2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为   2（5分）等比数列an中，若a21，a58，则a7   3（5分）ABC中，BC3，则C   4（5分）如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为 &

2、nbsp; 5（5分）已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为   6（5分）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是   7（5分）已知实数x，y满足，则z9x3y的最大值是   8（5分）在等差数列an中，an0，a45，则的最小值为   9（5分）设，且，则n   10（5分）如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部

3、分的概率是   11（5分）在ABC中，已知C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x+400的两根，则AB的长度为   12（5分）在R上定义运算ab（a+1）b，若存在x1，2，使不等式（mx）（m+x）4成立，则实数m的取值范围为   13（5分）设数列an的前n项和为Sn，若对任意实数0，1，总存在自然数k，使得当nk时，不等式（23）n2（24）anan+1+3恒成立，则k的最小值是   14（5分）已知x0，y0，则+的最大值是   二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算

4、步骤）15（14分）某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：（1）求n的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？分组频数频率85，95）0.02595，105）0.050105，115）0.200115，125）120.300125，135）0.275135，145）4145，155）0.050合计n116（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（1）求角B的值；（2）若ABC的面积S，a

5、5，求b的值17（14分）已知数列an是首项为，公比为q（q1）的等比数列，且a1，2a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bnnan，记数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式16Tn+n300的最大正整数n的值18（16分）如图所示，ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是比值的），其中两腰CACB60米，cosCAB为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此

6、时水上观光通道EF的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度19（16分）已知函数f（x）x22mx3m2（mR，m0）（1）解关于x的不等式f（x）mx2+m2x；（2）若当x1，4m时，|f（x）|4m恒成立，求实数m的取值范围20（16分）已知等差数列an的前n项的和为Sn，公差d0，若a4，a6，a10成等比数列，S714，数列bn满足：对于任意的nN*，等式b1an+b2an1+b3an2+bna12n都成立（1）求数列an的通项公式；（2）证明：数列bn是等比数列；（3）若数列cn满足，试问是否存在正整数s，t（其中1st），使c1，cs，ct成等比数列

7、？若存在，求出所有满足条件的数组（s，t）；若不存在，请说明理由2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为60【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据比例计算男生中抽取的人数【解答】解：分层抽样的抽取比例为：，男生中抽取的人数为120060故答案为：60【点评】本题考查分层抽样，分层抽样的优点是：使样本

8、具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法2（5分）等比数列an中，若a21，a58，则a732【分析】根据等比数列的通项公式即可求出【解答】解：等比数列an中，若a21，a58，a5a2q3，q38，q2，则a7a5q28432，故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于基础题3（5分）ABC中，BC3，则C【分析】由A的度数，求出sinA的值，设aBC，cAB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三

9、角函数值即可求出C的度数【解答】解：由，aBC3，c，根据正弦定理得：sinC，又C为三角形的内角，且ca，0C，则C故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围4（5分）如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为【分析】基本事件总数n4416，两人选到同一根木棒包含的基本事件个数m4，由此能求出两人选到同一根木棒的概率【解答】解：有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木

10、棒基本事件总数n4416，每边每根木棒被选中的机会相等，两人选到同一根木棒包含的基本事件个数m4，两人选到同一根木棒的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为0.8【分析】根据题意，由平均数公式可得（8+9+10+x+8）45，解可得x的值，进而有方差计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，数据8，9，10，x，8的平均数是9，则有（8+9+10+x+8）45，解可得：x10，则这组数据的方差S2（89）2+（9

11、9）2+（109）2+（109）2+（89）20.8；故答案为：0.8【点评】本题考查数据的方差计算，关键是由平均数公式求出x的值6（5分）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是3【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当s15时，用s+n的值代替s得到新的s值，并且用n1代替n值得到新的n值，直到条件不能满足时结束循环体并输出最后的值，由此即可得到本题答案【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s015，所以得到新的S0+66，n5；然后经过第二次循环，因为s615，所以得到新的S6+511，n4；然后经过第三次循环，因为s1115

12、，所以得到新的S11+415，n3；接下来判断：因为s15，不满足s15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：3【点评】本题给出程序框图，求最后输出的n值，属于基础题解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决7（5分）已知实数x，y满足，则z9x3y的最大值是27【分析】先画出可行域，化简z9x3y，结合z为目标函数纵截距的几何意义，平移直线02x+y，发现其过（1，1）时z有最大值即可求出结论【解答】解：画实数x，y满足可行域如图，z为目标函数z9x3y32x+y，u2x+y的纵截距取得最大值时，z取得最大值，

13、画直线L：02x+y，平移直线过A时z有最大值，由可得A（1，1），此时u3，z27故答案为：27【点评】本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解8（5分）在等差数列an中，an0，a45，则的最小值为1.6【分析】由等差数列的通项公式得a2+a62a410，从而（）（a2+a6），由此利用基本不等式的性质能求出的最小值【解答】解：在等差数列an中，an0，a45，a2+a62a410，（）（a2+a6）（+10）1.6当且仅当时，取等号故的最小值为1.6故答案为：1.6【点评】本题考查代数式的最小值的求法，

14、考查等差数列、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）设，且，则n10【分析】运用裂项相消求和，可得Sn，解n的方程可得所求值【解答】解：1+1，由，可得，解得n10故答案为：10【点评】本题考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题10（5分）如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是1【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可【解答】解：由题意正六边形木板的面

15、积Sa2，空白部分的面积S，故阴影部分的面积S，故满足条件的概率P1，故答案为：1【点评】本题考查了几何概型问题，考查特殊图象面积的求法，是一道常规题11（5分）在ABC中，已知C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x+400的两根，则AB的长度为7【分析】求出方程的解，根据余弦定理即可求出【解答】解：a，b是方程x213x+400的两根，a5，b8，或a8，b5，由余弦定理AB2c2a2+b22abcosC25+6428549，则AB7，故答案为：7【点评】本题考查了方程的解和余弦定理，属于基础题12（5分）在R上定义运算ab（a+1）b，若存在x1，2，使不等式（mx）（m+x）4成立

16、，则实数m的取值范围为3m2【分析】由题意把不等式化为（mx+1）（m+x）4，分离出m和x，利用函数的最值求关于m的不等式的解集即可【解答】解：由题意知，不等式（mx）（m+x）4化为（mx+1）（m+x）4，即m2+m4x2x；设f（x）x2x，x1，2，则f（x）的最大值是f（2）422；令m2+m42，即m2+m60，解得3m2，实数m的取值范围是3m2故答案为：3m2【点评】本题考查了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题13（5分）设数列an的前n项和为Sn，若对任意实数0，1，总存在自然数k，使得当nk时，不等式（23）n2（24）anan+1+3恒成立，则k的最小值是5【分析

17、】将anan+1代入不等式不等式（23）n2（24）anan+1+3恒成立，整理可得：（2n1）+n24n30，令f（）（2n1）+n24n3，利用一次函数的单调性可得：，解出即可得出【解答】解：由，可得，ann1，不等式（23）n2（24）anan+1+3恒成立（2n1）+n24n30，令f（）（2n1）+n24n3，对任意实数0，1，不等式（23）n2（24）anan+1+3恒成立，2n10，只需f（0）n24n30，解得n2+，nN+，n5，则k的最小值是5故答案为：5【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、一次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14

18、（5分）已知x0，y0，则+的最大值是【分析】将代数式化简整理，可得原式，可令t+，可得t2，原式即为，有对勾函数的单调性，可得最大值【解答】解：x0，y0，则+，可令t+，可得t2，则+，由yt+在t2递增，可得t+2+，可得8，当且仅当xy时，上式取得等号，则+的最大值是，故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查化简变形能力，以及换元法的运用，对勾函数的单调性，考查运算求解能力，属于难题二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能

19、抽出n名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：（1）求n的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？分组频数频率85，95）0.02595，105）0.050105，115）0.200115，125）120.300125，135）0.275135，145）4145，155）0.050合计n1【分析】（1）由频率分布表得第4组中的频数是12，频率是0.300，能求出n的值求出数据135，145）的频率，利用组中值能估计平均数（2）成绩不低于135分的同学的概率为0.15，由此能估计该校学生

20、能参加“数学竞赛集训队”的人数【解答】解：（1）由频率分布表得第4组中的频数是12，频率是0.300，n40数据135，145）的频率为：1（0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05）0.1，利用组中值估计平均数为：900.025+1000.05+1100.2+1200.3+1300.275+1400.1+1500.05122.5（2）成绩不低于135分的同学的概率为：0.1+0.050.15，估计该校学生能参加“数学竞赛集训队”的人数大约为：5000.1575人【点评】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查平均数、频率分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函

21、数与方程思想，是基础题16（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（1）求角B的值；（2）若ABC的面积S，a5，求b的值【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】解：（1）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若利用正弦定理：，整理得：sin（B+C）sinBcosC+，则：sinCcosBsinCsinB，由于sinC0，所以tanB，由于：0B，解得：B（2）ABC的面积S，所以：，解得：ac20，由于a5，所以c4则：b2a2+c22accosB，25+1620，21，解得：b【点评】

22、本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式17（14分）已知数列an是首项为，公比为q（q1）的等比数列，且a1，2a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bnnan，记数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式16Tn+n300的最大正整数n的值【分析】（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用不等量关系式求出n的最大值【解答】解：（1）数列an是首项为，公比为q（q1）的等比数列，且a1，2a3成等差数列则：，即：2q23q+10，解得：q1或，由于q1，则：，所

23、以：（2）由于，则：bnnan，所以：+，+，得：，解得：，则：不等式16Tn+n300，转换为，即：，所以：2n41，解得n4故最大整数为4【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（16分）如图所示，ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是比值的），其中两腰CACB60米，cosCAB为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等（1）若水

24、上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度【分析】（1）过C作CHAB于H，求出AH40，AB80，从而AEF的四边形BCEF的周长相等，由此能求出水上观光通道EF的长度（2）求出AE+AF100，设AEx，AFy，由余弦定理得EF2x2+y22xycosCABx2+y2（x+y）2，从而EF2（100）2，由此能求出当AE50米时，观光通道EF的长度最短，其最短长度为米【解答】解：（1）在等腰ABC中，过C作CHAB于H，在RtACH中，由cosCAB，得，AH40，AB80，AEF的四边形

25、BCEF的周长相等，AE+AF+EFCE+BC+BF+EF，AE+AF（60AE）+60+（80AF），AE+AF100，E为线段AC的三等分点，（靠近C），AE40，AF+60，在AEF中，EF2AE2+AF22AEAFcosCAB200，EF20水上观光通道EF的长度为20米（2）由（1）知，AE+AF100，设AEx，AFy，在AEF中，由余弦定理得：EF2x2+y22xycosCABx2+y2（x+y）2，xy（）2502，EF2（100）2，EF，当且仅当xy时，取等号，当AE50米时，观光通道EF的长度最短，其最短长度为米【点评】本题考查线段长的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运

26、算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（16分）已知函数f（x）x22mx3m2（mR，m0）（1）解关于x的不等式f（x）mx2+m2x；（2）若当x1，4m时，|f（x）|4m恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出函数的对称轴，求出函数的最值，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：（1）由题意得（m1）x2+（m2+2m）x+3m20，即（m1）x+3m（x+m）0，当m1时，得x+10，解得：x1，当0m1时，得（x+）（x+m）0，（m）0，m，解得：xm，或x，当m1时，得（x+）（x+m）0，（m），当

27、m4时，m，解得：mx，当m4时，m，（x+4）20，解集是，当1m4时，m，解得：xm，综上，0m1时，不等式解集是x|xm或x，m1时，不等式解集是x|x1，1m4时，不等式解集是x|xm，m4时，不等式解集是，m4时，不等式解集是x|mx；（2）f（x）的图象是一条开口向上的抛物线，关于xm对称，由题意得m，若m1，则f（x）在1，4m递增，从而f（x）在1，4m上的最小值是f（1）12m3m2，最大值是f（4m）5m2，由|f（x）|4m得4m2x22mx3m24m，于是有，解得：，0m，又m1，m，若m1，此时f（4m）5m24m，则当1x4m时，|f（x）|4m不恒成立，综上，使得

28、|f（x）|4m，x1，4m恒成立的m的范围是（，【点评】本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题20（16分）已知等差数列an的前n项的和为Sn，公差d0，若a4，a6，a10成等比数列，S714，数列bn满足：对于任意的nN*，等式b1an+b2an1+b3an2+bna12n都成立（1）求数列an的通项公式；（2）证明：数列bn是等比数列；（3）若数列cn满足，试问是否存在正整数s，t（其中1st），使c1，cs，ct成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（s，t）；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得首项和公差

29、的方程组，解方程即可得到所求an的通项；（2）可通过n1，求得b1，将n换为n1，两式相减可得b1+b2+bn1+bn2+2bn，将n换为n1，相减，运用等比数列的定义，即可得证；（3）假设存在正整数s，t（其中1st），使c1，cs，ct成等比数，则lgc1，lgcs，lgct成等差数列，依题意，可求得存在唯一正整数数对（s，t）（3，4），c1，cs，ct成等比数列【解答】解：（1）等差数列an的前n项的和为Sn，公差d0，若a4，a6，a10成等比数列，S714，可得a62a4a10，即（a1+5d）2（a1+3d）（a1+9d），化为a1+d0，又7a1+21d14，解得a11，d1，

30、则ann2；（2）证明：任意的nN*，等式b1an+b2an1+b3an2+bna12n都成立，可得b1a12，即b12；由n2时，b1an1+b2an2+b3an3+bn1a12（n1），b1an+b2an1+b3an2+bna12n，两式相减可得b1+b2+bn1+bna12，b1+b2+bn1+bn2+2bn，当n2时，b1+b2+bn12+2bn1，两式相减可得bn2bn2bn1，即bn2bn1，则数列bn是首项和公比均为2的等比数列；（3），假设存在正整数数组（s，t），使c1，cs，ct成等比数列，则lgc1，lgcs，lgct成等差数列，于是+，所以t2t（）（）易知（s，t）（3，4）为方程（）的一组解当s4，且sN*时，0，故数列（s3）为递减数列，于是0，所以此时方程（）无正整数解综上，存在唯一正整数数对（s，t）（3，4），c1，cs，ct成等比数列【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题