专题2.4 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题高考数学压轴题分项讲义（解析版）

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1、 专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维三维

2、二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 （2018山东湖北联考）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_【答案】【解析】如图所示，四棱锥中，可得： 平面平面平面，过作于，则平面，故，在中， ，设，则有， ,又 ，则，四棱锥的体积取值范围为.来源:ZXXK【名师指点】求椎体的体积关键是确定高，本题中认真体会线面垂直和面面垂直的转化，通过设角参数，巧妙地将四棱锥的高和SC建立了联系，进而利用三角函数知

3、识确定范围.【举一反三】（2018宿州质检）如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】设与底面所成的角为，则，来源:Z.xx.k.Com由题意可得且，则有平面，则，结合可知平面，据此有，则，由平面可知，结合可得平面，则. 在中，则， ，学-由基本不等式可知，当，即时三棱锥的体积最大，此时.类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2 【2017课标1】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积

4、为9，则球O的表面积为_答案【名师指点】确定外接球半径问题一般有下列方法: 将所求几何体通过补体，转化为长方体、直棱锥等熟悉几何体的外接球问题.; 球心是到多面体各顶点距离相等的点，可利用过三角形外心，且垂直于该面的垂线的交点确定; 构造特殊模型来确定外接球半径.【举一反三【2018四川省联考】设点是半径为2的球的球面上的三个不同的点，且， ， ，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】作ABC的外接圆圆，球心为，由题意可得： 平面，设ABC外接圆半径为，由正弦定理有，取中点，由可得： ，-网结合可知直线平面，则，结合可得： ，等腰三角形中， ，则， ，由勾股定理可得： ，由三棱锥体积公式可得： .

5、类型三 立体几何与函数的结合典例3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B正确.学-【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我

6、们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.【举一反三】（2018邢台模拟）在中， ， ， ，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时， 的长为_.【答案】【解析】由勾股定理易得： ，设，则，而AEDABC，故，四棱锥的体积：，求导可得： ，当时， 单调递增；当时， 单调递减；故当时， 取得最大值.【精选名校模拟】1（2019运城模

7、拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，将ADE, CDF, BEF折起，使A，C，B三点重合于G，所得三棱锥GDEF的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为A B C D 【答案】B【解析】设正视图的高为h，由题意可得三棱锥点G处的三条棱两两垂直，则，解得.则正视图的面积：.2. （2018淮北模拟）在平面四边形中，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成角最大时的正弦值为（ ）A B C D 【答案】D3、【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底

8、面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_ .（不计损耗）学+【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则 4、（2018乌鲁木齐三模）圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是_【答案】3【解析】圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，S在底面的射影为；，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3.5【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为_【答案】【解析】由

9、题意可知，ABD是等边三角形，找到ABD的中心，作平面，由题意可知，外接球的球心在直线上，由等边三角形的性质，有，利用面面垂直的性质可知： 平面，则外接球的球心在直线上，结合可知点为外接球球心，外接球半径为ABD的外接圆圆心，设外接球半径为，则，外接球的体积.6（2019安徽六校联考）在ABC中，已知, ,，D是边AC上的一点，将ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM=x，则x的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】7已知的三边长分别为，是边上的点，是平面外一点给出下列四个命题：若平面，且是边中点，则有；若，平面，则面积的

10、最小值为；若，平面，则三棱锥的外接球体积为；若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）来源:【答案】【解析】的三边长分别为，平面，且是边中点，正确；当平面，面积又因为作为垂线段最短为，面积的最小值为，不正确；若，平面，三棱锥的外接球可以看做为棱长的长方体，体积为故不正确的外接圆的圆心为，面，故正确8【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命题点是的垂心 平面二面角的正切值为点到平面的距离为则正确的命题有_.【答案】【解析】由平面可得，由平面可得，且，则平面，同理可知，

11、则点是的垂心，说法(1)正确；很明显，结合面面平行的判断定理可知：平面平面，结合平面可知平面，说法(2)正确；如图所示，连结，交于点，连结，由正方形的性质和等边三角形的性质可知，则为二面角的平面角，直角三角形中， ，说法(3)正确，由射影定理可知平面， 平面，结合对称性可知点为靠近点的线段的一个三等分点，由相似性可知：点到平面的距离为，说法(4)错误.综上可得：正确的命题有.学-9已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， 给出下列结论：四面体体积的最大值为；四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且； 当二面角的大小为时，棱的长为；当二面角为直二面角时，直线所成

12、角的余弦值为其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】由题意，中，四面体体积最大值为两个面互相垂直，四面体体积的最大值，所以不正确；中，三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，所以是正确的. 中，若分别为棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得到，连接，可得，所以，所以是正确的；中，由二面角的大小为时，棱的长为，在直角中，作，则，同理直角中，则,在平面内，过作，连接，易得四边形为矩形，则，又，即为二面角的平面角，即，则，由平面，得到，即有，来源:ZXXK则，所以是错误的，中，当二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴建立坐标系，则由向量的数量积可得到直线所

13、成的角的余弦值为，所以是正确的；综上可知正确命题的序号为. 10（2018山东名校联考）如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，沿把面折起，使面面，当四棱锥的体积最大时，的长为_【答案】【解析】设, 三角形为等腰直角三角形，,，即,又平面平面，平面,则四棱锥的高为，四边形的面积为，四棱锥的体积为，设，当时，为增函数，当时，为减函数，所以当时，取得最大值，故答案为.11【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试】如图，平面，分别为的中点，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】作于D，则，平面，12【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所

14、截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_【答案】6【解析】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为，又，.这两个圆的半径之和为6.13【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断： 直线与直线是异面直线；一定不垂直； 三棱锥的体积为定值； 的最小值为.其中正确的序号序号是_.学-【答案】【解析】如图，直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，直线AC与直线C1E

15、是异面直线，故正确；当E与B重合时，AB1A1B，而C1B1A1B，A1B平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故错误；由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则AA1O的面积为定值，由BB1平面AA1C1C，E到平面AA1O的距离为定值，三棱锥EAA1O的体积为定值，故正确；设BEx，则B1E2x，AE+EC1由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2，故正确故答案为：14【2019广东高三年级第一学期期末质量检测】已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为_。【答案】来源: