专题05 挖掘“隐零点”破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题（原卷版）

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1、专题五 挖掘“隐零点”，破解导数压轴题函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练.【典型例题】类型一 挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线

2、与直线y=3x平行.(1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由;(2)当时,恒成立，求的取值范围.类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式例2. 设函数，设求证：当时，类型三 挖掘“隐零点”，估算极值例3.【2017年全国课标1】已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22【规律与方法】“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的

3、代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题我们称这类问题为“隐零点”问题处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x0)0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数f(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；这

4、里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可【提升训练】1.【江西省九江市2019届高三一模】已知函数1试讨论函数的单调性；2若函数存在最小值，求证：2【广东省汕头市2019届高三上学期期末】已知函数讨论的单调性；若，是的两个极值点，证明：3.【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟】

5、已知函数（1）若，证明：；（2）若只有一个极值点，求的取值范围4. 已知函数,（）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（）当时，证明：.5.已知函数 f（x）=（aR），曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直（1）求a的值，并求f（x）的单调区间；（2）若是整数，当x0时，总有f（x）（3+）xlnx+，求的最大值6.【湖北省武汉市2019届高三二月调研测试】已知函数（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）设的两个极值点为，证明：当时，（附注：）7.已知函数f（x）=（aexax）ex（a0，e=2.718，e为自然对数的底数），若f（x）0对于xR恒成立（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且8已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值9已知函数f（x）=ex+alnx（其中e=2.71828，是自然对数的底数）（）当a=0时，求函数a=0的图象在（1，f（1）处的切线方程；（）求证：当时，f（x）e+110已知函数f（x）=x2（a2）xalnx（aR）（）求函数y=f（x）的单调区间；（）当a=1时，证明：对任意的x0，f（x）+exx2+x+2 3