专题01 数形巧结合“玩转”离心率（第五篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、2019高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第五篇 解 析 几 何专题01 数形巧结合，“玩转”离心率一方法综述离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数圆锥曲线的离心率及其范围的求解是一类常见问题，也是历年高考考查的热点，难易题目皆有求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角

2、形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解来源:Z+xx+k.Com（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口来源:Zxxk.Com（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式

3、，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：下面通过例题说明离心率及其范围问题的解法与技巧.二解题策略类型一 利用几何性质【例1】【2018届湖南师范大学附属中学月考（六）】设椭圆的右焦点为,椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【例2】设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【指点迷津】1.在圆锥曲线中，要注意为中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与搭配形成三角形的中位线.2.几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手

4、，寻找图形中的平行、垂直关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆、双曲线的元素a，b，c的齐次关系式解题.来源:【举一反三】1. 【2018届山东省济南省二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）来源:A. B. C. D. 2. 【2018届河南省名校压轴第二次考试】已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 类型二 利用坐标运算【例3】【2018届福建省漳州市5月测试】已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点若存在，使得，则椭圆的离心

5、率的取值范围是A. B. C. D. 【例4】已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【指点迷津】1.例4的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解，可灵活选择.来源:Z,X,X,K2.由于椭圆(双曲线)的元素a，b，c在图形、方程中具有一定的几何意义，所以借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题.【举一反三】1. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与

6、双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若MAN=60，则C的离心率为_.2. 【2018届河南省名校压轴第二次考试】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为_类型三 数形结合法【例5】设点分别为椭圆的左右焦点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【例6】已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 3【指点迷津】 例5运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另

7、一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标.例6综合性较强，难度较大，结合图形特征及椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.【举一反三】1.【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）ABCD2.【2016全国卷】已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C. D.三强化训练

8、1.【2018届云南省昆明第一中学第八次月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线底面右顶点，点是双曲线上一点，平分，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2.【2018年全国卷理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为A. B. 2 C. D. 3.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 4已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于， 则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.

9、B. C. D. 5【2018届山东省烟台市高考练习（二）】已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，是抛物线上的动点，当取得最小值时，点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_.6已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且为直角，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则的值为_7【2018届江西省上饶市三模】已知两定点和，动点在直线：上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为_8【2018届福建省三明市5月测试】已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是_9如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于_.10【2018届河南省郑州市第三次预测】已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是_ 6