专题02 过“三关”破解数列新情境问题（第三篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、一方法综述新定义型数学试题，背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求我们在充分阅读题意的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏

2、的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题”，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加. 来源:本专题所说“三关”即解答应用题的“三关”：一是事理关，即读懂题目，理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是文理关，即把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，利用已知的数列知识、解题的方法和技巧求解.下面通过例题说明应对数列新情境问题的方法与技巧.二解题策略类型一 传统文化问题，过好“事理关”【例1】【湖南省衡阳市第八中学201

3、9届高三上第二次月考】中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第2天走了( )A 24里 B 48里 C 96里 D 192里来源:Zxxk.Com【指点迷津】运用所学知识去分析解答日常生活和生活实际中的实际问题是学习数学的需要和学习数学的目的.这类问题要求运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名而古老是数学问题.解答时要求准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本

4、题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既是基础又是有力保障.【举一反三】我国明朝著名数学家程大位在其名著算法统宗中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有（ ）盏灯.类型二 新定义问题，把好“数理关”【例2】【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知数列中，定义，则（ ）A. B. C. D. 【例3】【2018届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次

5、“扩展”将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；.设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为_【例4】【2018届河北省衡水中学三轮复习系列七】甲题型：给出如图数阵表格形式，表格内是按某种规律排列成的有限个正整数.来源:（1）记第一行的自左至右构成数列，是的前项和，试求；（2）记为第列第行交点的数字，观察数阵请写出表达式，若，试求出的值.【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说

6、“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.新定义问题的解题要求： (1)提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；(2)深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法，比较相近知识点，明确不同点；(3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点3.新定义问题的解题思路为：来源:Zxxk.Com若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法【举一反三】1.【2016全国卷】定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任

7、意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于“1”的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个C14个 D12个来源:ZXXK2.【江苏省徐州市2019届高三上期中模拟】对于实数，定义：，已知数列满足，设表示数列的前和，若，则的值为_.3.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.三强化训练1.【东北师范大学附属中学2018届五模】我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，

8、且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤”A 6斤 B 7斤 C 斤 D 斤2.【2018届山东省日照市高三4月校际联考】定义为个正数，的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）A. B. C. D. 3【四川省高2019届高三第一次诊断】已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，则数列的通项公式是（ ）A B C D 4定义:若（ 为常数),则称为“比等差数列”.已知在“比等差数列”中, ,则的末位数字是（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 65对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质P（t），若数列的通项公式为，且具有性质

9、P（t），则t的最大值为A 6 B 3 C 2 D 16【2018届四川省攀枝花市第三次（4月）统考】记若是等差数列，则称为数列的“等差均值”;若是等比数列，则称为数列的“等比均值”.已知数列的“等差均值”为2,数列的“等比均值”为3.记数列的前项和为若对任意的正整数都有,则实数的取值范围是_7【林省长春外国语学校2018届二模】已知为锐角，且，函数，数列的首项，（1）求函数的表达式；（2）求证：数列为等比数列；（3）求数列的前n项和8【江苏省徐州市2019届高三第一学期期中模拟】设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的通项公式； 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：9【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上第二次质检】已知数列的前n项和为，（）求数列的通项公式；（）设数列的前n项和为，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的最大值10【广东省江门市2018年高二调研测试（一）】已知是等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若单调递增，且的前项和，求的最小值. 5