专题06“三招”妙解导函数零点问题（第一篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、一方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究的单调性，往往需要解方程.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.二解题策略类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点【例1】【河北省武邑中学2019届高三上第三次调研】已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，（）若函数有且仅有一个零点时，求的值；（）在（）的条件下，若，求的取值范围。【指点迷津】1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在

2、观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x1；当函数解析式中出现ex时，常猜x0或xln x.2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法【举一反三】设.(1)若函数f(x)在(a，a1)上有极值，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)x22xk有实数解，求实数k的取值范围类型二 设而不求，巧“借”零点【例2】【2015高考新课标1，文21】设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.【指点迷津】本例第(2)问的解题思路是求函数的最小值因此需要求的根但是的根无法求解故设出的根为，通过证明f(x)在(0，)和(，)上的单调性知，进

3、而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的“设而不求”【举一反三】设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；来源:Z#xx#k.Com(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值类型三 二次构造（求导），避免求根【例3】已知函数f(x)ln(ax1)x3x2ax.(1)若x为yf(x)的极值点，求实数a的值；(2)若yf(x)在1，)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)若a1时，方程f(1x)(1x)3有实根，求实数b的取值范围【指点迷津】当导函数的零点不易求时，可以通过进一步构造函数，求其导数，即通过“二次求导”，避免解方程而使问题得解.如上面

4、例题，从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)x(ln xxx2)极值问题，问题是g(x)ln x12x3x20这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h(x)g(x)再一次求导并解决问题所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法这种方法适用于研究函数的单调性、确定极（最）值及其相关参数范围、证明不等式等.来源:来源:ZXXK【举一反三】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数,R. （）当时,求的单调区间和极值；（)若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围；三强化训练1.设函数满足，则时，的最小值为

5、（ ）A. B. C. D. 2【盐城市2019届高三第一学期期中模拟】已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是_.3.设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数_4.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是_.5.【2018河南豫南九校第二次质量考评】已知函数.（1）若在处的切线是，求实数的值；（2）当时，函数有且仅有一个零点，若此时，恒成立，求实数的取值范围.6.【2018四川成都双流中学9月月考文】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时， 恒成立，求的取值范围.7.【2018广东深圳高三入学摸底】已知函数.（1）求函数的极小值；（2）若函数有两个零点，求证：.8.【2018广东省广州市海珠区高三测试一（理）】已知函数.（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时， .9.设函数， (1)当时，求函数的单调区间；(2)当， 时，求证： .10【重庆市铜梁一中2019届10月月考】已知函数（其中）.（1）求在处的切线方程；（2）若函数的两个零点为，证明：+ .来源:ZXXK来源:ZXXK 4