2018-2019学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）已知集合U1，2，3，4，A1，3，B2，3，则A（UB） 2（5分）函数ylog2（2x+1）定义域 3（5分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 4（5分）若f（x）为幂函数，且满足，则f（3） 5（5分）设A（1，3），B（3，n），C（m+2，1）若，则mn 6（5分）已知tan2，则sin22cos2 7（5分）函数yf（x）是奇函数，当x0时，f（x）x2+ax，且f（2）12，则a 8（5分）将函数图

2、象上的所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）的解析式为 9（5分）若方程7x2（m+13）xm20的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为 10（5分）已知偶函数f（x）在0，+）上单调递减，且f（4）0，则不等式的解集为 11（5分）已知，则 12（5分）已知函数，其中a0且a1，若f（x）的值域为3，+），则实数a的取值范围是 13（5分）如图，在四边形ABCD中，O为BD的中点，且，已知，7，则BD 14（5分）已知函数f（x）log2（x+1），g（x）x|xa|，（a0），若对任意x11，+），总存在唯一的x22，+），使

3、得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为 二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）设集合A，B（1）当ABB时，求实数m的取值范围；（2）当AB时，求实数m的取值范围16（14分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（2，0），B（0，2），C（cos，sin）（1）若，且（0，），求角的值；（2）若，求的值17（14分）设向量，满足，（1）求的值；（2）求与夹角的正弦值18（16分）已知（1）求函数f（x）的最小值，并写出f（x）取得最小值时自变量x的取值集合；（2）若x0，求函数f（x）的单调

4、增区间；（3）当x，0时，不等式mf（x）+4mf（x）恒成立，求实数m的取值范围19（16分）已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以xkm/h的速度航行时（考虑到航线安全要求20x50），每小时使用的燃料费用为万元（k为常数，且），其他费用为每小时万元（1）若游轮以30km/h的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；（2）求该游轮单程航行所需总费用的最小值20（16分）已知函数，aR，函数g（x）lnx（1）若f（x）的最大值为0，记m，求g（m）的值；（2）当a5时，记不等式f（x）0的解集为M，求函数，xM的值域（

5、e是自然对数的底数）；（3）当a1时，讨论函数的零点个数2018-2019学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）已知集合U1，2，3，4，A1，3，B2，3，则A（UB）1【分析】进行交集、补集的运算即可【解答】解：UB1，4；A（UB）1故答案为：1【点评】考查列举法的定义，以及交集、补集的运算2（5分）函数ylog2（2x+1）定义域【分析】直接由对数式的真数大于0求解不等式得答案【解答】解：由2x+10，得x函数ylog2（2x+1）定义域为故答案为：【点

6、评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题3（5分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为6【分析】利用扇形的弧长、面积公式，即可得出结论【解答】解：一扇形的圆心角为，半径为6，l62，S266故答案为：6【点评】本题考查扇形的弧长、面积公式，考查学生的计算能力，比较基础4（5分）若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）【分析】设f（x）xa，由42，得，从而f（x），由此能求出f（3）【解答】解：f（x）为幂函数，且满足，设f（x）xa，则42，解得，f（x），f（3）故答案为：【点评】本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）设A（1，3）

7、，B（3，n），C（m+2，1）若，则mn15【分析】根据A，B，C三点的坐标可求出，根据，即可得出，从而可求出m，n的值，进而求出mn的值【解答】解：，；解得；mn15故答案为：15【点评】考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及向量坐标的数乘运算，相等向量的概念6（5分）已知tan2，则sin22cos2【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系吧要求的式子化为，计算求得结果【解答】解：tan2，则sin22cos2，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题7（5分）函数yf（x）是奇函数，当x0时，f（x）x2+ax，且f（2）12，则a8【分析】根据题意，由奇

8、函数的性质可得f（2）f（2）12，结合函数的解析式分析可得f（2）42a12，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，函数yf（x）是奇函数，且f（2）12，则f（2）f（2）12，又由当x0时，f（x）x2+ax，则f（2）42a12，解可得a8；故答案为：8【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及函数值的计算，注意由函数奇偶性的性质分析，属于基础题8（5分）将函数图象上的所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）的解析式为g（x）3sin（4x+）【分析】由三角函数图象的平移变换得：将函数图象上的所有点向左平移个单位，得图象所对应的解析式为：h（x）3sin2（

9、x+）3sin（2x+），由三角函数图象的伸缩变换得：g（x）3sin（4x+），故得解【解答】解：将函数图象上的所有点向左平移个单位，得图象所对应的解析式为：h（x）3sin2（x+）3sin（2x+），再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）的解析式为：g（x）3sin（4x+），故答案为：g（x）3sin（4x+）【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属简单题9（5分）若方程7x2（m+13）xm20的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为（4，2）【分析】根据方程和函数之间的关系设f（x）7x2（m+13）xm2，根据一元二次方程根的

10、分布，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：设函数f（x）7x2（m+13）xm2，方程7x2（m+13）xm20的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），即，则4m2，即实数m的取值范围是（4，2）；故答案为：（4，2）【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键10（5分）已知偶函数f（x）在0，+）上单调递减，且f（4）0，则不等式的解集为（，4）（2，4）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（4）0，结合函数的单调性可得在区间（0，4）上，f（x）0，在（4，+）上，f（x）0，结合函数的奇偶性可得区间（4，0）上，f（x）0，

11、在（，4）上，f（x）0，进而不等式或，分析可得不等式的解集，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，且f（4）0，则f（4）0，又由函数f（x）在0，+）上单调递减，则在区间（0，4）上，f（x）0，在（4，+）上，f（x）0，又由函数f（x）为偶函数，则区间（4，0）上，f（x）0，在（，4）上，f（x）0，不等式或，解可得：x4或2x4；即不等式的解集为（，4）（2，4）；故答案为：（，4）（2，4）【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及分式不等式的解法，属于基础题11（5分）已知，则2【分析】先根据两角差的正弦公式求出tan，再用二倍角公式求出tan，再根据两角和差

12、的正切公式即可求出【解答】解：，3sinsincos，tan，tan，tan2，24，故答案为：24【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，以及两角和差的正切公式，考查了运算求解能力，属于基础题12（5分）已知函数，其中a0且a1，若f（x）的值域为3，+），则实数a的取值范围是）（1，+）【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论a1，0a1两种情况，即可得到所求a的范围【解答】解：函数函数，当0a1时，x2时，f（x）5x3，x2时，f（x）ax+2a+2递减，可得2a+2f（x）a2+2a+2，f（x）的值域为3，+），可得2a+23，解得a1；当a1时，x2时，f（x）

13、5x3，x2时，f（x）ax+2a+2递增，可得f（x）a2+2a+25，则f（x）的值域为3，+）成立，a1恒成立综上可得a，1）（1，+）故答案为：，1）（1，+）【点评】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题13（5分）如图，在四边形ABCD中，O为BD的中点，且，已知，7，则BD6【分析】根据O为BD的中点，即可得出，而根据即可得出，进而可得出，从而求出，而根据即可得出，这样根据即可得出BD【解答】解：O为BD的中点；又；，；又，；BD6故答案为：6【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量数量积的运算

14、，向量加法的平行四边形法则14（5分）已知函数f（x）log2（x+1），g（x）x|xa|，（a0），若对任意x11，+），总存在唯一的x22，+），使得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为，）【分析】利用分段函数，通过当a2时，当2a4时，当a4时，g（x2）在2，+）上单调递增，求出a的范围；【解答】解：x11，+），f（x）log2（x+1），f（x1）1，+），g（x）当0a2时，g（x2）在2，+）上单调递增，g（2）42a1，a，a2；当2a4时，g（x2）在2，a上单调递减，在a，+）上单调递增g（2）4+2a1，a，2a；当a4时，g（x2）在2，上单调递增，在，a

15、上单调递减，在a，+）上单调递增g（）（）2+1，2a2，不成立综上可知，a，故答案为：，）【点评】本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）设集合A，B（1）当ABB时，求实数m的取值范围；（2）当AB时，求实数m的取值范围【分析】（1）通过解不等式确定集合A、B，再由AB得等价不等式组，可得结果；（2）先有AB得等价不等式，其补集为答案【解答】解：（1）3x9，33x32，3x2，A3，2，x16，log2log2xlog216，2x4，m2ym+4，Bm2

16、，m+4，ABB，AB，2m1，实数m的取值范围为2，1；（2）若AB，则m22或m+43，m7或m4，AB，7m4，实数m的取值范围为7，4【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系得等价不等式是解决本题的关键16（14分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（2，0），B（0，2），C（cos，sin）（1）若，且（0，），求角的值；（2）若，求的值【分析】（1）运用向量共线的充要条件可解决此问题；（2）运用同角三角函数基本关系式可解决此问题【解答】解：（1）根据题意得，（cos，sin），（2，2），2cos+2sin0，tan1 又（0，），（2），（cos2）co

17、s+sin（sin2），cos+sin，（cos+sin）21+2sincos，2sincos，原式2sincos【点评】本题考查向量共线的充要条件，同角三角函数基本关系式的简单应用17（14分）设向量，满足，（1）求的值；（2）求与夹角的正弦值【分析】（1）利用数量积运算及其性质即可得出；（2）利用向量的夹角公式和数量积的性质即可得出【解答】解：（1）向量，满足|1，|3|9+1，因此15，（2）设3与+3夹角为，0，3与+3夹角的正弦值为【点评】本题考查了数量积的运算及其性质、向量的夹角公式，属于基础题18（16分）已知（1）求函数f（x）的最小值，并写出f（x）取得最小值时自变量x的取值

18、集合；（2）若x0，求函数f（x）的单调增区间；（3）当x，0时，不等式mf（x）+4mf（x）恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）由三角函数和差化积得f（x）2sin（2x）求得其最值及其自变量x的取值集合；（2）由变量替换求得x0，求函数f（x）的单调增区间；（3）通过变量分离m再由不等式性质求得实数m的取值范围【解答】解：（1）4sinxcosx3cos2x2sinxcosxsin2x+2sin2xsin2xcos2x2sin（2x）当2x2k，即xk（kZ）时，f（x）取得最小值4（2）令2k2x2k+，（kZ） 解得kx（kZ）又x0，令k0，x，令k1，x所以函数在x0，的单调

19、增区间是（3）当x时，2f（x）1于是4+f（x）0，mf（x）+4mf（x）f（x）等价于m由2f（x）1，得的最大值为实数m的取值范围m【点评】本题主要考察三角函数和差化积后正玄型函数的性质问题，运用了变量替换与变量分离思想方法19（16分）已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以xkm/h的速度航行时（考虑到航线安全要求20x50），每小时使用的燃料费用为万元（k为常数，且），其他费用为每小时万元（1）若游轮以30km/h的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；（2）求该游轮单程航行所需总费用的最小值【分析】（1）由

20、题意求得k的值，再列不等式求出x的取值范围；（2）写出游轮单程航行所需总费用y关于x的解析式，再讨论k的取值范围，从而求得y的最小值【解答】解：（1）由题意x30时，每小时使用的燃料费为k，解得k；此时每小时的所有费用为+，化简得x241x+400，解得1x40；又20x50，20x40，x的取值范围是20，40；（2）设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则y（k+）+（20x50），令t，则t，即y5t25kt+；由k，得对称轴t，；若，即k，则函数y5t25kt+在，上单调递减，在，上单调递增；故当t，即x时，y取得最小值为ymin；若，即k，则函数y5t25kt+在，上单调递减，故当t，

21、即x20时，y取得最小值为ymin；综上所述，当k时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元，当k时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了分段函数求最值问题，是中档题20（16分）已知函数，aR，函数g（x）lnx（1）若f（x）的最大值为0，记m，求g（m）的值；（2）当a5时，记不等式f（x）0的解集为M，求函数，xM的值域（e是自然对数的底数）；（3）当a1时，讨论函数的零点个数【分析】（1）函数（x）2+的最大值为0，解得a，从而mlog2lgalog2lg1，由此能求出g（m）（2）当a5时，f（x）x2+5x40的解集M（1，4），函

22、数yg（）g（ex）ln2x2lnx3，当x（1，4）时，令tlnx，则yt22t3，t（0，2ln2），由此能求出y的值域（3）h（x）由此利用分类讨论思想能求出函数的零点个数【解答】解：（1）函数（x）2+的最大值为0，0，解得a，mlog2lgalog2lglog210lg21，g（m）g（1）0（2）当a5时，f（x）x2+5x40的解集M（1，4），函数yg（）g（ex）lnln（ex）（lnx3）（lnx+1）ln2x2lnx3，当x（1，4）时，令tlnx，则yt22t3，t（0，2ln2），y的值域为4，3）（3）h（x）g（1）0，1为g（x）的一个零点，f（1）a1（a1）

23、2，a1，f（1）0，h（1）g（1）0，即1为h（x）的零点当x1时，g（x）0，h（x）g（x）0，h（x）在（1，+）上无零点当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）上无零点，h（x）在（0，1）上的零点个数是f（x）在（0，1）上的零点个数，f（0）（a1）20，f（1）a1（a1）20，2a1i）当2a10，即a时，函数f（x）无零点，即h（x）在（0，1）上无零点ii）当2a10，即a时，函数f（x）的零点为，即h（x）在（0，1）上有零点iii）当2a10，即时，f（）0，函数f（x）在（0，1）上有两个零点，即函数h（x）在（0，1）上有两个零点综上所述，当a时，h（x）有1个零点，当a时，h（x）有2个零点当时，h（x）有3个零点【点评】本题考查函数值、函数的值域的求法，考查函数的零点个数的讨论，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题