专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题高考数学压轴题分项讲义（原卷版）

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1、 专题三 压轴解答题第一关 以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如1. 以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 如图，四棱锥的底面是菱形， ， 平面， 是的中点.（1）求证：平面平

2、面；（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且. 来源:()当

3、点在线段上什么位置时，有平面 ？()在()的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，ABC是边长为的正三角形，D，E分别为AB，BC的中点（）求证：平面； （）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 如图所示，在棱长

4、为2的正方体中， 分别为和的中点.(1)求证： 平面；(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法【举一反三】【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】如图所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为.（I）若点E

5、为PD上的点，且PB平面EAC.试确定E点的位置；（）在（I）的条件下，点F为线段PA上的一点且，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值.【精选名校模拟】1. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值2. 【湖北省2019届高三1月联考测试】如图，在四棱锥中，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.3. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末

6、教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.4. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.5. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面； （2）当侧面是正方形，且时， 来源:Zxxk.Com（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.6

7、. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ， ， ， ，四边形为矩形.来源:Z#X#X#K（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.7. 在三棱锥中， ， 为的中点， 平面，垂足落在线段上，已知.（1）证明： ；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.8. 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位

8、置.9. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点.学_（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.10. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（）求证：平面平面；（）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.11.如图，五面体中，底面是正三角形，四边形是矩形，二面角为直二面角学_（1）在上运动，当在何处时，有平面，并说明理由；（2）当平面时，求二面角余弦值12. 如图，已知平面四边形中，为的中点，且将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由&网来源:（3）求直线与平面所成角的正弦值来源:13. 四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.ABCDP14.如图，在四棱锥中，平面， ，为的中点（1）求异面直线，所成角的余弦值；（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值