专题2.1 以零点个数为背景的填空题高考数学压轴题分项讲义（解析版）

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1、 专题二 压轴填空题 第一关 以零点个数为背景的填空题【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.【典例解剖】类型一 周期函数零点个数问题典例1山东省夏津一中2019届高三上学期12月月考定义在上的函数，满足，且.若，则函数在内的零点的个数有_个【答案

2、】2【解析】由于，故是周期为点的周期函数，画出的图像以及的图像如下图所示，由图可知，两个函数有个交点，故函数有个零点。【名师指点】将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数图像在给定区间的交点个数问题,利用周期性和偶函数正确作图以及判断端点函数值的大小是解题关键求解零点问题时，往往转化为的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图像的交点问题求解【举一反三】已知函数满足 ，且是偶函数，当 时，若在区间 内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知函数是周期为的偶函数，结合当 时，绘制函数图象如图所示，函数有4个零点，则函数与函数的图象在区间内有4个交点，结合函

3、数图象可得：当时：，求解对数不等式可得：，即实数的取值范围是.本题选择D选项.类型二 复合函数的零点个数问题典例2 【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】来源:Zxxk.Com当或时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增来源:Zxxk.Com可作出大致函数图象如图所示：令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解关于的方程，恰好有4个不相等实数根关于的方程在和上各有一解，解得，故答案为【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值【举一反三】山东省泰安市2

4、019届高三上学期期中考试已知是R上的偶函数且，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】【解析】作出函数的图象如下图所示 由可得或由图象可得有唯一解关于的方程有三个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，结合图象可得或实数的取值范围是故答案为类型三 分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题典例3 【江苏省镇江市2018届高三上学期期末统考】已知为常数，函数，若关于的方程有且只有4个不同解，则实数的取值集合为_【答案】【解析】画出函数的图象如图所示：过点当时，显然不满足题意，故在上与函数有一个交点在上与函数有三个交点，且由图所示在上与

5、函数有一个交点设直线与的图象在相切的切点坐标为，则， ， ， 实数的取值范围是【名师指点】分段函数与含绝对值函数典型特征为各段解析式不一致，不仅要考虑对应性，而且需考虑自变量在结合点情况及值域包含关系来源:Z_xx_k.Com【举一反三】【安徽省2019届高三皖南八校第一次联考】已知高数的周期为4，且时，,，若方程恰有5个实数解（其中m0），则m的取值范围为_。=网【答案】 来源:【精选名校模拟】1. 已知定义在上，且周期为2的函数满足，若函数有3个零点，则实数的取值范围是_A BC D【答案】【解析】先画出函数f(x)在一个周期-1,1上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数f(x)

6、在原点附近的图像，如图所示，函数有3个零点等价于函数f(x)的图像和函数y=kx+3的图像有3个零点，直线y=kx+3过定点（0,3），把直线y=kx+3绕点（0,3）旋转，当k0时，该直线由AH旋转到BG（不包括端点）,此时它们的图像恰好有三个交点，因为,所以此时.当k0时，该直线由CF旋转到DE（不包括端点）,此时它们的图像恰好有三个交点，同上可得.（此处也可以由对称性得到）.当k=0时，显然不成立，2. （安徽省肥东县高级中学2019届上学期高三8月调研）定义在上的函数，满足，且当时， ，若函数在上有零点，则实数的a取值范围是_【答案】【解析】来源:Zxxk.Com因为当时， ，所以时，

7、 所以，此时，故 所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得， 所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是3.设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=【答案】2【解析】题中原方程有个不同的实数根，即要求对应于等于某个常数有个不同实数解和个不同的实数解，故先根据题意作出的简图：来源:ZXXK由图可知，只有当时，它有三个根，故关于的方程有一个实数根，或，时，方程或,有5个不同的实数根，4【江西省南昌市第八中学、第二十三中学、第十三中学2019届高三第一学期期中联考】若函数yf(x)(xR)满足f(1+x)f(1-x)且x1，1时，f(x)1x2，函数g(

8、x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5，5内的零点的个数为_=网【答案】8【解析】因为f（x+2）f（x），所以函数yf（x）（xR）是周期为2函数，因为x1，1时，f（x）1x2，所以作出它的图象，则yf（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g（x）的图象，容易得出到交点为8个5【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为_.【答案】3结合对称可知,而,所以,而,G点坐标为,所以6【山东省济宁市2019届高三上学期期末考试】定义在R上的函数，满足时，则方程上的实数根之和为_【答案】【解析】因为，所以=，即：所以函数的周

9、期为4。时，所以当时，因为函数在上单调递增，所以在上有且只有一解，时，无解。即在内只有一解：因为函数满足：所以函数的图像关于直线对称，可得：所以在内的解有两个，即在一个周期内满足的解有两个，由函数的周期为4可得：，所以方程上的实数根分别为，其和为：.7【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】设函数，. 若存在两个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】,若存在两个零点，即a,和g(x)有两个不同的交点即可，其中一个临界是过点（1，0）代入得到a=2,且能取到，另一个临界是过点（1，2），代入得到a=-4.故范围是.来源:Z&xx&k.Com故答案为：。8【西藏自治区拉萨中学2019届高三第二次月

10、考】已知函数，若函数f(x)在R上有两个零点，则的取值范围是 【答案】【解析】由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而函数与轴的焦点坐标为，且只需，即即可，故答案为.9. 【2018东北名校联考】已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有三个不同零点，则的范围为_ 【答案】【解析】 当 时， 故函数 作函数 与 的图象如下，过点 时， ， 故 ，故 故 ，故实数的取值范围是 10. 若函数，在区间上有两个零点，则实数的取值范围为_【答案】11. 【江苏省南通市2019届高

11、三年级阶段性学情联合调研】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：来源:Z#X#X#K由图易得：故答案为：12. 【2018湖北省部分重点中学联考】已知函数，若关于的方程有两个不等实数根，则的取值范围为_来源:Zxxk.Com【答案】【解析】，易知的图象如下：，令，则，得，当有两个不等实根是，则，所以，即的取值范围是。13. 【福建省厦门市2018届高三年级第一学期期末质检】已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围为_【答案】或【解析】函数存在零点，即方程 存在实数根，也就是函数与的图象有交点如图：直线恒过定点 过点与的直线的斜率 来源:Z*X*X*K设直线与相切于，则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为由切线过则 得 此时切线的斜率为 由图可知，要使函数 存在零点，则实数的取值范围为 或 故答案为： 或