专题2.2 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题高考数学压轴题分项讲义（解析版）

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1、 专题二 压轴填空题 第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1【山西省太原市2019届高三上学期阶段性（期中)考试】已知函数=，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_；【答案】(0,1)【解析】函数f（x）=exex2x+1，xR；可设g（x）=exex2x，xR；则f（x）

2、=g（x）+1，且g（x）=exex+2x=（exex2x）=g（x），g（x）是定义域R上的奇函数；又g（x）=ex+ex20恒成立，g（x）是定义域R上的增函数；不等式f（x2+a）+f（2ax）2恒成立，化为g（x2+a）+g（2ax）+22恒成立，即g（x2+a）g（2ax）=g（2ax）恒成立，x2+a2ax恒成立，即x2+2ax+a0恒成立；=4a24a0，解得0a1，实数a的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问

3、题，可利用参变分离法或图象处理【举一反三】（2019昌吉教育共同体）若关于的不等式，在上恒成立,，则实数的最大值为（ ）A B C D 1【答案】B【解析】，令.，并代入不等式，则问题转化为不等式在上恒成立，即.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 （2019湖北四市联考*构造函数）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A B C D 【答案】D令,由可得,则在上单调递增，又由题意，则，即，故，.选D【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值来源:Z,X,X,K【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为_【答案】【解析】

4、令，则（）若，当时， 故在上为增函数，所以， 时， 即类型三 利用参变分离求恒成立问题典例2 （2019大庆模拟）已知函数，若对任意的且，都有，则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）变形可得f（x1）f（x2）（x1x2）0，所以函数f（x）为增函数或常数函数.当f（x）为增函数时，则f（x）=x-3kx-x ，所以3k ，h（x）= ，h（x）=0, h(x)为增函数, x , h(x) 1 3k ， k .【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，

5、按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 . 【答案】类型四 利用图像法求恒成立问题典例3 （2018曲靖检测*数形结合）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】f（x）=3xex，令y=kxk，f（x）=3ex（x+1），f（x）=3xex在（，1上是减函数，在（1，+）上是增函数，又y=kxk是恒过

6、点（1，0）的直线，作f（x）=3xex与y=kxk的图象如下：当直线y=kxk与f（x）=3xex相切时，设切点为（x，3xex），=3ex+3xex，则x，x=；令g（x）=3xexkx+k结合图象可知：，解得： 【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围【举一反三】【宁夏银川一中2019届高三第三次月考】函数在，上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，满足题意，当时，函数在上恒成立，即，令，则，令g(x)=则 所以g(x)在递增，因为g(0)=0,所以g(x)恒大于0，所以函数在上单

7、调递增，所以当时，函数，所以实数的取值范围是.【精选名校模拟】1已知曲线在点处的切线方程是，若恒成立，则实数的最大值为_【答案】.【解析】由题可得，则，因为 ，即恒成立，所以恒成立令，则，显然在上单调递增，且有唯一零点，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故实数的最大值为2【安徽六校教育研究会2019届高三第一次素质测试】已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数a的值为_.来源:Z*X*X*K【答案】【解析】令，令，故在上是减函数，上是增函数，故当时，有最小值，而，来源:（当且仅当，即时，等号成立）；故，若存在实数，使成立（当且仅当等号同时成立时，等号成立），故

8、，即，故答案为3已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_来源:Z.X.X.K【答案】【解析】函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，在上单调递增， 来源:Z+X+X+K故当时，函数单调递减；来源:当时，函数单调递增，则，故，故答案为.4【陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】若f（x）x2在（1，+）上恒成立，则等价为lnxax2在（1，+）上恒成立，即lnxx2a在（1，+）上恒成立，设h（x）=lnxx2，则h（x）=2x=，当x1时，h（x）0，即h（x）在1，+）上为减函数，则当x1

9、时，h（x）h（1）=12=1，则a1，故答案为： 5【四川省自贡市普高2019届第一次诊断性考试】函数存在唯一的零点，且 ，则实数的取值范围是_来源:ZXXK【答案】【解析】（i）当 时， ，令 ，解得 ，函数有两个零点，舍去（ii）当 时， ，令，解得x=0或 当a0时，0，当x或x0，f（x）0，此时函数f（x）单调递减；当0x-时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增故x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x00，则 即a24得a2（舍）或a-2当a0时0，当x或x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当x0

10、时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点f（0）=-10，函数f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数a的取值范围是（-，-2）故答案为：（-，-2） 6【四川省绵阳市江油中学2019届高三9月月考】已知函数，(e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，则的取值范围为_.【答案】【解析】对任意的x1R，存在x2，2，有f（x1）g（x2），故f（x）maxg（x）max，f（x）=，（x0），令f（x）0，解得：0xe，令f（x）0，解得：xe，故f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，故f（x）max=f（

11、e）=，g（x）=2ex+a，a0时，g（x）0，g（x）在，2递减，g（x）max=g（）=e+a，解得：a+（舍），a0时，令g（x）=0，解得：x=，（i）即a时，g（x）在，2递减，结合，不合题意，舍，（ii）2即a4e时，g（x）在，）递增，在（，2递减，故g（x）max=g（）=，解得：a2；（iii）2即a4e时，g（x）在，2递增，g（x）max=g（2）=4e+2a，解得：a2e+，综上，a2，故答案为：2，+）7（2018江门调研*数形结合）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】设，-网由题意知,存在唯一的整数使得在直线的下方，当时，当时，当

12、时，取最小值，当时，当时，直线恒过定点且斜率为，故且，解得, 8【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式在(0，+)上恒成立，则a的取值范围是_.【答案】，+)来源:Z_X_X_K【解析】设，则，(i)当a0时， ，则在(0，+)上单调递增，所以在(0，+)上恒成立，与已知不符，故a0不符合题意.(jj )当 a0 时，令， ，且，当2a1，即时， ，于是在 (0，+)上单调递减，所以，即在上成立.则f(x)在上单调递减，故f(x) f (0)=0在(0，+)上成立，符合题意.当02a1，即0a时， ， ，若，则， 在上单调递増；若在，则， 在上单调递减，又，则在上成立，即在上恒成

13、立，所以在上单调递增，则在上恒成立.与已知不符，故0a不符合题意.综上所述，a的取值范围，+).故答案为，+).学-9已知关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】 令 因此10（2019衡水中学调研*参变分离）已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为_【答案】【解析】，解得，解得，在递增，而，在恒成立，在恒成立，在递减，在递增，若存在实数使得不等式成立，只需即可，解得：11已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最大值为_【答案】即： ，整理可得： ，即恒成立，则原问题转化为求解的最大值.求导可得： ，令，则 ，令可得： ，当时， 单调递增，

14、当时， 单调递减，当时， 取得最大值： ，且： 时， ， ，据此可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，即函数的最大值为，综上可得： 的最大值为.12（2019赣州联考*参变分离）已知函数（x2），若恒成立，则整数k的最大值为_【答案】3【解析】f（x）恒成立，即h（x）=k即h（x）的最小值大于k而h（x）=，记g（x）=x3ln（x-1），（x2），则g（x）=0，g（x）在（2，+）上单调递增，又g（4）=1ln30，g（5）=22ln20，g（x）=0存在唯一实根a，且满足a（4，5），a-3=ln（a-1），当xa时，g（x）0，h（x）0，当2xa时，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=a-1（3，4），故正整数k的最大值是3 13设，不等式对恒成立，则的取值范围_【答案】【解析】根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是