殊值,选出答案【解答】解:x2+11,又ylnx在(0,+)单调递增,yln(x2+1)ln10,函数的图象应在x轴的上方,又f(0)ln(0+1)ln10,图象过原点,综上只有A符合故选:A【点评】对于函数的选择题,从特殊值、函数的性质入手,往往事半功倍,本题属于低档题10(3分)已知函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)f(x),当x(0,1时,f(x)2x1,则方程f(x)log7|x2|解的个数是()A8B7C6D
13、5【分析】根据函数f(x)是R上的奇函数,f(0)0,且满足f(x+2)f(x),求解f(x)的周期T4,当x(0,1时,f(x)2x1,作出图象,f(x)log7|x2|解的个数,即为2x1log7|x2|图象的交点个数数形结合可得答案【解答】解:函数f(x)是R上的奇函数,f(0)0,由f(x+2)f(x),可得f(x+4)f(x),f(x)的周期T4作出在同一坐标系中画y2x1和ylog7|x2|图象,从图象不难看出,其交点个数7个,故选:B【点评】本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题属于基础题二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11(4分)已知幂函数yf(x)的图
14、象过点,则这个函数解析式为(x0)【分析】根据幂函数的概念设f(x)x,将点的坐标代入即可求得值,从而求得函数解析式【解答】解:设f(x)x,幂函数yf(x)的图象过点,这个函数解析式为(x0)故答案为:(x0)【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识,属于基础题12(4分)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB1与DD1所成的角是45,【分析】由BB1DD1,得BB1A是直线AB1与DD1所成的角,由此能求出直线AB1与DD1所成的角【解答】解:BB1DD1,BB1A是直线AB1与DD1所成的角,ABBB1,ABBB1,AB1B45,直线AB1与DD1所成
15、的角是45故答案为:45【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题13(4分)已知ABC的三个顶点A(1,3),B(3,1),C(1,0),则ABC 的面积为5【分析】根据A(1,3),B(3,1),求出AB的直线方程,和AB的距离,利用点到直线的距离就是AB为底的高,即可得ABC 的面积【解答】解:由A(1,3),B(3,1),设AB的直线方程为ykx+b,则,解得:k1,b4AB的直线方程为x+y40C(1,0)到直线AB的距离hAB的距离d2则ABC 的面积S5故答案为:5【点评】本题此解法用了点与直线的性质,两点之
16、间的距离公式属于基础题14(4分)已知一个正方形的所有项点在一个球面上,若这个正方体的表面积为24,则这个球的表面积为12,【分析】先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a,然后利用求出球体的半径R,最后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解:设正方体的棱长为a,球的半径为R,则正方体的表面积为6a224,得a2,所以,则,因此,这个球的表面积为4R212故答案为:12【点评】本题考查球体的表面积的计算,解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系,考查了计算能力,属于中等题15(4分)已知函数f(x),若x2,6,则该函数的最大值为2【分析】先求出函数的图象,得到函数的单调性,
17、从而求出函数的最大值【解答】解:画出函数f(x)的图象,如图示:,函数f(x)在2,6递减,函数f(x)最大值f(2)2,故答案为:2【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查了函数的最值问题,是一道基础题三、解答題:本大题共6小题,满分50分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(8分)计算下列各式的值(1)(2)log3lg4【分析】(1)利用指数运算法则即可得出;(2)利用对数的运算法则即可得出【解答】解:(1)原式1+2(2)原式+【点评】本题考查了指数与对数运算法则,属于基础题17(8分)已知直线l1:x+2y+10,l2:2x+y+20,它们相交于点A(1)判断直线l1和l2是否
18、垂直?请给出理由;(2)求过点A且与直线l3:3x+y+40平行的直线方程【分析】(1)先求出两直线的斜率,发现斜率之积等于1,故可得两直线垂直(2)先求出交点A的坐标,再根据斜率等于直线l3的斜率,点斜式写出直线的方程,并化为一般式【解答】解:(1)直线l1的斜率,直线l2的斜率k22,l1l2(2)由方程组解得点A坐标为,直线l3的斜率为3,所求直线方程为:化为一般式得:3x+y10【点评】本题考查判断两直线垂直的方法,当两直线平行时,它们的斜率间的关系;用点斜式求直线方程18(8分)已知函数f(x)x22|x|3(1)作出函数f(x)的大致图象,并根据图象写出函数f(x)的单调区间;(2
19、)求函数f(x)在2,4上的最大值与最小值【分析】(1)写出分段函数解析式,结合二次函数的图象作图,由图象得函数的单调区间;(2)直接由图象得到函数f(x)在2,4上的最大值与最小值【解答】解:(1)f(x)x22|x|3图象如图:由图象知函数的单调减区间是(,1,(0,1单调增区间是(1,0,(1,+);(2)结合图象可知最小值为f(1)f(1)4,最大值为f(4)5【点评】本题考查了分段函数的图象,考查了由图象判断函数的单调性,并由函数单调性求函数的最值,是基础题19(8分)直线l过点(1,0),圆C的圆心为C(2,0)()若圆C的半径为2,直线l截圆C所得的弦长也为2,求直线l的方程;(
20、)若直线l的斜率为1,且直线l与圆C相切;若圆C的方程【分析】()设直线l的方程为yk(x+1),根据圆C的半径为2,直线l截圆C所得的弦长为2,利用点到直线的距离公式,建立方程,即可求直线l的方程;()根据直线l与圆C相切,利用点到直线的距离公式,可得圆C的半径r,从而可得圆C的方程【解答】解:()设直线l的方程为yk(x+1),则圆C的半径为2,直线l截圆C所得的弦长为2,圆心到直线l的距离为,即,解得k,即直线l的方程为y(x+1);()直线l的斜率为1,直线l的方程为yx+1,直线l与圆C相切,r,圆C的方程为【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查圆的性质,属
21、于中档题20(9分)四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA面ABCD垂足为点A,PAAB4,点M是PD的中点(1)求证:PB平面ACM(2)求证:BD平面PAC:(3)求四面体AMBC的体积【分析】(1)连接AC,BD,记AC与BD的交点为O,连接MO证明MOPB,然后证明PB面ACM(2)证明PABD,ACBD,然后证明BD面PAC(3)通过,然后求解即可【解答】证明:(1)连接AC,BD,记AC与BD的交点为O,连接MO点O,M分别是BD,PD的中点,MOPB又PB面ACM,MO面ACM,PB面ACM(3分)(2)PA面ABCD,PABD,底面ABCD是正方形,ACBD,又PAAC
22、A,BD面PAC(6分)(3),且,(9分)【点评】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用,几何体的他就的求法,考查计算能力21(9分)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数,且f(1)1,若a,b1,1,a+b0时,有成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性(2)解不等式(3)若f(x)m22am+11对所有的a1,1恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)利用函数的单调性的定义以及函数的奇偶性,判断证明即可(2)利用函数的单调性以及函数的定义域,列出不等式组,求解即可(3)通过f(1)1,且f(x)在1,1上单调递增,问题转化为m22am+11,即m22am0,对a1,1成
23、立,设g(a)2ma+m2,通过若m0,若m0,若g(a)0对a1,1恒成立,列出不等式组求解即可【解答】解:(1)f(x)在1,1上单调递增(1分)任取x1,x21,1,且x1x2,则x21,1f(x)为奇函数,f(x1)f(x2)f(x1)+f(x2)(x1x2)由已知得0,又x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在1,1上单调递增(3分)(2)不等式,由(1)可得:,解得,不等式的解集为:(5分)(3)f(1)1,且f(x)在1,1上单调递增,在1,1上,f(x)1问题转化为m22am+11,即m22am0,对a1,1成立(6分)设g(a)2ma+m2,若m0,则g(a)00,对a1,1恒成立若m0,则g(a)为关于a的一次函数,若g(a)0对a1,1恒成立,必须有g(1)0,且g(1)0,即,结合相应各函数图象,得m2或m2(8分)综上所述,实数m的取值范围是(,202,+)(9分)【点评】本题考查函数恒成立体积的应用,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力
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