专题03 “用好零点”证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题（原卷版）

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1、专题三 “用好零点”，证明函数不等式函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练.【典型例题】类型一 设而不求，应用函数零点存在定理例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点

2、，求的取值范围；（2）求证：时，类型二 设而不求，应用不等式性质例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，）（1）讨论的单调性；（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：类型三 代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.类型四 利用零点性质，构造函数证明参数范围例4【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数 (1)判断的单调性；(2)若在(1，+)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a1【规律与方法】应用函数的零点证明不等式问题，从已知条

3、件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系.1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离

4、参数、构造函数等手段.【提升训练】1【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数 ，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：2【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，求证：3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）4已知函数f（x）=lnx+a（x1）2（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：5. 已知函数f（x）=3ex+x2，

5、g（x）=9x1（1）求函数（x）=xex+4xf（x）的单调区间；（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明6. 已知函数f（x）=lnxx+1，函数g（x）=axex4x，其中a为大于零的常数（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：g（x）2f（x）2（lnaln2）7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，证明：.8【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e为自然对数的底数)，(I)记，讨论函单调性；(II)令，若函数G(x)有两个零点(i)求参数a的取值范围；(ii)设的两个零点，证明9已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明： .10已知函数，其中为自然对数的底数， （I）若，函数求函数的单调区间若函数的值域为,求实数的取值范围（II）若存在实数,使得，且，求证： 3