专题01 利用构造或猜想解决数列递推问题（第三篇）-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破（原卷版）

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1、一方法综述许多数列问题，需要确定数列的通项公式特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解，往往是解决数列难题的瓶颈递推数列的通项问题是高考的热点问题，又是高中数学教学的难点高考往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为所研究的等差或等比数列本专题举例说明利用构造或猜想，解决数列递推问题的方法、技巧.二解题策略类型一 累加（累乘法）【例1】（1）数列满足：，且，求.来源:ZXXK（2）已知数列满足：，且，求【指点迷津】1.已知数列的前项和，求数

2、列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写2.累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和 的系数相同，且为作差的形式3.累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式【举一反三】【北京海淀教师进修学校附属实验学校】已知数列的前项和为，且，（I）求证：数列为等比数列；（II）求数列的通项公式及前项和；（III）若数列满足：，求数列的通项公式类型二 构造

3、辅助数列法【例2】（1）数列中，求数列的通项公式.（2）在数列中，求数列的通项公式.【指点迷津】构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式.（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题来源:Zxxk.Com（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两

4、边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解【举一反三】来源:Z,X,X,K【2018届甘肃省兰州第一中学上学期第二次月考】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为_来源:ZXXK类型三 归纳猜想法【例3】【2018届重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列的前项和，记数列的前项和为，则的最小值为_.【指点迷津】先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求

5、对于正负符号变化，可用或来调整），必要时再利用数学归纳法证明.【举一反三】已知数列满足，则 ( )A 0 B C D 三强化训练1已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D 2【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_3【2018年清华大学中学生标准学术能力诊断性测试】数列的首项，且，令，则_4设数列满足， _5已知数列满足：，且a1=2，则_6【山西省太原市2018届三模】已知数列与满足，且，则_来源:7【江西省南昌市2018届二轮测试（一）】已知数列满足，则使得成立的最大值为_.8【湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上月考二】已知数列满足，且，记为数列的前项和，则 _.9数列满足，则的前项和为 10【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知数列中， （1）令，求证：数列是等比数列；（2）令 ，当取得最大值时，求的值. 4