2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题每小题4分，共48分）1（4分）已知全集U1，2，3，4，集合A1，4，B2，4，则A（UB）（）A2B4C1D1，2，42（4分）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（4）（）A16B2C2D23（4分）函数f（x）lg（x+1）+的定义域为（）A（，3B（1，3C0，3D（1，3）4（4分）已知弧长为cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（）cm2AB4C2D5（4分）已知向量（4，2），（3，1），则向量与的夹角为（）ABC或D6（4分）如图是函数f（x）Asin（x+）（A0，0

2、，|）在一个周期内的图象，则其解析式是（）Af（x）3sin（x+）Bf（x）3sin（2x+）Cf（x）3sin（2x）Df（x）3sin（2x+）7（4分）若tan2，则2sin23sincos（）A10BC2D8（4分）已知向量，满足|2，则|2+|（）A2B2C2D29（4分）已知函数f（x），则yff（x）3的零点为（）A0和3B2C3D110（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为（）ABCD11（4分）已知函数f（x）exex，则不等式f（2x21）+f（x）0的解集为（）A（0，1BC1，

3、D1，12（4分）已知定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），若f（x）+f（x）0在定义域上有两个不同的解，则a的取值范围为（）A（，）B（）C（，）（）D（）二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）13（5分）计算：（）lglg   14（5分）已知sin（+），则sin（2）   15（5分）三角形ABC中，已知AC4，AB2，3，4，则   16（5分）已知函数f（x）x+，其中aR，若关于x的方程f（|2x1|）2a+有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是   三、解答题（本大题共6小题，共82分）17（10分）设全集UR，集合Ax

4、|1xm5，Bx|2x4（1）当m1时，求A（UB）；（2）若AB，求实数m的取值范围18（12分）已知，均为锐角（1）求sin2的值；（2）求sin的值19（14分）已知向量（+sinx，4sinx），（cosx+sinx，cosx），设 f（x）（1）将f（x）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到gx）的图象，求g（x）的单调增区间；（2）若x0，时，mf（x）+mf（x）+2恒成立，求实数m的取值范围20（14分）在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点（1）设，设x+y，求xy；（2）求的取值范围；（3）若F为线段A

5、B的中点，直线CF与AD相交于点M，求21（16分）如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB2百米，BC4百米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称，现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开设BNM，两道栅栏的总长度L （）ME+MN（1）求L （）的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）求L（）的最小值及此时的值22（16分）若函数f（x）x|xm|+m2，mR（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；（2）若函数f（x）在x1，2上是增函数，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）在x1，

6、2上的最小值为7，求实数m的值2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题每小题4分，共48分）1（4分）已知全集U1，2，3，4，集合A1，4，B2，4，则A（UB）（）A2B4C1D1，2，4【分析】先求出UB，再求出A（UB）【解答】解：全集U1，2，3，4，B2，4，UB1，3，A1，4，A（UB）1，41，31故选：C【点评】本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题2（4分）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（4）（）A16B2C2D2【分析】根据幂函数的定义利用待定系数法求出f（x）的解析式，再计算f（4）的

7、值【解答】解：设幂函数yf（x）xa，xR，函数图象过点（3，），则3a，a，幂函数f（x），f（4）2故选：D【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题3（4分）函数f（x）lg（x+1）+的定义域为（）A（，3B（1，3C0，3D（1，3）【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：1x3，故函数的定义域是（1，3，故选：B【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题4（4分）已知弧长为cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（）cm2AB4C2D【分析】根据弧长公式求出对应的半径

8、，然后根据扇形的面积公式求面积即可【解答】解：弧长为cm的弧所对的圆心角为，半径r4，这条弧所在的扇形面积为S2cm2故选：C【点评】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础5（4分）已知向量（4，2），（3，1），则向量与的夹角为（）ABC或D【分析】运用向量的夹角公式可解决此问题【解答】解：根据题意得，12210cos，向量与的夹角为故选：A【点评】本题考查向量的夹角公式的应用6（4分）如图是函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）在一个周期内的图象，则其解析式是（）Af（x）3sin（x+）Bf（x）3sin（2x+）Cf（x）3sin（2x）Df（x）

9、3sin（2x+）【分析】根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出的值即可得到结论【解答】解：由图象知A3，函数的周期T（），即，即2，则f（x）3sin（2x+），由五点对应法得2（）+0，即，则f（x）3sin（2x+），故选：B【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，和的值是解决本题的关键7（4分）若tan2，则2sin23sincos（）A10BC2D【分析】题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果【解

10、答】解：sin2+cos21，2sin23sincos，故选：D【点评】已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种8（4分）已知向量，满足|2，则|2+|（）A2B2C2D2【分析】根据条件，对两边平方即可求出，从而可求出的值，进而得出的值【解答】解：；故选：C【点评】考查向量数量积的运算，求向量长度的方法9（4分）已知函数f（x），则yff（x）3的零点为（）A0和3B2C3D1【分析】由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设tf（x），解方程f（t）30得：或，得：

11、t1，再分段解方程或，得解【解答】解：设tf（x），解方程f（t）30得：或，解得：t1，即f（x）1，即或，解得：x3，故选：C【点评】本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题10（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为（）ABCD【分析】设射线OA对应的角为，利用任意角的三角函数的定义求得cos、sin，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为cos（）的值【解答】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为，横坐标是cos，故点A的纵坐标为sin，将点A绕原点O顺时针

12、旋转到B点，则OB射线对应的终边对应的角为，则点B的横坐标为cos（）coscos+sinsincos+sin，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题11（4分）已知函数f（x）exex，则不等式f（2x21）+f（x）0的解集为（）A（0，1BC1，D1，【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【解答】解：f（x）exex，f（x）exex（exex）f（x），则函数f（x）是奇函数，yex是增函数，yex，是减函数，则f（x）exex，是增函数，则不等式f（2x21）+f（x）0得

13、不等式f（2x21）f（x）f（x），则2x21x，即2x2+x10，得（x+1）（2x1）0，得1x，即不等式的解集为1，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的 奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键12（4分）已知定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），若f（x）+f（x）0在定义域上有两个不同的解，则a的取值范围为（）A（，）B（）C（，）（）D（）【分析】由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：f（x）+f（x）0在定义域上有两个不同的解，等价于直线yx+1关于原点对称的直线yx1与函数f（x）x2+2ax（x0）的图象有两个交点，联立，消y得：x2+（2a

14、1）x+10，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：，得解，【解答】解：已知定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），若f（x）+f（x）0在定义域上有两个不同的解，等价于直线yx+1关于原点对称的直线yx1与函数f（x）x2+2ax（x0）的图象有两个交点，联立，消y得：x2+（2a1）x+10，由题意有：此方程有两不等正实数根，即，解得：a，故选：A【点评】本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）13（5分）计算：（）lglg【分析】直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可【解答】解：（）lglg故答

15、案为：【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力14（5分）已知sin（+），则sin（2）【分析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可【解答】解：sin（2）sin2（a+）cos2（a+）12sin2（a+）（12），故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键15（5分）三角形ABC中，已知AC4，AB2，3，4，则【分析】由3，得3+2，4+3，然后两式相乘可得【解答】解：3，4，3（）3+2；4（）4+3；12（+2）（+3）22+32+7）12424+316+7，故答案为：【点评】本题考查了平面向量数

16、量积的性质及其运算，属基础题16（5分）已知函数f（x）x+，其中aR，若关于x的方程f（|2x1|）2a+有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是，+）【分析】由方程的根与函数的零点问题设tg（x）|2x1|，设t1，t2为方程t2a的两根则f（|2x1|）2a+有三个不同的实数解等价于：tg（x）的图象与直线tt1，tt2的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：t1（0，1），t21，+），设h（x）t2（2a+）t+a，则此函数有两个零点t1（0，1），t21，+），运算可得解【解答】解：设tg（x）|2x1|，其图象如图所示，设t1，t2为方程t2a的两根则f

17、（|2x1|）2a+有三个不同的实数解等价于：tg（x）的图象与直线tt1，tt2的交点和为3，由图可知：t1（0，1），t21，+），设h（x）t2（2a+）t+a，则此函数有两个零点t1（0，1），t21，+），当t21时，解得：a，由a，解得t1，满足题意，当t21时，由二次方程区间根问题可得：，解得：a，综合得：实数a的取值范围是a，故答案为：，+）【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型三、解答题（本大题共6小题，共82分）17（10分）设全集UR，集合Ax|1xm5，Bx|2x4（1）当m1时，求A（UB）；（2）若

18、AB，求实数m的取值范围【分析】（1）可求出Ax|m1xm+5，Bx|1x2，m1时，求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可；（2）根据AB即可得出m12，或m+51，解出m的范围即可【解答】解：Ax|m1xm+5，Bx|1x2；（1）m1时，Ax|0x6，且UBx|x1，或x2；A（UB）x|2x6；（2）AB；m12，或m+51；m3，或m6；实数m的取值范围为m|m6，或m3【点评】考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义18（12分）已知，均为锐角（1）求sin2的值；（2）求sin的值【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin的值，再

19、利用二倍角的正弦公式求得sin2的值（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（+）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sin的值【解答】解：（1），为锐角，（2），均为锐角，+（0，），【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题19（14分）已知向量（+sinx，4sinx），（cosx+sinx，cosx），设 f（x）（1）将f（x）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到gx）的图象，求g（x）的单调增区间；（2）若x0，时，mf（x）+mf（x）+2恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）首先利用数量积把f（

20、x）化为三角函数，再利用坐标变换得到g（x），结合余弦函数单调性可得增区间；（2）利用所给范围确定f（x）+1为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可【解答】解：（1）由题意得f（x）（）21+12，g（x）2，由2k，kZ，得2k，kZ，即g（x）的增区间为，kZ（2）当x时，可得f（x）+11，4，mf（x）+mf（x）+2m1+，易得1+的最大值为2，使原不等式恒成立的m的范围为2，+），故实数m的取值范围为2，+）【点评】此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中20（14分）在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，D是线段BC上一点，且，F为线

21、段AB上一点（1）设，设x+y，求xy；（2）求的取值范围；（3）若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求【分析】（1）将化成和后，与已知比较得x，y，可得xy；（2）设，（01），将 ，化成，后，再相乘可得；（3）先根据向量共线和三点共线得到+，再与相乘可得【解答】解：（1）+（）+，x，y，xy（2）设，（01）因为在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，CAB60，（）（）（）（）42+1242+4（）2+3，（3）A，M，D三点共线，可设x+（1x）x+（1x），F为AB的中点，+，又C，M，F三点共线，存在tR使得t，x+（1x）+，解得，（+）（+）+212（）+4【点

22、评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题21（16分）如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB2百米，BC4百米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称，现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开设BNM，两道栅栏的总长度L （）ME+MN（1）求L （）的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）求L（）的最小值及此时的值【分析】（1）设AMx，得出x与的关系，求出EM，MN，即可求用表示的l函数表达式；（2）根据基本不等式和的范围得出L（）的最小值【解答】解：（1）点B，E关于MN对

23、称，RtBMNRtEMN，BMEM，BMNEMN，AME2（）2，设AMx，则BMEM2x，cos2，x2，由sin可得MN，ME+MN+由AME2可知0L （）（0）（2）0，0sin，sin（1sin）（）2，当且仅当sin1sin即sin时取等号当时，L（）取得最小值4【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题22（16分）若函数f（x）x|xm|+m2，mR（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；（2）若函数f（x）在x1，2上是增函数，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）在x1，2上的最小值为7，求实数m的值【分析】（1）由奇函数的性质可得f（0

24、）0，解方程可得m；（2）讨论m0，m0，0m1，m1，1m2，2m4，m4时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；（3）由（2）的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，f（0）m20，解得m0；（2）f（x），函数f（x）在x1，2上是增函数，当m0时，f（x）x2mx+m2的对称轴为x，由1，即f（x）在1，2递增；当0m1时，f（x）x2mx+m2的对称轴为x，由1，即f（x）在1，2递增；当1m2时，f（x）在（1，m）递减，（m，2）递增；当m2时，f（x）x2+mx+m2的对称轴为x，若2m4，可得f（x）在（1，）递增

25、；在（，2）递减；若m4，可得f（x）在（1，2）递增，综上可得，m的范围是（，14，+）；（3）由（2）可得m1时，f（x）在1，2递增，可得f（1）1m+m27，解得m2（3舍去），当1m2时，f（x）在（1，m）递减，（m，2）递增，可得f（m）m27，解得m，不符合条件，舍去；当2m4，可得f（x）在（1，）递增；在（，2）递减，若f（1）m1+m2，f（2）2（m2）+m2，f（1）f（2）3m，当2m3，令f（2）7，解得m21，成立；若3m4，可令f（1）7，解得m，不符合条件，舍去；当m4，可得f（x）在（1，2）递增，令f（1）7，即m1+m27，解得m，不符合条件，舍去综上可得m的值为2或21【点评】本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题