专题03 “三法”解决平面向量数量积问题（第二篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、一方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.二解题策略类型一 投影定义法来源:Zxxk.Com【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知

2、P是边长为2的正ABC边BC上的动点，则（）_【指点迷津】1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量数量积公式为，可变形为或，进而与向量投影找到联系 来源:（1）数量积的投影定义：向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即（记为在上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： 即数量积除以被投影向量的模长2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心

3、（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】已知圆为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则_类型二 基底法【例2】【2018届浙江省金华十校4月模拟】已知平面内任意不共线三点，则的值为（ ）A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 以上说法都有可能【指点迷津】1.遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行

4、运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.2.如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.【举一反三】如图，在中，是边上一点，则_类型三 坐标法【例3】【2018届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二）】如图，扇形的圆心角为90，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为_【指点迷津】常见的可考虑建系的图形：（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直

5、角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（等）【举一反三】如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，且，则_三强化训练来源:ZXXK1.【2018届河北省武邑中学一模】是圆上两个动点，为线段的中点，则值为（ ）A. B. C. D. 2【2018届湖南省永州市三模】在中，是上一点，且，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43【2018宝鸡质检】在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|，则的取值范围为()来源:Zxxk.ComA. B.C. D.4【2018届山东省潍坊市二模】在等腰中， ， ，点为边的中心，则_5【2018届滨海新区七所重点学校联考】在平行四边形中， ， ， ， 为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是_6【2018届广东省佛山市高三检测（二）】直角中，为中点，在斜边上，若,则_7【2018届黑龙江省齐齐哈尔市二模】已知平行四边形中,点 是中点，,则_8【2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟】已知，向量满足.当的夹角最大时，_9.【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】若非零向量，满足，则在方向上的投影为_来源:10已知在ABC中，AB4，AC6，BC，其外接圆的圆心为O，则_. 4