专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题（第一篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、一方法综述利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧来源:二解题策略类型一 “比较法”构造差函数证明不等式【例1】【2018届广州模拟】已知函数为自然对数的底数，为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1.(1)求的值及函数的极值；(2)证明：当来源:Z|xx|k.Com【指点迷津】当题目中给出简单的基本初等函数，例如

2、，进而证明在某个取值范围内不等式成立时，可以类比作差法，构造函数，进而证明即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具此外，在能够说明的前提下，也可以类比作商法，构造函数进而证明【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数，() 设函数，讨论函数的单调性；（）求证：当时，类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数.(1)若上存在极值，求实数m的取值范围；(2)求证：当时，【指点迷津】当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所

3、措”的感觉这时可以将原不等式合理拆分为的形式，进而证明即可，此时注意配合使用导数工具在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准【举一反三】【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知函数（）（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（为自然对数的底数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：类型三 “换元法”构造函数证明不等式【例3】【四川省成都石室中学2019届高三上学期入学】已知函数， ，其中（1）若，求的单调区间；（2）若的两根为，且，证明： .【指点迷津】若两个变元x1，x2之间联系“

4、亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式(其中m(x1，x2)为x1，x2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x1，x2)t，使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元【举一反三】【2018届四川省资阳市4月模拟（三诊）】已知函数（其中）（1）当时，求零点的个数k的值；（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证： 类型四 “转化法”构造函数证明不等式【例4】【内蒙古赤峰二中2019届第二次月考】设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：来源:Z&X&X&K【指点迷津】在关于

5、x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设，函数（1）若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证： 三强化训练1.【山西省长治市第二中学2017-2018学年高二下期末】设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.2. 【2018届高三第一次全国大联考】已知函数有两个零点（）.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.3. 【2018届吉林省长春市高三质量监测（三）】已知函数.（1

6、）若在上是单调递增函数，求的取值范围；（2）设，当时，若，其中，求证：.4【2018届山东省济南市高三一模】已知函数 有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）设， 是的两个零点，证明： .5.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知函数， .(I)若函数在区间上均单调且单调性相反,求实数的取值范围；()若,证明: 来源:6.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.7. 【四川省高2019届高三第一次诊断】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：.8.【北京市第八十中学2019届10月月考】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.9【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明： .10.【贵州省遵义航天高级中学2018届四模】已知函数的两个零点为来源:Zxxk.Com（1）求实数m的取值范围；（2）求证：4