专题03 “用好零点”证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题（解析版）

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1、专题三 “用好零点”，证明函数不等式函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练.【典型例题】类型一 设而不求，应用函数零点存在定理例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点

2、，求的取值范围；（2）求证：时，【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f（x）lnxex+a的导数为f（x）ex+a曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1e1+a，切点为（1，e1+a），可得切线方程为y+e1+a（1e1+a）（x1），可令y0可得x，由题意可得0，可得e1+a1，解得a1；（2）证明：f（x）ex+a设g（x）f（x）ex+a可得g（x）（+ex+a），当x0时，g（x）0，g（x）递减；由a1，ex+aex若ex，g（x）ex0，当0x1时，ex+ae1+a若e1+a，即xe1a，故当0xe1a时，g（x）0，即g（x）f（x）有零点x0，当0xx0

3、时，f（x）0，f（x）递增；当xx0时，f（x）0，f（x）递减，可得f（x）f（x0），又f（x0）lnx0ex0+a，又ex0+a，可得f（x0）lnx0，在x00递增，又alnx0（lnx0+x0），a1（lnx0+x0）1（ln+），所以lnx0+x0ln+，由于lnx0+x0递增，可得0x0，故f（x）f（x0）f（）1e类型二 设而不求，应用不等式性质例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，）（1）讨论的单调性；（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （

4、2）见解析.【解析】（1）， 设 ， 解法一：由和在上单调递增，可知在上单调递增，解法二：由得可知在上单调递增，又，所以当时，当时， 当时，当时，；当时， 当时，由得或x1，当时，；当时，；当时，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增 （2）解法一（分析法）：当时，由（1）知在上的最大值为，可知，所以在上无零点 若是函数的零点，则， ，解法一：由和在上单调递增，且、，可知在上单调递增，解法二：设，则，由得，所以， 可知在上单调递增，要证，只需证， 由（1）知在上单调递增， 只需证，又， 只需证且 ，由，得，又，所以；，由得，综上所述，得证方法二

5、（综合法）：当时，由（1）知在上的最大值为，可知，所以在上无零点 若是函数的零点，则，而 ，由，得，又，所以；，由得，所以，又，即， 由（1）知在上单调递增，所以，而，由和在上单调递增，且、，可知在上单调递增， 所以，得证类型三 代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1），当时，在区间上单调递增；当时，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）因为，是的两个零点，则，所以，.要证，只要证，即证，即证，

6、即证，只要证.设，则只要证.设，则，所以在上单调递增.所以，即，所以，即.类型四 利用零点性质，构造函数证明参数范围例4【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数 (1)判断的单调性；(2)若在(1，+)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a0; (ii)见解析【解析】（），所以当时，单调递减；当时，单调递增 （）由已知，当时，有唯一零点； 当时，所以当时，减；当时，增所以，因，所以当时，有唯一零点；当时，则，所以，所以，因为，所以，且，当，时，使，取，则，从而可知当时，有唯一零点，即当时，函数有两个零点 当时，由，得，或 若，即时，所以是单调减函数，至多有一个零点； 若，即时，注意到，都是增

7、函数，所以当时，是单调减函数；当时，是单调增函数；当时，是单调减函数又因为，所以 至多有一个零点； 若，即时，同理可得当时，是单调减函数；当时，是单调增函数；当时，是单调减函数又因为，所以至多有一个零点综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是 由知，函数有两个零点，则参数的取值范围是，是的两个零点，则有，因，则，且，由（）知，当时，是减函数；当时，是增函数令，再令（m）e2m+1e2m1，所以，又，所以时，恒成立，即恒成立，令，即，有，即，因为，所以，又，必有，又当时，是增函数，所以，即9已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证

8、明见解析.【解析】（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且. 于是： 由得，设，则，因此在上单调递减，又， 根据零点存在定理，故.10已知函数，其中为自然对数的底数， （I）若，函数求函数的单调区间若函数的值域为,求实数的取值范围（II）若存在实数,使得，且，求证： 【答案】（1）详见解析实数的取值范围是；（2）；【解析】（1）当时， .由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.当时， ，所以在区间上单调递减；当时， ，所以在区间上单调递增.在上单调递减，值域为,因为的值域为，所以，即. （2）.若时， ，此时在上单调递增.由可得，与相矛盾，同样不能有.不妨设，则有.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时， .由，且，可得故.又在单调递减，且，所以，所以，同理.即解得，所以. 19