专题1.1 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题高考数学压轴题分项讲义（解析版）

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1、 专题一 压轴选择题 第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定，的等量关系，然后把用，代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于，的不等式，再根据，的关系消掉得到关于，的不等式，由这个不等式确定，的关系2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围（2）构造函数法：根据题设条件，用其他

2、的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解常见的几何方法有：（1）直线外一定点到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；（2）圆外一定点到圆上各点距离的最大值为，最

3、小值为(为圆半径)；（3）过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如椭圆上两点间最大距离为(长轴长)；双曲线上两点间最小距离为(实轴长)；椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值. 【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例1【2019湖北1月联考】如图，点为双曲

4、线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（ ）A B C2 D【答案】A典例2【2019安徽宿州模拟】分别过椭圆的左、右焦点、作的两条互相垂直的直线、若与的交点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A(0,1) B C D【答案】D【解析】由题意可知椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|cb，所以c2b2a2c2，e故选：D学-【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求

5、得离心率的值或范围一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身范围来确定【举一反三】【2019安徽宿州联考】过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为,与另一条渐近线相交于点,若,则此双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【答案】B【解析】如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B所以FBOA，又因为2，所以A为线段FB的中点，24，又13，2+390，所以12+4223故2+39032230160，e24e2-网故

6、选：B类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例2【2019湖北1月联考】椭圆：与双曲线：焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为、，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）A BC D【答案】C来源:【名师指点】本题主要考查圆锥曲线的定义与简单几何性质，需要学生灵活掌握圆锥曲线的定义与性质【举一反三】【2019安徽宿州模拟】已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为

7、，圆在点处的切线方程为，所以，所以，故选D.类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例3设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A B2C. D【答案】D【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于的方程，进而确定离心率的值【举一反三】【2019山东济南模拟】已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为( )A B

8、 C D【答案】D【解析】设AF1m，AF2n如图所示，由题意可得：RtAF1F2RtOMF2，则m+n2a，m2+n24c2，n3m化为：m2，n29m26b26b24c2c2，化为：故选：D【精选名校模拟】1【2019湖南长沙检测】已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（ ）A B C D【答案】C【解析】结合抛物线的性质可得，所以抛物线方程为，所以点A坐标为，所以直线AB的方程为，代入抛物线方程，计算B的坐标为，所以，故选C。2【2019湖南长沙模拟】已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）A B C D【答案】A【解

9、析】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，故选：.学-3【2019湖南湘潭一模】过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（均不与坐标原点重合），已知抛物线的焦点到直线距离的最大值为3，则（ ）A B2 C4 D6来源:【答案】B【解析】设直线的方程为，把直线方程代入抛物线方程，得，所以，.因为，所以，即，解得，所以，所以直线恒过点，则抛物线的焦点到直线距离的最大值为，即.4【2019贵州遵义联考】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】圆C1：（x+4）2+y24的圆心为（4，0），

10、半径为r12；圆C2：（x4）2+y21的圆心为（4，0），半径为r21，设双曲线x21的左右焦点为F1（4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2（|PF1|2r12）（|PF2|2r22）（|PF1|24）（|PF2|21）|PF1|2|PF2|23（|PF1|PF2|）（|PF1|+|PF2|）32a（|PF1|+|PF2|32（|PF1|+|PF2|）322c328313当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13故选：D5【2019湖北宜昌调研】过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】C【解

11、析】设， ，P是线段AB的中点，则，过点且倾斜角为的直线方程为：，即：联立直线与椭圆方程得：，整理得： ，代入得： ,椭圆的离心率为:.故选：C6【2019湖北宜昌模拟】已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点P，KAB设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x24，y1+y22，A、B是椭圆1上的点，1，1，得：0，KAB，故选：7【广东省惠州市2019届高三第三次调研考试数学】两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D【答案】A【

12、解析】由题意可得：，结合，解方程组可得：，则双曲线中：.故选A8【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 来源:【答案】B【解析】， ，.选B.9【2019河南郑州模拟】已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为来源:A8 B9 C10 D11【答案】B【解析】由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|2a+

13、|MF1|6+|MF1|，由圆E：x2+（y）21可得E（0，），半径r1，|MN|+|MF2|6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+419故选：B来源:10【2019河南郑州一模】抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A B1 C D2【答案】B【解析】设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|在梯形ABPQ中，2|CD|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|AB|2a2+b22a

14、bcos60a2+b2ab配方得，|AB|2（a+b）23ab，又ab（ ） 2，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）|CD|1，即的最小值为1故选：B11【2018山西名校联考】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）A. B. C. D. 【答案】C12【2018河南名校联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）A. B. C. D. 13【2019安徽黄山一模】已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且,则双曲线的离心率为( )A B C D【答案】A【解析】由题意知，三角形为等边三角形，则，则，解得，故离心率为，答案为A.-网