2018-2019学年江苏省无锡市江阴市四校高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年江苏省无锡市江阴市四校高一（下）期中数学试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线的倾斜角的大小为（）ABCD2（5分）在ABC中，BC3，则C的大小为（）ABCD3（5分）点P是直线x+y20上的动点，点Q是圆x2+y21上的动点，则线段PQ长的最小值为（）AB1CD24（5分）方程x2+y2+4mx2y+5m0表示圆，则实数m的取值范围为（）ABCD5（5分）在ABC中，若A60，a2，则等于（）A1B2C4D46（5分）圆x2+y2+4x4y80与圆x2+y22x+4y+10的位置关系（）A相交B

2、外离C内切D外切7（5分）直线m，n和平面，若m，n与平面都平行，则直线m，n的关系可以是（）A相交B平行C异面D以上都有可能8（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA3sinCcosB，且c2，则ABC的面积最大值为（）A1B2C3D4二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分请将答案填写在答题卡指定位置处.9（5分）已知mR，直线l1：mx+y+30，l2：（3m2）x+my+20，若l1l2，则实数m的值为 10（5分）在ABC中，已知BC2，AC，那么ABC的面积是 11（5分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC90，PAABBC1，则PC

3、与底面ABC所成角的正切值为 12（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为 13（5分）若圆（x1）2+（y+1）2R2上有且仅有三个点到直线4x+3y11的距离等于1，则半径R的值为 14（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA，则B 15（5分）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2，再由D向塔前进10米后到点E后，测得塔顶的仰角为4，则塔高为 米16（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y24x

4、+2y0若直线y3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，DP平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点（1）求证：BC平面PDC；（2）求证：EF平面PDC18（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（1）求角B的值；（2）若ABC的面积S，a5，求b的值19（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若

5、渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，底面为正三角形，ABAA1，D是BC的中点，P是CC1的中点求证：（1）A1B平面AC1D；（2）B1P平面AC1D21（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y24x0及点A（1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由22（14分）如图，圆M：（x2）2+y21

6、，点P（1，t）为直线l：x1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B（1）若t1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值2018-2019学年江苏省无锡市江阴市四校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线的倾斜角的大小为（）ABCD【分析】由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角【解答】解：由题意可得直线的斜率k，即tan，故，故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属

7、基础题2（5分）在ABC中，BC3，则C的大小为（）ABCD【分析】由已知利用正弦定理sinC，利用大边对大角可求C为锐角，即可利用特殊角的三角函数值得解【解答】解：在ABC中，BC3，由正弦定理，可得：sinC，ABBC，可得：AC，C为锐角，C故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题3（5分）点P是直线x+y20上的动点，点Q是圆x2+y21上的动点，则线段PQ长的最小值为（）AB1CD2【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心（0，0）到直线x+y20的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案【解答】解

8、：根据题意，圆x2+y21的圆心为（0，0），半径r1，圆心（0，0）到直线x+y20的距离d，则线段PQ长的最小值为1；故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，是基础题4（5分）方程x2+y2+4mx2y+5m0表示圆，则实数m的取值范围为（）ABCD【分析】根据题意，将圆的方程变形为（x+2m）2+（y1）24m2+15m，进而可得4m2+15m0，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx2y+5m0变形为：（x+2m）2+（y1）24m2+15m，若其表示圆，则有4m2+15m0，解可得：m或m1，即实数m的取值范围为（，）（

9、1，+）；故选：C【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，注意圆的一般方程与标准方程的互化5（5分）在ABC中，若A60，a2，则等于（）A1B2C4D4【分析】先由正弦定理求得2R的值，从而求得 2R 的值【解答】解：ABC中，若A60，a2，则由正弦定理可得 （R为ABC的外接圆半径），2R4，2R4，故选：C【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题6（5分）圆x2+y2+4x4y80与圆x2+y22x+4y+10的位置关系（）A相交B外离C内切D外切【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置

10、关系为相交【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x4y80，即（x+2）2+（y2）216，表示以（2，2）为圆心、半径等于4的圆， 圆x2+y22x+4y+10，即（x1）2+（y+2）24，表示以（1，2）为圆心、半径等于2的圆；两圆的圆心距d5，则圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故选：A【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及圆的一般方程与标准方程，属于基础题7（5分）直线m，n和平面，若m，n与平面都平行，则直线m，n的关系可以是（）A相交B平行C异面D以上都有可能【分析】根据m，n是否共面分情况判断【解答】解：若，m，n，则m，n，显然m，n可能

11、平行，也可能相交，若m，n分别在平面两侧，且m，n在平面的射影为相交直线，则m，n异面故选：D【点评】本题考查了空间直线与平面的位置关系，属于基础题8（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA3sinCcosB，且c2，则ABC的面积最大值为（）A1B2C3D4【分析】由已知及正弦定理可得可得cosB，由余弦定理可得a2+123b2，由余弦定理可得cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用三角形面积公式，利用二次函数的性质可求最大值【解答】解：sinA3sinCcosB，且c2，由正弦定理可得：a3ccosB，可得：cosB，由余弦定理可得：，可得：a2

12、+123b2，cosB，sinB，SABCacsinB2asinBa3（当b时，等号成立），即ABC的面积最大值为3故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力、转化思想和函数思想的应用，属于中档题二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分请将答案填写在答题卡指定位置处.9（5分）已知mR，直线l1：mx+y+30，l2：（3m2）x+my+20，若l1l2，则实数m的值为1或2【分析】根据两直线平行的条件即可求出【解答】解：直线l1：mx+y+30，l2：（3m2）x+my+20，若l1l

13、2，m23m2，解得m1或m2，当m1时，直线l1：x+y+30，l2：x+y+20，当m2时，直线l1：2x+y+30，l2：4x+2y+20，故答案为：1或2【点评】本题考查了直线平行，考查了运算能力，属于基础题10（5分）在ABC中，已知BC2，AC，那么ABC的面积是【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积【解答】解：在ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA，cosAsinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinBSABC故答案为【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题11（

14、5分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC90，PAABBC1，则PC与底面ABC所成角的正切值为【分析】根据条件可得PCA是PC与底面ABC所成的角，然后根据直角三角形的边角关系求正切值即可【解答】解：PA底面ABC，AC是PC在底面ABC上的射影，PCA是PC与底面ABC所成的角ABC90，PAABBC1，AC，tanPCA即PC与底面ABC所成角的正切值为 故答案为：【点评】本题主要考查直线和平面所成角的大小求法，利用线面角的定义确定线面角是解决本题的关键12（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为xy+10【分析】

15、利用垂直平分线的性质即可得出【解答】解：kAB1，线段AB的中点为，两点A（a1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，kL1，其准线方程为：yx，化为：xy+10故答案为：xy+10【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）若圆（x1）2+（y+1）2R2上有且仅有三个点到直线4x+3y11的距离等于1，则半径R的值为3【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离d，结合直线与圆的位置关系分析可得Rd1，计算即可得答案【解答】解：根据题意，圆（x1）2+（y+1）2R2的圆心为（1，1），半径

16、为R，圆心（1，1）到直线4x+3y11的距离d2，若圆（x1）2+（y+1）2R2上有且仅有三个点到直线4x+3y11的距离等于1，则Rd1，解可得：R3；故答案为：3【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析R与圆心到直线的距离之间的关系，属于基础题14（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA，则B【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可【解答】解：2bcosBacosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinBsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，sinB0，cosB，0B，B，故答案为：【点

17、评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题15（5分）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2，再由D向塔前进10米后到点E后，测得塔顶的仰角为4，则塔高为15米【分析】CPDEDPDCP2，PDCD30，DPEAEPEDP422，PEDE10，在三角形PDE中由余弦定理得cos2，可求出2，4，最后在RtPEA中可得【解答】解：CPDEDPDCP2，PDCD30，DPEAEPEDP422，PEDE10，在三角形PDE中由余弦定理得cos2，2，4，sin4，PAPEsin41015故答案为：15米【点评

18、】本题考查了解三角形，属中档题16（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y24x+2y0若直线y3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是17b3【分析】由题意可得圆心为C（2，1），半径r，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y3x+b的距离小于或等于PC，由点到直线的距离公式列式求得实数b的取值范围【解答】解：圆C：x2+y24x+2y0化为（x2）2+（y+1）25，圆心C（2，1），半径为r，如图，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC，圆心到直线y3x+b的距离小于或等于P

19、C，即，解得17b3故答案为：17b3【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，DP平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点（1）求证：BC平面PDC；（2）求证：EF平面PDC【分析】（1）由DP平面PBC，得BCDP，由底面ABCD为矩形，得BCDC，由此能证明BC平面PDC（2）取PD中点G，推导出四边形ABCD为矩形，从而四边形EGCF为平行四边形，进而EFCG，由此能证明EF平面PDC

20、【解答】证明：（1）DP平面PBC，BC平面PBC，BCDP，又底面ABCD为矩形，BCDC，DCDPD，BC平面PDC解：（2）取PD中点G，E为PA的中点，EGAD，且EG，又F为BC中点，四边形ABCD为矩形，FCAD，且FC，EG与FC平行且相等，即四边形EGCF为平行四边形，EFCG，又EF平面PDC，CG平面PDC，EF平面PDC【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题18（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（1）求角B的值；（2）若ABC的面积S，a5，求b的值【分析】（1）直

21、接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】解：（1）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若利用正弦定理：，整理得：sin（B+C）sinBcosC+，则：sinCcosBsinCsinB，由于sinC0，所以tanB，由于：0B，解得：B（2）ABC的面积S，所以：，解得：ac20，由于a5，所以c4则：b2a2+c22accosB，25+1620，21，解得：b【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式19（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距1

22、2海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值【分析】（1）由题意推出BAC120，利用余弦定理求出BC28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在ABC中，直接利用正弦定理求出sin方法二：在ABC中，利用余弦定理求出cos，然后转化为sin【解答】解：（1）依题意，BAC120，AB12，AC10220，BCA（2分）在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2+AC22ABACcosBAC（4分）122+20221220cos120784解得BC28（6分）所以渔船甲的速度

23、为海里/小时答：渔船甲的速度为14海里/小时（7分）（2）方法1：在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得（9分）即答：sin的值为（12分）方法2：在ABC中，因为AB12，AC20，BC28，BCA，由余弦定理，得（9分）即因为为锐角，所以答：sin的值为（12分）【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，底面为正三角形，ABAA1，D是BC的中点，P是CC1的中点求证：（1）A1B平面AC1D；（2）B1P平面AC1D【分析】（1）连接A1

24、C交AC1于点O，连接OD，根据OD是A1CB的中位线可得ODA1B，又A1B平面AC1D，OD平面AC1D，从而证得A1B平面AC1D（2）由（1）知，CC1DC1B1P，故CDC1C1PB1，B1PC1D再由AD平面BCC1B1，可得ADB1P，从而证得B1P平面AC1D【解答】证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，侧面AA1C1C是正方形，点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是A1CB的中位线ODA1B，又A1B平面AC1D，OD平面AC1D，A1B平面AC1D （7分）（2）由（1）知，侧面BCC1B1是正方形，又D、P分

25、别为BC、CC1的中点，CC1DC1B1P，CDC1C1PB1，B1PC1D，（9分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，ADBC，又侧面BCC1B1底面ABC，且侧面BCC1B1底面ABCBC，AD底面ABC，AD平面BCC1B1，（12分）又B1P平面BCC1B1，ADB1P，又ADC1DD，B1P平面AC1D（14分）【点评】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用求，属于中档题21（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y24x0及点A（1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，

26、N两点，MNAB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x2）2+y24，所以圆心C（2，0），半径为2因为lAB，A（1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为xy+m0，则圆心C到直线l的距离为d因为MNAB，而CM2d2+（）2，所以4+2，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），

27、则（x2）2+y24，PA2+PB2（x+1）2+（y0）2+（x+1）2+（y2）212，即x2+y22y30，即x2+（y1）24，因为|22|，所以圆（x2）2+y24与圆x2+（y1）24相交，所以点P的个数为2【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题22（14分）如图，圆M：（x2）2+y21，点P（1，t）为直线l：x1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B（1）若t1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求

28、得斜率即可得解；（2）连接PM，AB交于N，利用MPAMAN，结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y1k（x+1），即kxy+k+10，则圆心M到切线的距离d1，解得k0或，故所求切线方程为y1，3x+4y10；（2）连接PM，AB交于点N，设MPAMAN，则|AB|2|AM|cos2cos，在RtMAP中，sin，|PM|3，（sin）max，（cos）min，|AB|min；（3）设切线方程为ytk（x+1），即kxy+k+t0，PA，PB的斜率为k1，k2，故圆心M到切线的距离d1，得8k2+6kt+t210，k1+k2，k1k2，在切线方程中令x0可得yk+t，故|ST|（k1+t）（k2+t）|k1k2|，|ST|min，此时t0故|ST|的最小值为【点评】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，难度较大