高中数学专题07 平面向量（含答案）

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1、高中数学专题07平面向量考纲解读三年高考分析1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的

2、含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量基本定理和向量的坐标运算是考查的重点，解题时常用到等价转化的数学思想和数形结合的数学思想，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度.1、主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会

3、有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现.2、主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.3、主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1【2019年

4、全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），|1，则（）A3B2C2D3【解答】解：（2，3），（3，t），（1，t3），|1，t30即（1，0），则2故选：C2【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足|2|，且（），则与的夹角为（）ABCD【解答】解：（），故选：B3【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”“|”，“|”“与的夹角为锐角”，设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件故选：C4【2

5、018年新课标1理科06】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）ABCD【解答】解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A5【2018年新课标2理科04】已知向量，满足|1，1，则（2）（）A4B3C2D0【解答】解：向量，满足|1，1，则（2）22+13，故选：B6【2018年浙江09】已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足430，则|的最小值是（）A1B1C2D2【解答】解：由430，得，（）（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x0）上不

6、妨以y为例，则|的最小值是（2，0）到直线的距离减1即故选：A7【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|3|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：“|3|3|”平方得|2+9|269|2+|2+6，即1+969+1+6，即120，则0，即，则“|3|3|”是“”的充要条件，故选：C8【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）ABCD3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做B

7、Nx轴，过点B做BMy轴，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1，ANABcos60，BNABsin60，DN1，BM，CMMBtan30，DCDM+MC，A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），（1，m），（，m），0m，m2m（m）2（m）2，当m时，取得最小值为故选：A9【2017年新课标2理科12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则（）的最小值是（）A2BCD1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（1，0），C（1，0），设P（x，y），则（x，y），（1x，y），（1x，y），则（）2x22y+2y22x2

8、+（y）2当x0，y时，取得最小值2（），故选：B10【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则+的最大值为（）A3B2CD2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，BC2，CD1，BDBCCDBDr，r，圆的方程为（x1）2+（y2）2，设点P的坐标为（cos+1，sin+2），（cos+1，sin+2）（1，0）+（0，2）（，2），cos+1，sin+22，+coss

9、in+2sin（+）+2，其中tan2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为3，故选：A11【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记I1，I2，I3，则（）AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3【解答】解：ABBC，ABBCAD2，CD3，AC2，AOBCOD90，由图象知OAOC，OBOD，0，0，即I3I1I2，故选：C12【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负

10、数，使得，则向量，共线且方向相反，可得0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足0，而不成立，为非零向量，则“存在负数，使得”是0”的充分不必要条件故选：A13【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则【解答】解：AEBE，ADBC，A30，在等腰三角形ABE中，BEA120，又AB2，AE2，又，12521故答案为：114【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且0，若2，则cos，【解答】解： 22，（2）24459，|3，cos，故答案为：15【2019年江苏12】如图，在ABC中，D是BC的中点，E在

11、边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O若6，则的值是【解答】解：设（），（）（1），（），66（）（）（），3，故答案为：16【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1当每个i（i1，2，3，4，5，6）取遍1时，|123456|的最小值是，最大值是【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，0，|123456|12345566|（13+56）（24+5+6）|，由于i（i1，2，3，4，5，6）取遍1，可得13+560，24+5+60，可取561，131，21，41，可得所求最小值为0；由13+56，24+5+6的最大值为4，可取21，41，561，11，31，可得所求最大值为2故

12、答案为：0，217【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0，则点A的横坐标为【解答】解：设A（a，2a），a0，B（5，0），C（，a），则圆C的方程为（x5）（xa）+y（y2a）0联立，解得D（1，2）解得：a3或a1又a0，a3即A的横坐标为3故答案为：318【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，2），（1，）若（2），则【解答】解：向量（1，2），（2，2），（4，2），（1，），（2），解得故答案为：19【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、

13、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且|2，则的最小值为【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；ab+2，或ba+2；且；当ab+2时，；b2+2b2的最小值为；的最小值为3，同理求出ba+2时，的最小值为3故答案为：320【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45若mn（m，nR），则m+n【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与的夹角为，且tan7cos，sinCcos（+45）（cossin）sin（+45）（sin+cos）Bmn（m，nR），mn，0n，解得n，m则m+n3故答案为：321【2

14、017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60，|2，|1，则|2|【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60，且|2，|1，4422+421cos60+41212，|2|2【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在OAC中，由余弦定理得|2，即|2|2故答案为：222【2017年浙江15】已知向量、满足|1，|2，则|+|的最小值是，最大值是【解答】解：记AOB，则0，如图，由余弦定理可得：|，|，令x，y，则x2+y210（x、y1），其图象为一段圆弧MN，如图，令zx+y，则yx+z，则直线yx+z过M、N时z最小为zmin1+33+14，当直线yx+z与圆弧MN相切时z最大，

15、由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以zmax综上所述，|+|的最小值是4，最大值是故答案为：4、23【2017年天津理科13】在ABC中，A60，AB3，AC2若2，（R），且4，则的值为【解答】解：如图所示，ABC中，A60，AB3，AC2，2， （），又（R），（）（）（）（）32cos6032224，1，解得故答案为：1【山东省聊城市2019届高三三模】在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】由题得,.故选：B2【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】已知向量与的夹角为，则（）A1B3C4D5【答案】C【解析

16、】解：根据条件，；解得，或（舍去）故选C3【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合】已知，且，则向量在方向上的正射影的数量为（ ）A1BCD【答案】D【解析】由得，所以，所以向量在方向上的正射影的数量为，故选D.4【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知为等边三角形所在平面内的一个动点，满足，若，则（ ）AB3C6D与有关的数值【答案】C【解析】如图：以中点为坐标原点，以方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，因为，则，因为为等边三角形所在平面内的一个动点，满足，所以点在直线，所以在方向上的投影为，因此.故选C5【北京市朝阳区2019届高三第二次

17、（5月)综合练习】已知平面向量的夹角为，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】,所以故选:B.6【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是（ ）AB0CD1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知，设，则，当时，取得最小值故选：7【广东省2019届高三适应性考试】已知，点是边的中点，若点满足，则（ ）AB CD【答案】D【解析】点M是边BC的中点，可得2，可得2（）4，即2（）+12，可得6，即，故选：D8【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试】已知菱形的边长为2，则（）A4B6CD【答案】B【解析】如图所示，菱形形的边

18、长为2，且，故选B9【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试】在中，为的三等分点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，化为，因为，所以，又因为，为的三等分点，所以，故选C.10【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】在中，设点、满足， ，若，则（ ）AB2CD3【答案】D【解析】因为，则，所以.由已知，则.选.11【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】在平行四边形中，若则( )ABCD【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中, ,，,因为,所以,， 所以，故选C.12【广东省2019届高考适应性考试】若向量，满足，且，则的最小值是（ ）ABC2D【答案】C【

19、解析】设向量，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为，因此从而，选C.13【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数的值为_【答案】【解析】，因为， ，所以，所以，填.14【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】在中，则_【答案】3【解析】解：在中，可得，则.故答案为：315【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】已知向量，若，则_【答案】4【解析】；故答案为：416【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知平面向量，则在方向上的射影为_【答案】【解析】 解得：在方向上的射影为：

20、 本题正确结果：17【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三】已知向量，向量，则的最大值是_.【答案】6【解析】由题意，向量，则，所以向量的终点在以原点为圆心，为半径的圆上，又由，则其终点也在此圆上，当与反向时，为最大，最大值为6.18【天津市北辰区2019届高考模拟考试】平行四边形中，点在边上，则的取值范围是_【答案】【解析】因为点在边上，所以设，则，所以，又，所以，故答案为19【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】直线与圆：交于，两点，向量，满足，则实数的取值集合为_.【答案】【解析】解：由，满足，得，圆：的圆心为，半径为，点到直线的距离为1，由，得.故实数的取值集合为

21、.20【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟】如图，点在的边上，且，则的最大值为_【答案】【解析】因为，所以因为，所以即，整理得到，两边平方后有，所以即，整理得到，设，所以，因为，所以，当且仅当，时等号成立，故填.1在平行四边形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值为5【解答】解：设k，则k0，1；建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（，），C（，），由k，k，可得k（2k，k），同理可得（2k，），（2k）（2k）kk22k+5（k+1）2+6，k0，1，（k+1）2+61+65，的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值故答案为：D2已知，若，则k8【解答】解：2（9，2+2k），3（1，6k）；（2）（3），9（6k）（1）（2+2k）0，解得k8故答案为：83已知非零向量，满足4|3|，若（4）则，夹角的余弦值为【解答】解：非零向量，满足4|3|，若（4），|，且 （4）40，即设，夹角为，则cos，故答案为：4已知向量，且，则与的夹角为【解答】解：；4k3；，且；设与的夹角为，则：；又0；故答案为：5已知，且，共线，则向量在方向上的投影为【解答】解：由，且，共线，得1（4）2t0，解得t2向量在方向上的投影为故答案为：