专题05 圆锥曲线中的证明问题、探究性问题（第五篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、2019高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第五篇 解 析 几 何专题05 圆锥曲线中的证明问题、探究性问题一方法综述纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存

2、在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线中的证明问题、探究性问题的解法.二解题策略类型一 证明问题【例1】【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三摸底】设椭圆，右顶点是，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.【例2】【东北师范大学附属中学2018届五模】已知椭圆的离心率为，点在上（）求椭圆的方程；（）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值【指点迷津】(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某

3、直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明【举一反三】【山东省青岛市2019届高三9月期初调研】已知椭圆的离心率在椭圆W上(1)求椭圆W的方程；(2)若曲线与椭圆W相交于A、B、C、D四点，AB/CD，在y轴右侧证明：直线AC与BD相交于定点E，并求出定点E的坐标类型二 存在性、探索性问题【例3】【山西省太原市第五中学2019届10月月考】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，过与坐

4、标轴不垂直的直线与椭圆交于两点（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由【例4】【江西省新余市第四中学2019届10月月考】已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴.（1）求的方程；（2）过的直线交于两点，交直线于点判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.【指点迷津】1. 探究性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论

5、的问题没有什么差别2.解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.来源:（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.【举一反三】【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上第二次月考】已知椭圆的离心率为，且点在

6、椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、的斜率分别为、试探究与的关系，并证明你的结论三强化训练1【2018届江西省重点中学协作体第二次联考】已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2. 【2018届山东省威海市二模】已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.来源:ZXXK（1）求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.

7、若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.3.【2018届河北省武邑中学一模】已知椭圆经过点，且两个焦点的坐标依次为和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.4【2018届上海市徐汇区二模】如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由5.

8、 【2018届辽宁省部分重点中学协作体模拟】已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.6. 【2018届安徽省示范高中（皖江八校）5月联考】如图已知抛物线的焦点为，圆，直线：与抛物线和圆从下至上顺次交于四点，.来源:（1）若，求的值；（2）若直线于点，直线与抛物线交于点，设，的中点分别为，求证：直线过定点.来源:7【2018届相阳教育“黉门云”模拟卷】设圆(圆心为)：,圆圆心为： ,定点，为直线上异于的一点，和分别为圆、圆上异于 的点，满足,直线和交于点,记

9、的轨迹为曲线.(1) 求证: 曲线为椭圆(或椭圆的一部分)，并写出的方程；(2) 设的上顶点为,过点的直线与椭圆交于两点(异于)，求证: 直线和的斜率之和为定值，并求出这个定值.8.【河北省衡水中学2019届高三上学期期中】已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在x轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由.9【陕西省汉中市汉中中学2019届第三次月考】已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为（1）证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由10【甘肃省酒泉地区普通高中五校联考2019届高三上学期月考】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线G相交于A、B两点，且（1）求抛物线G的方程；（2）过点的两条直线、分别交抛物线G于点C、D和 E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N如果直线与的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点来源: 6