专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题高考数学压轴题分项讲义（原卷版）

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1、专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系类型一 中点问题来源:ZXXK典例1 【山东省济南市2

2、018届高三上学期期末考试】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.（1）求椭圆的方程和直线的斜率；来源:Z.X.X.K（2）求面积的最大值.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】【2019四川省宜宾市质检】设椭圆的左焦点为，左顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线y=上找到一点，在

3、椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.类型二 垂直问题典例2 【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】设椭圆的左焦点为，离心率为， 为圆的圆心.来源:Z#xx#k.Com（1）求椭圆的方程；_网（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知O为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上，

4、且P到的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程。(2)若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程类型三 面积问题典例3 【广东省肇庆市2019届高三第二次（1月)统一检测】已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁【举一反三】【2019吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点

5、， 是上的动点， 为的左焦点.（）求椭圆的方程；（）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.类型四 范围与定值问题来源:Z#xx#k.Com典例4 【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】已知椭圆 的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且 .（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】【福建省龙岩市2019届高三第一学

6、期期末教学质量检查】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为（为坐标原点），且，求的取值范围.【精选名校模拟】1【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点，是平面内一点，直线的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为

7、曲线，过点的直线与相交于两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程3【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知椭圆：的焦距为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.4. 【广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测】已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，满足，其中是坐标原点，求的值。5. 【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】设椭圆的离

8、心率是，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），垂足为H，且，求证：直线恒过定点.6. 设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与x轴不重合，设P为圆A上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA于E（1）证明为定值，并写出E的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，问：在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补，若存在求出D点的坐标，否则说明理由。7. 【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴相交于，.

9、（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：.8. 【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为_网()求椭圆的方程；学!()斜率为的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程9. 【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆的离心率，且经过点.（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围来源:ZXXK10. 【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上.（1）求椭

10、圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线斜率的取值范围.11. 【山东省寿光市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.12. 【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. () 求椭圆的离心率；() 当时，求的面积；（）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时

11、，求的值 .13. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆交于两点且为直角，为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）求长度的最大值.14. 【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.15. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆过， )两点_网(I)求椭圆的方程及离心率；()设点在椭圆上试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由