专题2.4 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题高考数学压轴题分项讲义（原卷版）

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1、 专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维三维

2、二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 （2018山东湖北联考）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_来源:Z+xx+k.Com【名师指点】求椎体的体积关键是确定高，本题中认真体会线面垂直和面面垂直的转化，通过设角参数，巧妙地将四棱锥的高和SC建立了联系，进而利用三角函数知识确定范围.【举一反三】（2018宿州质检）如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥

3、的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A B C D 类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2 【2017课标1】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_来源:ZXXK答案【名师指点】确定外接球半径问题一般有下列方法: 将所求几何体通过补体，转化为长方体、直棱锥等熟悉几何体的外接球问题.; 球心是到多面体各顶点距离相等的点，可利用过三角形外心，且垂直于该面的垂线的交点确定; 构造特殊模型来确定外接球半径.【举一反三【2018四川省联考】设点是半径为2的球的球面上的三个不同

4、的点，且， ， ，则三棱锥的体积为_类型三 立体几何与函数的结合典例3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ）【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.【举一反三】（2018邢台模拟）在中， ， ， ，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其

5、中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时， 的长为_.来源:【精选名校模拟】1（2019运城模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，将ADE, CDF, BEF折起，使A，C，B三点重合于G，所得三棱锥GDEF的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为来源:A B C D 2. （2018淮北模拟）在平面四边形中，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成角最大时的正弦值为（ ）A B C D 3、【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面

6、边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_ .（不计损耗）4、（2018乌鲁木齐三模）圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是_5【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为_来源:Z_xx_k.Com6（2019安徽六校联考）在ABC中，已知, ,，D是边AC上的一点，将ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM=x，则x的取值范围是（ ）A B C D 7

7、已知的三边长分别为，是边上的点，是平面外一点给出下列四个命题：若平面，且是边中点，则有；若，平面，则面积的最小值为；若，平面，则三棱锥的外接球体积为；若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）8【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命题点是的垂心 平面二面角的正切值为点到平面的距离为则正确的命题有_.9已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， 给出下列结论：四面体体积的最大值为；四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且； 当二面角的

8、大小为时，棱的长为；当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)学-10（2018山东名校联考）如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，沿把面折起，使面面，当四棱锥的体积最大时，的长为_11【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试】如图，平面，分别为的中点，则三棱锥的体积为_12【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_13【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断： 直线与直线是异面直线；一定不垂直； 三棱锥的体积为定值； 的最小值为.其中正确的序号序号是_.学+14【2019广东高三年级第一学期期末质量检测】已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为_。