专题07 用好导数“三招”破解不等式恒成立问题（第一篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、一方法综述不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在 上方即可)； 最值法：讨论最值或恒成立； 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题.二解题策略类型一 构造函数求最值【例1】【2018届湖南省益阳市高三4月调研】已知函数（，为自然对数的底数）.来源:（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最小值.来

2、源:Z+xx+k.Com【指点迷津】1.首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.2.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.来源:ZXXK【举一反三】【2018届湖南省永州市三模】已知,.（1）若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围；（2）当时，求证：方程恒有两解.类型二 参变分离求最值【例2】【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数

3、.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【指点迷津】1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围，转化为求函数的最值问题.2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通

4、过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.【举一反三】【2018年【衡水金卷】（三）】已知函数的导函数为，且满足， ，若函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 类型三 讨论参数定范围【例3】【2018届山东天成高三第二次大联考】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.【指点迷津】本例（2）

5、对任意恒成立，即对任意恒成立，构造函数，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.求导数后，为求的最小值，根据，对参数的取值进行讨论，确定了的符号，从而明确的单调性、最值.【举一反三】【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（ ）A. B. C. D. 三强化训练1【2018届（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. 2【2018年高考理科数学原创押题预测卷01】已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则的值为A. B. C. D. 3.【2018年4月浙江省金华十

6、校高考模拟】若对任意的，存在实数，使 恒成立，则实数的最大值为_4.【2018届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学模拟（三）】已知函数在点处的切线过点(1)求实数的值，并求出函数单调区间；(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值5.【2017课标3，理21】已知函数 .（1）若 ，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n ，求m的最小值.6. 【2018届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模（420模拟）】已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为.来源:（1）求的解析式；来源:（2）若对恒成立，求的取值范围.7. 【2018届河南省焦作市高三第四次模拟】已知.（）若，讨论的单调性；（）当在处的切线与平行时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.8. 已知函数，.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围.9. 已知函数，.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明： .10.【2018届青海省西宁市高三下学期（一模）】设， .（1）令，求的单调区间；（2）若任意且，都有恒成立，求实数的取值范围. 4