2018-2019学年湖南省湘东六校高一（下）4月联考数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年湖南省湘东六校高一（下）4月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合，Bx|xN，则AB（）A1B0，1CD2（5分）若直线（a+2）x+（1a）y30与直线（a1）x+（2a3）y+20互相垂直则a的值为（）A1B1C1D3（5分）设f（x），则f（f（2）的值为（）A0B1C2D34（5分）圆x2+y21上的点到点M（3，4）的距离的最小值是（）A1B4C5D65（5分）函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（e，3）C（2，e）D（e，+）6（5分）已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：lm；lm；

2、lm；lm其中正确的是（）ABCD7（5分）设a0.92，b20.9，clog20.9，则（）AbacBbcaCabcDacb8（5分）在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，其频率分布直方图如图所示，若成绩在13，15）之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为（）A39B35C15D119（5分）如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，BAC90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在（）A直线AC上B直线AB上C直线BC上DABC内部

3、10（5分）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）x2+2x+20（万元）一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（）A36万件B18万件C22万件D9万件11（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2，3，4，5，6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）ABCD12（5分）函数f（x）若关于x的方程f（x）2+bf（x）+c0恰有5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，则

4、f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（）A0B1Clg4D3lg2二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（5分）函数的定义域为 14（5分）函数yloga（x1）+8（a0且a1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3） 15（5分）若曲线x2+y24与直线yx+b相交于A，B两点，若|AB|，则b 16（5分）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为 三、解答题（本题共6道小题，共70分）17（10分）计算（1）2（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg

5、2）218（12分）已知全集UR，集合Px|x26x0，Mx|ax2a+4（）求集合UP；（）若MUP，求实数a的取值范围19（12分）某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试这25位学生的考分编成的茎叶图如图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同（1）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；（2）成绩在175分以上为“优秀”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率20（12分）如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，D是AC中点，平面SAC平面ABC，SA

6、SC2，M、N分别是AB，SB的中点（1）求证：ACSB（2）求三棱锥CMNB的体积21（12分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线y2x+4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程22（12分）已知函数f（x）2x，（aR）（1）若函数f（x）2x为奇函数，求实数a的值；（2）设函数g（x）22x2（aR），且H（x）f（x）+g（x），已知H（x）2+3a对任意的x（1，+）恒成立，求a的取值范围2018-2019学年湖南省湘东六校高一（下）4月联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题

7、，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合，Bx|xN，则AB（）A1B0，1CD【分析】根据交集的定义，写出AB即可【解答】解：集合，Bx|xN，则AB0，1故选：B【点评】本题考查了交集的运算问题，是基础题2（5分）若直线（a+2）x+（1a）y30与直线（a1）x+（2a3）y+20互相垂直则a的值为（）A1B1C1D【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）0，从而可求a的值【解答】解：由题意，直线（a+2）x+（1a）y30与（a1）x+（2a+3）y+20互相垂直（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）0（a1）（a+22a3）0（a1）（a+

8、1）0a1，或a1故选：C【点评】本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件3（5分）设f（x），则f（f（2）的值为（）A0B1C2D3【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）log3（221）1，所以f（f（2）f（1）2e112【解答】解：f（f（2）f（log3（221）f（1）2e112，故选C【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解4（5分）圆x2+y21上的点到点M（3，4）的距离的最小值是（）A1B4C5D6【分析】利用圆x2+y21上的点到点M

9、（3，4）的距离的最小值|OM|R即可得出【解答】解：圆x2+y21上的点到点M（3，4）的距离的最小值|OM|R4故选：B【点评】本题考查了点与圆的位置关系及其两点间的距离公式，属于基础题5（5分）函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（e，3）C（2，e）D（e，+）【分析】本题考查的是零点存在的大致区间问题在解答时可以直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答【解答】解：函数的定义域为：（0，+），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点又，f（2）f（e）0，函数f（x）的零点所在的大致区间是（2，e）故选：

10、C【点评】本题考查的是零点存在的大致区间问题在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想值得同学们体会反思6（5分）已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：lm；lm； lm；lm其中正确的是（）ABCD【分析】由线面垂直的性质和面面平行的性质，可判断；由面面垂直的性质和线线位置关系，可判断；由线面垂直的判断和面面垂直的判断，可判断；运用面面的位置关系和线面垂直的性质，可判断【解答】解：直线l平面，直线m平面，llm，故正确；lm或l，m异面或相交，故错误；lmm，又m，故正确；lm或，相交，故错误故选：D【点评】本题考查空间线面和面面平行、垂直的判

11、断和性质，考查线面和面面的位置关系和推理能力，空间想象能力，属于基础题7（5分）设a0.92，b20.9，clog20.9，则（）AbacBbcaCabcDacb【分析】根据指数式和对数式的运算性质，以0和1为媒介，判断出a、b、c的大体范围，则a、b、c的大小关系可以断定【解答】解：因为0a0.92201，clog20.9log210，所以bac故选：A【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了对数值的大小比较及指数函数的单调性，在进行实数的大小比较时，找几个特殊值为中间媒介，往往起到事半功倍的效果，此题是基础题8（5分）在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到

12、18分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，其频率分布直方图如图所示，若成绩在13，15）之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为（）A39B35C15D11【分析】由频率分布直方图求出成绩在13，15）之间的频率，由此能求出这50名选手中获奖的人数【解答】解：由频率分布直方图得成绩在13，15）之间的频率为：1（0.38+0.32+0.08）0.22，这50名选手中获奖的人数为：500.2211故选：D【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题9（5分）如图，在斜三棱柱AB

13、CA1B1C1的底面ABC中，BAC90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在（）A直线AC上B直线AB上C直线BC上DABC内部【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上【解答】解：如图：BAC90，ACAB，BC1AC，ACBC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC平面ABC1，则根据面面垂直

14、的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上故选：B【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题10（5分）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）x2+2x+20（万元）一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（）A36万件B18万件C22万件D9万件【分析】根据题意，可得利润L（x）20xC（x）（x18）2+142，由二次函数的性质，分析可得答案【解答】解：利润L（x）20xC（x）（x18）2+142，当x18时，L（x）有最大值故选：B【点评】

15、本题是函数的应用题，关键是建立函数关系式，注意变量范围解函数应用问题，一般地可按以下四步进行：1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化；2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证11（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2，3，4，5，6，若|ab|

16、1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）ABCD【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|ab|1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6636种猜字结果，其中满足|ab|1的有如下情形：若a1，则b1，2；若a2，则b1，2，3；若a3，则b2，3，4；若a4，则b3，4，5；若a5，则b4，5，6；若a6，则b5，6，总共16种，他们“心有灵犀”的概率为故选：D【点评】

17、本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形12（5分）函数f（x）若关于x的方程f（x）2+bf（x）+c0恰有5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（）A0B1Clg4D3lg2【分析】分情况讨论，当x2时，f（x）1，则由f2（x）+bf（x）+c0得1+b+c0，求出x12；当x2时，f（x）lg（x2），由f2（x）+bf（x）+c0得lg（x2）2+blg（x2）b10，解得lg（x2）1，或lg（x2）b，从而求出x2和x3；当x2时，f（x）lg（2x），由f2（x）+bf（x）+

18、c0得lg（2x）2+blg（2x）b10），解得lg（2x）1，或lg（2x）b，从而求出x4和x5，5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5都求出来后，就能求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值【解答】解：当x2时，f（x）1，则由f2（x）+bf（x）+c0得1+b+c0x12，cb1当x2时，f（x）lg（x2），由f2（x）+bf（x）+c0，得lg（x2）2+blg（x2）b10，解得lg（x2）b1，x212或lg（x2）b1，x32+10b1当x2时，f（x）lg（2x），由f2（x）+bf（x）+c0得lg（2x）2+blg（2x）b10，解得lg（2x）1，x48或

19、lg（2x）b，x5210b1f（x1+x2+x3+x4+x5）f（2+12+2+10b8+210b）f（10）lg|102|lg83lg2故选：D【点评】这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件求出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c0的5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，然后再求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（5分）函数的定义域为2，+）【分析】函数的定义域为，由此能求出结果【解答】解：函数的定义域为，解得x2故答案为：2，+）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答14（5分）函

20、数yloga（x1）+8（a0且a1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）27【分析】利用yloga10可得定点P，代入幂函数f（x）x即可【解答】解：对于函数yloga（x1）+8，令x11，解得x2，此时y8，因此函数yloga（x1）+8的图象恒过定点P（2，8）设幂函数f（x）x，P在幂函数f（x）的图象上，82，解得3f（x）x3f（3）3327故答案为27【点评】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题15（5分）若曲线x2+y24与直线yx+b相交于A，B两点，若|AB|，则b2【分析】求出圆的圆心与半径，利用半弦长，半径，圆心到直线的距离列出方程求

21、解即可【解答】解：x2+y24，是圆心（0，0），半径为2的圆，曲线x2+y24与直线yx+b相交于A，B两点，|AB|，可得：，解得b2故答案为：2【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力16（5分）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABC，高SD2O

22、O1，ABC是边长为1的正三角形，V三棱锥SABC故答案为【点评】利用截面圆的性质求出OO1是解题的关键三、解答题（本题共6道小题，共70分）17（10分）计算（1）2（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可【解答】解：（1）原式；（2）原式2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）22+（lg2+lg5）23【点评】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用18（12分）已知全集UR，集合Px|x26x0，Mx|ax2a+4（）求集合UP；（）若MUP，求实数a的取值范

23、围【分析】（1）由x26x0，得Px|x0或x6，由此能求出UP（2）由UPx|0x6Mx|ax2a+4，MUP，得到当M时，a2a+4，当M时，a4，且0a2a+46，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）由x26x0，得x0或x6，Px|x0或x6，（2分）UPx|0x6（4分）（2）UPx|0x6Mx|ax2a+4，MUP，当M时，a2a+4，解得a4符合题意（7分）当M时，a4，且0a2a+46，解得0a1，（10分）综上：a的取值范围为（，40，1（12分）【点评】本题考查补集的求法，考查实数取值范围的求法，考查补集、子集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题1

24、9（12分）某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试这25位学生的考分编成的茎叶图如图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同（1）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；（2）成绩在175分以上为“优秀”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率【分析】（1）由茎叶图能求出甲班学生成绩的中位数，乙班学生成绩的中位数正好是150+x157，由此能求出x（2）用A表示事件“甲班至多有1人入选”设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3从5人中选出3人，利用列举法能求出这3

25、人中甲班至多有一人入选的概率【解答】解：（1）甲班学生成绩的中位数为（154+160）157（2分）乙班学生成绩的中位数正好是150+x157，故x7；（4分）（2）用A表示事件“甲班至多有1人入选”设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3则从5人中选出3人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况，（7分）其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3

26、）7种（10分）由古典概型概率计算公式可得P（A）（12分）【点评】本题考查实数值、中位数、概率的求法，考查茎叶图、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（12分）如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，D是AC中点，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别是AB，SB的中点（1）求证：ACSB（2）求三棱锥CMNB的体积【分析】（1）由已知证明ACSD且ACBD，由线面垂直的判定得AC平面SDB，进一步得到ACSB；（2）由SDAC，平面SAC平面ABC，利用面面垂直的性质可得SD平面ABC求解三角形得到SD2，再由N是SB的中点，得到N到平面ABC的距

27、离，求出三角形MBC的面积，代入棱锥体积公式可求三棱锥CMNB的体积【解答】（1）证明：SASC，ABBC，ACSD且ACBD，又SDBDD，AC平面SDB又SB平面SDB，ACSB；（2）解：SDAC，平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SD平面SAC，SD平面ABC又SA，AD2，SD2，N是SB的中点，N到平面ABC的距离为，又SMBC222【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题21（12分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：OAB的面积

28、为定值；（2）设直线y2x+4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程【分析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程【解答】解：（1）圆C过原点O，设圆C的方程是，令x0，得，令y0，得x10，x22t，即：OAB的面积为定值；（2）OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN，kMN2，直线OC的方程是，解得：t2或t2，当t2时，圆心C的坐标为（2，1），此时C到直线y2x+4的距离，圆C与直线y2x+4相交于两点，当t2时，圆心C的坐标为（2，1），此时

29、C到直线y2x+4的距离，圆C与直线y2x+4不相交，t2不符合题意舍去，圆C的方程为（x2）2+（y1）25【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题22（12分）已知函数f（x）2x，（aR）（1）若函数f（x）2x为奇函数，求实数a的值；（2）设函数g（x）22x2（aR），且H（x）f（x）+g（x），已知H（x）2+3a对任意的x（1，+）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）由函数f（x）2x为奇函数，利用f（x）f（x）列式即可求得a1；（2）H（x）f（x）+g（x），由H（x）2+3a，得a，设t2x，t（2，+），则t24at+4a0，分离参数a，得

30、到a对任意t（2，+）恒成立，再由函数的单调性求得m（t）在（2，+）上的最小值得答案【解答】解：（1）函数f（x）2x为奇函数，定义域为R，关于原点对称，f（x）f（x），即，化简得：，即a1；（2）H（x）f（x）+g（x），由H（x）2+3a，化简得，a，设t2x，t（2，+），则t24at+4a0，H（x）2+3a对任意的x（1，+）恒成立，对任意t（2，+），不等式t24at+4a0恒成立注意到t11，分离参数得a对任意t（2，+）恒成立设m（t），t（2，+），即am（t）（t1）+2，可知m（t）在（2，+）上单调递增，m（t）m（2）4故a的取值范围为（，1【点评】本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题