2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合A0，1，B1，2，则AB   2（5分）cos   3（5分）若幂函数yf（x）的图象过点（4，2），则f（16）   4（5分）若向量（1，2），（3，m），且，则|+|   5（5分）函数f（x）|ln（x+3）|的单调增区间是   6（5分）计算：   7（5分）已知圆心角是的扇形的面积是cm2，则该圆心角所对的弧长为   cm8（5分）已知函数f（x）是周期为2

2、的奇函数，且x1，0时，f（x）x，则f（）   9（5分）将函数ysin2x向右平移（0）个单位所得函数记为yf（x），当x时f（x）取得最大值，则   10（5分）若，sincos   11（5分）若f（x），且f（2a）f（3a），则实数a的取值范围是   12（5分）在ABC中，已知|2，|1，点M在边BC上，4，2，则   13（5分）函数f （x），若0mn，且f（m）f（n），则mf（n）的取值范围是   14（5分）函数f（x）m|3x1|24|3x1|+1（m0）在R上有4个零点，则实数m的取值范围是  

3、二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设集合Ax|y+log2（32x），By|y2x，axa+2，aR全集UR（1）若a2，求（UB）A；（2）若ABA，求实数a的取值范围16（14分）在ABC中，已知（1，2），（4，m）（m0）（1）若ABC90，求m的值；（2）若|3，且2，求cosADC的值17（14分）如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若（，），且点A的坐标为A（1，m）（1）若tan2，求实数m的值；（2）若tanAOB，若sin2的值18（16分）某

4、公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式ylogax+b，（a0，且a1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围19（16分）已知奇函数f（x），函数g（t）sin2t+2cost

5、1，tm，m，bR（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在0，1上的单调性，并证明；（3）当x0，1时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围20（16分）已知向量（2sin（x+），），（sin（x+），cos（2x）（0），函数（x）1，f（x）的最小正周期为（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）2n+10；在0，上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x11，1，都存在x2R，使得+m（）+1f（x2）成立若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：

6、本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合A0，1，B1，2，则AB0，1，2【分析】根据交集的定义写出AB即可【解答】解：集合A0，1，B1，2，则AB0，1，2故答案为：0，1，2【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题2（5分）cos【分析】直接利用诱导公式化简求解即可【解答】解：coscos（3）cos故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题3（5分）若幂函数yf（x）的图象过点（4，2），则f（16）4【分析】根据已知求出函数的解析式，将x16代入可得答案【解答】解：设幂函数yf（x）xa，幂函数

7、yf（x）的图象过点（4，2），4a2，解得：a，yf（x）f（16）4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题4（5分）若向量（1，2），（3，m），且，则|+|4【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，m60，解得m6（4，8）则|+|4故答案为：4【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）函数f（x）|ln（x+3）|的单调增区间是2，+）【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）|ln（x+3）|，即当x2时

8、，f（x）ln（x+3），令tx+3，ylnt，在2，+）上，t1，此时tx+3为增函数，ylnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当3x2时，f（x）ln（x+3），令tx+3，ylnt，在（3，2）上，0t1，此时tx+3为增函数，ylnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）|ln（x+3）|的单调增区间是2，+）；故答案为：2，+）【点评】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题6（5分）计算：11【分析】利用对数的运算性质即可得出【解答】解：原式3+4+7+411故答案为：11【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题7（5分）已知圆心角是的扇

9、形的面积是cm2，则该圆心角所对的弧长为cm【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r24解得r2，可得：扇形的弧长为lr2cm故答案为：【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题8（5分）已知函数f（x）是周期为2的奇函数，且x1，0时，f（x）x，则f（）【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（）f（+10）f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）f（）（），综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）是周期为2的函数，则f（）f（+10）

10、f（），又由f（x）为奇函数，则f（）f（）（），则f（）；故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题9（5分）将函数ysin2x向右平移（0）个单位所得函数记为yf（x），当x时f（x）取得最大值，则【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值【解答】解：将函数ysin2x向右平移（0）个单位，所得函数记为yf（x）sin（2x2），当x时f（x）取得最大值，则22k+，kZ22k+，令k0，可得  ，故答案为：【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的

11、最大值，属于中档题10（5分）若，sincos【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos，两边平方得答案【解答】解：，即，cossin，两边平方得：，sincos故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题11（5分）若f（x），且f（2a）f（3a），则实数a的取值范围是（，）【分析】讨论f（x）在x1和x1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：f（x），可得x1时，f（x）递减；x1时，f（x）递减，且f（1）1，可得f（x）在R上递减，f（2a）f（3a），可得2a3a，解得a，故答案

12、为：（，）【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题12（5分）在ABC中，已知|2，|1，点M在边BC上，4，2，则【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，结合已知即可求解【解答】解：4，|2，|1，（）（），2，故答案为：【点评】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题13（5分）函数f （x），若0mn，且f（m）f（n），则mf（n）的取值范围是（3，36【分析】作出f（x）的图象，求得f（n），m的范围及mf（n）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围【解答】解：作出函数f （x）的图象，可得f（n）f（m）

13、1+2m，1m4，则mf（n）m（1+2m）2m2+m在（1，4递增，可得mf（n）的范围是（3，36故答案为：（3，36【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题14（5分）函数f（x）m|3x1|24|3x1|+1（m0）在R上有4个零点，则实数m的取值范围是（3，4）【分析】根据题意，设t|3x1|，则ymt24t+1，作出t|3x1|的草图，据此分析可得方程mt24t+10在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，对于函数f（x）m|3x1|24|3x1|+1，设t|3x1|

14、，则ymt24t+1，t|3x1|的图象如图：若函数f（x）m|3x1|24|3x1|+1（m0）在R上有4个零点，则方程mt24t+10在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3m4，即m的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）【点评】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设集合Ax|y+log2（32x），By|y2x，axa+2，aR全集UR（1）若a2，求（UB）A；（2）若ABA，求实数a的取值范围【分析】（1）求定义域得集合A，求出a2时集合B，再

15、根据集合的定义计算即可；（2）由ABA得出BA，由此列不等式求出实数a的取值范围【解答】解：（1）集合Ax|y+log2（32x）x|x|2x32，a2时，By|y2x，2x4y|4y16，又全集UR，UBx|x4或x16，（UB）Ax|2x4，或16x32；（2）ABA，BA，又By|2ay2a+2，Ax|2x32，解得实数a的取值范围是1a3【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题16（14分）在ABC中，已知（1，2），（4，m）（m0）（1）若ABC90，求m的值；（2）若|3，且2，求cosADC的值【分析】（1）由题意可知0，结合向量的数量

16、积的性质即可求解m（2）由|3，结合向量数量积的性质可求m，然后结合2，及向量夹角公式cosADC可求【解答】解：（1）若ABC90，则0，（3，m2），3+2m40，m（2）|3，m0，m5，2，（1，1），（2，2），而AD（3，4），（3，4），cosADC【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用17（14分）如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若（，），且点A的坐标为A（1，m）（1）若tan2，求实数m的值；（2）若tanAOB，若sin2的值【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得t

17、an的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（）和cos（）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2sin（2）+的值【解答】解：（1）由题意可得tan2，tan，或tan2（，），tan，即，m（2）tanAOBtan（）tan（），+1，（，），sin（），cos（），sin（2）2sin（） cos（），cos（2）2 cos2（）1，sin2sin（2）+sin（2）cos+cos（2）sin【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题18（16分）某公司对营销

18、人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式ylogax+b，（a0，且a1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围【分析】（1）由已知可得ylogax+b在（8，64上是增函数，再结合已知列关

19、于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又x64时，y是x的一次函数，设ykx+m（k0），再由已知可得关于m，k的方程组求解可得x64时，y，则函数解析式可求；（2）当0x8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案【解答】解：（1）8x64，年销售额越大，奖金越多，ylogax+b在（8，64上是增函数，解得8x64时，y3+log2x；又x64时，y是x的一次函数，设ykx+m（k0），由题意可得：，解得x64时，yy关于x的函数解析式为；（2）当0x8时，不合题意；当8x64时，23+log2x4，解得32x12832x64当x64时，解得x72，64x72综上，32x72答：该营销人员年终

20、奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题19（16分）已知奇函数f（x），函数g（t）sin2t+2cost1，tm，m，bR（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在0，1上的单调性，并证明；（3）当x0，1时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围【分析】（1）由奇函数的性质可得f（0）0，解方程即可得到b；（2）f（x）在0，1单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f（x）的最大值，

21、即可得到g（t）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围【解答】解：（1）奇函数f（x），可得f（0）0，即b0；（2）f（x）在0，1单调递增，证明：设x1，x2是0，1上任意两个值，且x1x2，f（x2）f（x1）（），由x1，x20，1，且x1x2，可得x2x10，1x1x20，1+x120，1+x220，即有f（x2）f（x1）0，即f（x2）f（x1），可得f（x）在0，1递增；（3）由（2）可得f（x）在0，1递增，可得f（x）maxf（1），可得g（t）的最小值为，令scost，所以ss2+2s的最小值为，所以s，即cost1，tm，由ycost的图象可得m【点评

22、】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（16分）已知向量（2sin（x+），），（sin（x+），cos（2x）（0），函数（x）1，f（x）的最小正周期为（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）2n+10；在0，上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x11，1，都存在x2R，使得+m（）+1f（x2）成立若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）函数f（x）1，f（x）的最小正周期为可得，即可求解f（x）的单调增区间（2）根据x在0，上求解f（x）的值域，即可求解实数n的

23、取值范围；（3）由题意，求解f（x2）的最小值，利用换元法求解y+m（）+1的最小值，即可求解m的范围【解答】解：（1）函数f（x）12sin2（x）cos（2x）1sin（2x）cos（2x）2sin（2x）f（x）的最小正周期为0，1那么f（x）的解析式f（x）2sin（2x）令2x，kZ得：xf（x）的单调增区间为，kZ（2）方程f（x）2n+10；在0，上有且只有一个解，转化为函数yf（x）+1与函数y2n只有一个交点x在0，上，（2x）那么函数yf（x）+12sin（2x）+1的值域为，2，结合图象可知函数yf（x）+1与函数y2n只有一个交点那么2n1或2n2，可得或n1（3）由（

24、1）可知f（x）2sin（2x）f（x2）min2实数m满足对任意x11，1，都存在x2R，使得+m（）+1f（x2）成立即+m（）+12成立令y+m（）+1设t，那么+（）2+2t2+2x11，1，t，可得t2+mt+50在t，上成立令g（t）t2+mt+50，其对称轴tt，上，当时，即m3时，g（t）ming（），解得；当，即3m3时，g（t）ming（）0，解得3m3；当，即m3时，g（t）ming（）0，解得m3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用属于难题