2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷规定的横线上）1（5分）已知集合Ax|x1，Bx|3x2，则AB   2（5分）若函数ycos（x）（0）最小正周期为，则   3（5分）函数y+lg（3x）的定义域为   4（5分）已知幂函数f（x）满足f（2）8，则f（2）   5（5分）不等式x22x30的解集为   6（5分）函数f（x）2sin（2x+）在0，上的减区间为   7（5分）将函数f（x）sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后，所得函

2、数图象关于原点对称，则   8（5分）方程（）x|lnx|的解的个数为   9（5分）直径为20cm的轮子以45rad/s（弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s内所经过的路程为   cm10（5分）点P（sin）落在角的终边上，且0，2），则的值为   11（5分）函数f（x）|tanx|cosx的定义域为，则其值域为   12（5分）已知为锐角，且sintan，则的值为   13（5分）计算   14（5分）已知mR，函数f（x），若函数yf（x）m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是   二、解答题（本大题

3、共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知角终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为（1）求y0的值和P点的坐标；（2）求tan（3）cos（2）+cos（+2）的值16（14分）已知，为锐角，cos，sin（）（1）求tan2；（2）求17（14分）已知函数f（x）4xa2x6，aR，且为常数（1）当a5时，求函数yf（x）的零点；（2）当x0，2，恒有f（x）0，求实数a的取值范围18（16分）已知函数f（x）x32x（1）求函数yf（x）的奇偶性；（2）证明yf（x）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+）为单

4、调增函数；（3）判断方程f（x）的解的个数，并求其最小正数解的近似值x0（精确到0.1）19（16分）如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉现放在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P、Q、M、N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记QBC，长方形活动广场的面积为S（1）请把S表示成关于的函数关系式；（2）求S的最小值20（16分）已知bR，b为常数，函数f（x）x2bx+b1（1）求关于x的不等式f（x）0的解集；（2）若函数F（x）|f（x）|（x）有两个不同的零点，求实数b的取值范

5、围；（3）对于给定的x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2），证明：关于x的方程f（x）f（x1）+2f（x2）在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷规定的横线上）1（5分）已知集合Ax|x1，Bx|3x2，则AB（1，2【分析】利用集合Ax|x1，Bx|3x2，能求出AB【解答】解：集合Ax|x1，Bx|3x2，ABx|1x2（1，2故答案为：（1，2【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础

6、题2（5分）若函数ycos（x）（0）最小正周期为，则6【分析】根据余弦函数的周期公式即可得到结论【解答】解：f（x）cos（x）的最小正周期为，函数的周期T，解得6故答案为：6【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础3（5分）函数y+lg（3x）的定义域为2，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【解答】解：由，解得2x3函数y+lg（3x）的定义域为：2，3）故答案为：2，3）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题4（5分）已知幂函数f（x）满足f（2）8，则f（2）8【分析】设出幂函数f（x）

7、x，由f（2）8求得的值，写出函数解析式，再计算f（2）的值【解答】解：设幂函数f（x）x，R，由f（2）8，28，解得3，f（x）x3；f（2）（2）38故答案为：8【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题5（5分）不等式x22x30的解集为x|1x3【分析】先求对应方程x22x30的实数根，再写出不等式的解集【解答】解：方程x22x30的实数根是x11，x23；不等式x22x30的解集为x|1x3，故答案为：x|1x3，【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答即可6（5分）函数f（x）2sin（2x+）在0，上的减区间为，【

8、分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）在0，上的减区间【解答】解：对于函数f（x）2sin（2x+），令2k+2x+2k+，求得k+xk+，故函数的减区间为k+，k+，kZ再根据x0，可得函数的减区间为，故答案为：，【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题7（5分）将函数f（x）sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后，所得函数图象关于原点对称，则【分析】利用图象平移规律得出平移后的函数解析式，根据新函数为奇函数和诱导公式列方程解出【解答】解：函数y3sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后，得到函数解析式为y3sin2（x+）+3sin（2x+2+），新函数的图形

9、关于原点对称，y3sin（2x+2+）是奇函数，2+2k，解得，kZ0，故答案为：【点评】本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题8（5分）方程（）x|lnx|的解的个数为2【分析】方程（ ）x|lnx|的解的个数，即为函数y（ ）x与y|lnx|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y（ ）x与y|lnx|的图象，数形结合，可得答案【解答】解：方程（ ）x|lnx|的解的个数即为函数y（ ）x与y|lnx|的图象交点的个数在同一坐标系中画出函数y（ ）x与y|lnx|的图象如下图所示由图可得函数y（ ）x与y|lnx|的图象有2个交点故方程（ ）x|lnx|的解有2个故答案为：

10、2，【点评】本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，其中将方程根的个数转化为函数图象交点个数是解答的关键9（5分）直径为20cm的轮子以45rad/s（弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s内所经过的路程为2250cm【分析】利用弧长公式即可得出【解答】解：轮周上一点5s内所经过的路程455102250cm，故答案为：2250【点评】本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）点P（sin）落在角的终边上，且0，2），则的值为【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos 和sin的值，可得的值【解答】解：点P（sin）落在角的终边上，且0，2），则cossin，

11、sincos，2，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题11（5分）函数f（x）|tanx|cosx的定义域为，则其值域为1，1【分析】利用单调性求出函数在，0上的值域，结合函数为偶函数得答案【解答】解：当x，0时，f（x）|tanx|cosxtanxcosx，该函数在，0上为减函数，则f（x）1，1；由f（x）|tan（x）|cos（x）|tanx|cosxf（x），可知f（x）为偶函数，当x0，时，f（x）1，1函数f（x）|tanx|cosx（x）的值域为1，1故答案为：1，1【点评】本题考查利用函数的单调性与奇偶性求函数的值域，是中档题12（5分）已知为锐角，

12、且sintan，则的值为7【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，转换成一元二次方程，进一步求出sin和cos，最后求出结果【解答】解：为锐角，且sintan，则：，整理得：20cos2+9cos200，解得：或（负值舍去），故：则：7，故答案为：7【点评】本题考查的知识要点：一元二次方程的解法，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型13（5分）计算【分析】直接利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换求出结果【解答】解：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型14（5分）

13、已知mR，函数f（x），若函数yf（x）m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，3【分析】画出函数yf（x）与ym的图象，由图象可得m的取值范围【解答】解：画出函数yf（x），与ym的图象，如图所示：函数yf（x）m有三个不同的零点，函数yf（x）与ym的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（0，3，故答案为：（0，3【点评】本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，数形结合的应用，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知角终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为（1）求y0

14、的值和P点的坐标；（2）求tan（3）cos（2）+cos（+2）的值【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y0的值和P点的坐标（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：（1）角终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为，1，y0，或y0（不合题意，舍去），故有y0设点P（a，b），a0，b0，则根据tan2，求得a1，b2，故有点P的坐标为（1，2）（2）求tan（3）cos（2）+cos（+2）tan（cos2）+sin2tan+tan+2+2【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题16（14分）已知

15、，为锐角，cos，sin（）（1）求tan2；（2）求【分析】（1）由已知求得sin，进一步得到tan，再由二倍角的正切求解；（2）求出cos（），由sinsin（），展开两角差的正弦求得sin，则可求【解答】解：（1）为锐角，cos，sin，则tantan2；（2），为锐角，又sin（），cos（）sinsin（）sincos（）cossin（），【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查两角和与差的三角函数，是中档题17（14分）已知函数f（x）4xa2x6，aR，且为常数（1）当a5时，求函数yf（x）的零点；（2）当x0，2，恒有f（x）0，求实数a的取值范围【分析】（1）利用换元法

16、和函数零点存在定理即可求出，（2）根据二次函数的性质，分类讨论，即可求a的取值范围【解答】解：（1）当a5时，f（x）4x52x6，设t2x，t0，g（t）t25t6，令g（t）t25t60，解得t6或t1，2x6，xlog26；（2）由（1）可得g（t）t2at6，且t1，4，其对称轴为t，当t1时，g（t）在1，4上单调递增，f（x）ming（t）minf（1）1a60，解得a5，当t4时，g（t）在1，4上单调递减，f（x）ming（t）minf（4）164a60，解得a，当1t4时，f（x）ming（t）g（）60，即a2+240恒成立，综上所述a的取值范围a5【点评】本题考查了函数零

17、点存在定理以及二次函数的性质，函数恒成立的问题，属于中档题18（16分）已知函数f（x）x32x（1）求函数yf（x）的奇偶性；（2）证明yf（x）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+）为单调增函数；（3）判断方程f（x）的解的个数，并求其最小正数解的近似值x0（精确到0.1）【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f（x），分析可得f（x）f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，用作差法分析可得答案；（3）根据题意，设g（x）x32x+，函数g（x）的零点就是方程f（x）的解，由函数零点判定定理分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）x32x，则f（x）（

18、x）32（x）（x32x）f（x），则函数为奇函数；（2）根据题意，设0x1x21，则f（x1）f（x2）（x132x1）（x232x2）（x1x2）（x12+x1x2+x223），又由0x1x21，则f（x1）f（x2）0，则在（0，1）上为单调减函数；再设1x1x2，则f（x1）f（x2）（x132x1）（x232x2）（x1x2）（x12+x1x2+x223），又由1x1x2，则f（x1）f（x2）0，则在（1，+）上为单调增函数；（3）根据题意，方程f（x），即x32x，设g（x）x32x+，g（2）0，g（1）0，则函数在区间（2，1）上有零点，g（0）0，g（1）0，则函数在区间（

19、0，1）上有零点，g（2）0，则函数在区间（1，2）上有零点，则函数g（x）有三个零点，其最小正数解在（0，1）中，g（）0，其最小正数解在（0，）中，g（）0，其最小正数解在（0，）中，g（）0，其最小正数解在（，）中，g（）0，其最小正数解在（，）中，此时0.1，符合题意，即g（x）的最小正数解的近似值约为0.15；则方程f（x）的最小正数解的近似值x00.15【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及函数零点，属于基础题19（16分）如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉现放在中间修建一块长方形的活动广

20、场PQMN，其中P、Q、M、N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记QBC，长方形活动广场的面积为S（1）请把S表示成关于的函数关系式；（2）求S的最小值【分析】（1）在直角三角形BQE中，求得BE、QE，写出矩形的长和宽，计算面积即可；（2）利用换元法，结合三角函数的恒等变换，借助二次函数的最值求法，求得最小值【解答】解：（1）QBC，如图所示，在直角三角形BQE中，BE150cos，QE150sin，0，可得矩形PQMN的PQ400300sin，QM400300cos，则SPQQM（400300sin）（400300cos）10000（43sin）（43cos），0，

21、；（2）由（1）知，S100001612（sin+cos）+9sincos，设tsin+cossin（+），则+，可得1t，sincos，可得S100001612t+（t21）50009（t）2+7，当t1，S取得最小值5000735000m2【点评】本题考查了矩形的面积计算问题，也考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质应用问题，是中档题20（16分）已知bR，b为常数，函数f（x）x2bx+b1（1）求关于x的不等式f（x）0的解集；（2）若函数F（x）|f（x）|（x）有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2），证明：关于x的方程

22、f（x）f（x1）+2f（x2）在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根【分析】（1）因式分解对b讨论，当b2时，xR；当b2时，x（，1b1，+）；当b2时，x（，b11，+）；（2）f（x）0不满足题意，即y2f（x）（f（x）0）与有两个零点，所以b（，1）（3，+）；（3）“关于x的方程在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根”转化为“在区间（x1，x2）内有且仅有一个零点”，运用函数零点存在定理即可得证【解答】解：（1）x2bx+b10，即（x1）（xb+1）0，当b2时，xR；当b2时，x（，1b1，+）；当b2时，x（，b11，+）；（2）函数F（x）|f（x）|f（x）有两个不同的零点，f（x）0，即0不满足题意；f（x）0可得y2f（x）（f（x）0）与有两个交点，可得2，解得b1或b3；（3）证明：对于给定的x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2），关于x的方程f（x）f（x1）+2f（x2），可设，H（x1）H（x2）（f（x1）f（x2）（f（x2）f（x1）（f（x1）f（x2）20，且H（x）为二次函数，最多两个零点，可得关于x的方程f（x）f（x1）+2f（x2）在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根【点评】本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及函数零点问题解法，注意运用转化思想，属于中档题