专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题高考数学压轴题分项讲义（解析版）

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1、专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系类型一 中点问题典例1 【山东省济南市2018届高三上

2、学期期末考试】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.（1）求椭圆的方程和直线的斜率；（2）求面积的最大值.【解析】1）将代入，得， ，椭圆方程为设直线， ， ， 的中点为由得， ，直线经过弦的中点，则， ， 设，则 求得，所以.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】【2019四川省宜宾市质检】设椭圆的左焦点为，左顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；

3、（2）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线y=上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：，来源:又因为，,解得故椭圆的方程为（2）椭圆上不存在这样的点.设直线的方程为,联立，得,，得.设，则，.由知为平行四边形,设为的中点,则它也是的中点.于是设,则,即，可得.因为,所以.若在椭圆上，则，矛盾.因此,不存在满足条件的点学)类型二 垂直问题典例2 【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】设椭圆的左焦点为，离心率为， 为圆的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直

4、线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，则， 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得 所以椭圆的方程为： . （iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设， .由得. 显然，且， . 所以. 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以. 故四边形面积： .可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12, ). 综上，四边形面积的取值范围为【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学

5、期诊断性考试】已知O为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上，且P到的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程。(2)若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程【解析】（1） 到的距离之和为，椭圆经过点 椭圆的方程为（2）设，由已知得，斜率存在，设 ，得，以为直径的圆过，。类型三 面积问题典例3 【广东省肇庆市2019届高三第二次（1月)统一检测】已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【解析】（1） 依题意可得解得，右焦点，所以，来源:所以椭圆的标准方程为. （2）设，由得 由得，到的距离 当且仅当

6、，即时，得，面积取得最大值【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁【举一反三】【2019吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点， 是上的动点， 为的左焦点.（）求椭圆的方程；（）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.【解析】（）依题意得解得椭圆的方程是类型四 范围与定值问题典例4 【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】已知椭圆 的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上

7、一点，且 .（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.【解析】（），得.又，解得，故所求椭圆的标准方程为.（）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，.所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以 ，化简得.所以，所以，故为定值._网（注：可以先通过计算出此时，再验证一般性）【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆的左、

8、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为（为坐标原点），且，求的取值范围.【解析】（1）根据题意，.把代入椭圆方程得，因为直线被椭圆截得的线段长为，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，由，得，当的斜率不存在时，又，这时.当的斜率存在时，设直线，由得：，由得，结合得由知且，综上的取值范围为.【精选名校模拟】1【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，

9、求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1），且有， 解得，椭圆的方程为. （2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，联立 ，为线段的中点， 将代入解得 将代入得 将代入解得 将式代入式检验成立， ，即存在直线：或合题意.2【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点，是平面内一点，直线的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点的直线与相交于两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程【解析】（1）设，因为直线的斜率，的斜率（）由已知得（），化简得点的轨迹方程为（）.（2）解法一：设直线的方程为，由得，因为以线段为直径的圆过点，所以，得，又因

10、为，得，所以 ，所以，解得，所以直线的方程为，即或解法二：当直线的斜率不存在时，的方程为，不妨设，故舍去.当直线的斜率存在时，设的方程为（），由得，因为以线段为直径的圆过点，所以，得，又因为，得，所以，解得 ，所以直线的方程为，即或综上，直线的方程为或. 3【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知椭圆：的焦距为，且经过点._网（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.（2）设直线的方程为，由，消去得.设，则有，即，又，. 因为四边形为平行四边形，所以，故， ，所以， 由点在椭圆上可得，化

11、简得 而 .又因为，所以，所以，所以. 又点到直线的距离，故的面积. 所以平行四边形的面积为. 4. 【广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测】已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，满足，其中是坐标原点，求的值。【解析】（1）PF1F2的面积为，2c，即c1，由，解得a22，b21，椭圆C的方程为+y21；（2）由题意可得l：yk（x2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由，消y可得（1+2k2）x28kx+8k220，64k24（1+2k2）（8

12、k22）0，可得k2，x1+x2，x1x2，33（），即（+），（x，y）（x1+x2，y1+y2），x（x1+x2）yk（x1+x2）4k，Q（，），点Q在椭圆C上，+22，9k21+2k2，解得k5. 【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】设椭圆的离心率是，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），垂足为H，且，求证：直线恒过定点.（）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，64k2m24（3+4k2）（4m21

13、2）0，（*）x1+x2，x1x2，AHMN，垂足为H，且2，AMAN（x1+2）（x2+2）+y1y2（x1+2）（x2+2）+（kx1+m）（kx2+m）（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m20，（2+km）（1+k2）4+m2，4k216km+7m20，解得km，或m满足（*）直线l方程为：ym（x+1），或ym直线ym（x+1）恒过定点A（2，0），舍去直线ym恒过定点（，0），直线l恒过定点（，0）6. 设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与x轴不重合，设P为圆A上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA于E（1）证明为定值，并写出E的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为

14、曲线C1，直线交C1于M,N两点，问：在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补，若存在求出D点的坐标，否则说明理由。【解析】（I）E为线段PB的垂直平分线上一点， 点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，2a=4.c=1, E的轨迹方程。（II）由于直线过点B（1,0）且与x轴不重合，所以可设方程为 联立消去x得 ，设 ，则令,若直线DM与DN的倾斜角互补，则 , 即所以存在使直线DM与DN的倾斜角互补.来源:Zxxk.Com7. 【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴相交于，.（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、

15、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：.【解析】（）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且，又，得，故所求椭圆的标准方程为.（）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以，化简得.所以，所以，故为定值.同理，所以，.故. 8. 【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为()求椭圆的方程；()斜率为的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程【解析】（）由题意得 解得 所以椭圆的方程为 （）设直线l的方程为y=x+m， 由得.

16、 令，得 ，因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴 过做的垂线，则垂足为线段的中点设点的坐标为，则由方程组解得，即 而， 所以直线的方程为y=x-19. 【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆的离心率，且经过点.（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围【解析】（1） （2）的斜率不存在时， 的垂直平分线与轴重合，没有截距，故的斜率存在. 设的方程为，代入椭圆方程得： 与椭圆有两个不同的交点，即，即或设的中点则的垂直平分线的方程为在轴上的截距为 设，则，时， 恒成立时， 时的垂直平分线在轴上的截距的范围是10. 【湖南省湘潭市2019届高三

17、上学期第一次模拟检测】已知点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线斜率的取值范围.（2）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，不符合题意.故设直线的方程为，联立，可得.所以而，由，可得.来源:所以，又因为，所以.综上，.11. 【山东省寿光市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点

18、坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】试题解析：（1）由椭圆定义可知， ，直线，故，故椭圆的标准方程为： .（2）设，点，则， ，由，得： ，直线方程为： ，令，则，故；直线方程为： ，令，则，故；因为，故以为直径的圆与轴交于两点，设为，在以为直径的圆中应用相交弦定理得：，因为，所以，从而以为直径的圆恒过两个定点， .12. 【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. () 求椭圆的离心率；() 当时，求的面积；（）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .【解析】（）因为，所以 所以离心率 （）设 若，则直线的方程为 由，得解得 设，则 （

19、）法一：设点，因为，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以 或 法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由， 得 所以 又解得 或 所以 或 所以或13. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆交于两点且为直角，为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）求长度的最大值.【解析】（I）由， 所以椭圆方程为（II）设 ，把代入，得 ，来源:ZXXK， ，则当时，14. 【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）

20、已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.【解析】（1）设，因为，在直线上，所以，.因为点在圆上运动，所以.将式代入式即得曲线的方程为.（2）设，则，联立，得，所以，.因为直线的斜率，所以为.令，得 ，所以直线过定点.15. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆过， )两点学!(I)求椭圆的方程及离心率；()设点在椭圆上试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】（）由题意得， ， 所以椭圆的方程为 设椭圆的半焦距为，则 ， 所以椭圆的离心率 此时 ，或经检验，符合四边形是平行四边形，所以存在 ，或满足题意