专题04 “用好零点”确定参数的最值或取值范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
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1、专题四 “用好零点”,确定参数的最值或取值范围函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点,确定参数的最值或取值范围问题,例题说法,高效训练.【典型例题】例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.(1)若是的极大值点,求的值;(2)若在上只有一个零点,求的取值范围.【答
2、案】(1)(2)【解析】 (1),因为是的极大值点,所以,解得,当时,令,解得,当时,在上单调递减,又,所以当时,;当时,故是的极大值点;(2)令,在上只有一个零点即在上只有一个零点,当时,单调递减;当时,单调递增,所以.()当,即时,时,在上只有一个零点,即在上只有一个零点.()当,即时,取,若,即时,在和上各有一个零点,即在上有2个零点,不符合题意;当即时,只有在上有一个零点,即在上只有一个零点,综上得,当时,在上只有一个零点.例2.【东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数(为自然对数的底数),.(1)当时,求函数的极小值;(2)若当
3、时,关于的方程有且只有一个实数解,求的取值范围.【答案】(1)0(2)【解析】(1)当时, 令 则 列表如下:1单调递减极小值单调递增所以. (2)设,设, 由得, ,在单调递增,即在单调递增,当,即时,时,在单调递增,又,故当时,关于的方程有且只有一个实数解,符合题意. 当,即时,由(1)可知,所以,又故,当时,单调递减,又,故当时,在内,关于的方程有一个实数解1.又时,单调递增,且,令,,故在单调递增,又 在单调递增,故,故,又,由零点存在定理可知,故在内,关于的方程有一个实数解.又在内,关于的方程有一个实数解1,不合题意.综上,.例3. 已知函数,其中.(1)设,讨论的单调性;(2)若函
4、数在内存在零点,求的范围.【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是.【解析】(i) 当 时,则 ,因此在 上恒有 ,即 在 上单调递减;(ii)当时, ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上单调递减,在单调递增.(2)设 ,,设,则 . 先证明一个命题:当时, .令, ,故在上是减函数,从而当时, ,故命题成立.若 ,由 可知, .,故 ,对任意都成立,故 在上无零点,因此.(ii)当,考察函数 ,由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为,则当时, ,故 在 上为减函数,又 ,所以当 时, ,从而 在 上单调递减,故在 上恒有 .即 ,注意到 ,因此,令时,则有,由零点存在定理可知函数 在
5、上有零点,符合题意. %网例4【广东省广州市天河区2019届高三综合测试(一)】设函数若函数在处的切线与直线垂直,求实数a的值;讨论函数的单调区间与极值;若函数有两个零点,求满足条件的最小整数a的值【答案】(1);(2)见解析;(3)3【解析】,函数在处的切线与直线垂直,解得,时,此时函数在内单调递增,无极值时,可得函数在内单调递减,在内单调递增可得时,函数取得极小值,由可得:时,函数在内单调递增,不可能有两个零点,舍去时,可得时,函数取得极小值,时,;时,因此极小值即令函数,在上单调递增,可得,满足条件的最小整数【规律与方法】根据函数零点求参数取值,也是高考经常涉及的重点问题,(1)利用零点
6、存在的判定定理构建不等式求解;(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图象与参数的交点个数; (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.(4)如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.(5)参变分离法、构造函数法、数形结合法等,均应灵活运用.【提升训练】1.【四川省高中2019届高三二诊】已知求的极值;若有两个不同解,求实数的取值范围【答案】(1)有极小值,为;无极大值;(2)【解析】的定义域是,令,解得:,令,解得:,故在递减,在递增,故
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