2020高中数学专题06 解三角形（含答案）

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1、2020高中数学专题06解三角形考纲解读三年高考分析1.正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正余弦定理和三角形面积公式是考查的重点，考查学生的数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力，题型以选择填空题、解答题为主，中等难度.1、以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.2、以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质

2、结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.1【2018年新课标2理科06】在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB（）A4BCD2【解答】解：在ABC中，cos，cosC2，BC1，AC5，则AB4故选：A2【2018年新课标3理科09】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C（）ABCD【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cABC的面积为，SABC，sinCcosC，0C，C故选：C3【2019年全国新课标2理科15】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若b6，a2c，B，则ABC的面积为【解答】解：由余弦定理有b

3、2a2+c22accosB，b6，a2c，B，c212，故答案为：4【2019年浙江14】在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD，cosABD【解答】解：在直角三角形ABC中，AB4，BC3，AC5，sinC，在BCD中，可得，可得BD；CBD135C，sinCBDsin（135C）（cosC+sinC）（），即有cosABDcos（90CBD）sinCBD，故答案为：，5【2018年浙江13】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b2，A60，则sinB，c【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ca，b2，A60，由

4、正弦定理得：，即，解得sinB由余弦定理得：cos60，解得c3或c1（舍），sinB，c3故答案为：，36【2017年浙江11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6611sin60故答案为：7【2017年浙江14】已知ABC，ABAC4，BC2，点D为AB延长线上一点，BD2，连

5、结CD，则BDC的面积是，cosBDC【解答】解：如图，取BC得中点E，ABAC4，BC2，BEBC1，AEBC，AE，SABCBCAE2，BD2，SBDCSABC，BCBD2，BDCBCD，ABE2BDC在RtABE中，cosABE，cosABE2cos2BDC1，cosBDC，故答案为：，8【2019年天津理科15】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b+c2a，3csinB4asinC（）求cosB的值；（）求sin（2B）的值【解答】解（）在三角形ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，得3bsinC4asinC，即3b4a又因为b

6、+c2a，得b，c，由余弦定理可得cosB（）由（）得sinB，从而sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故sin（2B）sin2Bcoscos2Bsin9【2019年新课标3理科18】ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c已知asinbsinA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围【解答】解：（1）asinbsinA，即为asinacosbsinA，可得sinAcossinBsinA2sincossinA，sinA0，cos2sincos，若cos0，可得B（2k+1），kZ不成立，sin，由0B，可得B；（2）若ABC为锐角三角

7、形，且c1，由余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2a+11且1+a2a+1a2，解得a2，可得ABC面积Sasina（，）10【2019年新课标1理科17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C（1）求A；（2）若a+b2c，求sinC【解答】解：（1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C则sin2B+sin2C2sinBsinCsin2AsinBsinC，由正弦定理得：b2+c2a2bc，cosA，0A，A（2）a+b2c，A，由正弦定理得，解得sin（

8、C），C，C，sinCsin（）sincoscossin11【2019年北京理科15】在ABC中，a3，bc2，cosB（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值【解答】解：（）a3，bc2，cosB由余弦定理，得b2a2+c22accosB，b7，cb25；（）在ABC中，cosB，sinB，由正弦定理有：，bc，BC，C为锐角，cosC，sin（BC）sinBcosCcosBsinC12【2019年江苏15】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a3c，b，cosB，求c的值；（2）若，求sin（B）的值【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，ca3c

9、，b，cosB，由余弦定理得：cosB，解得c（2），由正弦定理得：，2sinBcosB，sin2B+cos2B1，sinB，cosB，sin（B）cosB13【2018年江苏17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两

10、种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解答】解：（1）S矩形ABCD（40sin+10）80cos800（4sincos+cos），SCDP80cos（4040sin）1600（coscossin），当B、N重合时，最小，此时sin；当C、P重合时，最大，此时sin1，sin的取值范围是，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t（t0），乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y3200t（4sincos+cos）+4800t（coscossin）8000t（sincos+cos），其中sin，1）；设f（）sincos+cos，则f（）co

11、s2sin2sin2sin2sin+1；令f（）0，解得sin，此时，cos；当sin，）时，f（）0，f（）单调递增；当sin（，1）时，f（）0，f（）单调递减；时，f（）取得最大值，即总产值y最大S矩形ABCD800（4sincos+cos），SCDP1600（coscossin），sin，1）；答：时总产值y最大14【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求cosADB；（2）若DC2，求BC【解答】解：（1）ADC90，A45，AB2，BD5由正弦定理得：，即，sinADB，ABBD，ADBA，cosADB（2）ADC90，cos

12、BDCsinADB，DC2，BC515【2018年北京理科15】在ABC中，a7，b8，cosB（）求A；（）求AC边上的高【解答】解：（）ab，AB，即A是锐角，cosB，sinB，由正弦定理得得sinA，则A（）由余弦定理得b2a2+c22accosB，即6449+c2+27c，即c2+2c150，得（c3）（c+5）0，得c3或c5（舍），则AC边上的高hcsinA316【2018年天津理科15】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B）（）求角B的大小；（）设a2，c3，求b和sin（2AB）的值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得，得bsinA

13、asinB，又bsinAacos（B）asinBacos（B），即sinBcos（B）cosBcossinBsincosB，tanB，又B（0，），B（）在ABC中，a2，c3，B，由余弦定理得b，由bsinAacos（B），得sinA，ac，cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB17【2017年新课标1理科17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得SABCacsinB，3

14、csinBsinA2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC；（2）6cosBcosC1，cosBcosC，cosBcosCsinBsinC，cos（B+C），cosA，0A，A，2R2，sinBsinC，bc8，a2b2+c22bccosA，b2+c2bc9，（b+c）29+3cb9+2433，b+c周长a+b+c318【2017年新课标2理科17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2（1）求cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为2，求b【解答】解：（1）sin（A+C）8sin2，sinB4（1cosB

15、），sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）0，（17cosB15）（cosB1）0，cosB；（2）由（1）可知sinB，SABCacsinB2，ac，b2a2+c22accosBa2+c22a2+c215（a+c）22ac153617154，b219【2017年新课标3理科17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【解答】解：（1）sinAcosA0，tanA，0A，A，由

16、余弦定理可得a2b2+c22bccosA，即284+c222c（），即c2+2c240，解得c6（舍去）或c4，故c4（2）c2b2+a22abcosC，1628+4222cosC，cosC，CDCDBCSABCABACsinBAC422，SABDSABC20【2017年上海18】已知函数f（x）cos2xsin2x，x（0，）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b5，若f（A）0，求ABC的面积【解答】解：（1）函数f（x）cos2xsin2xcos2x，x（0，），由2k2x2k，解得kxk，kZ，k1时，x，可得f（x）的增区间为，）；（2

17、）设ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b5，若f（A）0，即有cos2A0，解得2A，即A，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，化为c25c+60，解得c2或3，若c2，则cosB0，即有B为钝角，c2不成立，则c3，ABC的面积为SbcsinA5321【2017年北京理科15】在ABC中，A60，ca（1）求sinC的值；（2）若a7，求ABC的面积【解答】解：（1）A60，ca，由正弦定理可得sinCsinA，（2）a7，则c3，CA，sin2C+cos2C1，又由（1）可得cosC，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，SABCacsinB7362

18、2【2017年天津理科15】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a5，c6，sinB（）求b和sinA的值；（）求sin（2A）的值【解答】解：（）在ABC中，ab，故由sinB，可得cosB由已知及余弦定理，有13，b由正弦定理，得sinAb，sinA；（）由（）及ac，得cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A12sin2A故sin（2A）1【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】设的内角所对边的长分别是，且，则的值为（ ）AB4CD【答案】C【解析】在ABC中，A2B，b3，c1，可得，整理得a6cosB，由余弦定理可得：a6，a2，故选C.2

19、【江西省新八校2019届高三第二次联考】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】,因为，所以，从而的面积为，故选A.3【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知的内角，的对边分别是，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由结合正弦定理可得，则.由余弦定理，可得，解得，则.又，所以.故选B.4【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】如图，在中，则的面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】过点分别作和的垂线，垂足分别为，由，得，则

20、为的平分线，又，即，解得;在中，.故选B.5【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】在中，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设所以，所以，所以，得所以故选：B6【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】在中，角，的对边分别为，,若，且 ，则的面积为（ ）ABC或D或【答案】C【解析】因为，所以，故，因此或；因为，所以舍去；故；所以；当时，由得，又，所以，根据余弦定理可得，解得，因此，；当时，由得，又，所以，根据余弦定理可得，解得，因此，.故选C7【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解

21、析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若， ，,， ,由正弦定理得，即 则b的取值范围为,故选C.8【河北廊坊2018-2019学年高一年级第二学期期中联合调研考试】在中，角，所对的边分别是，则（ ）A或BCD【答案】C【解析】解：，由正弦定理得：故选C.9【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则等式成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意得, ,，即，由正弦定理得，故选B.10【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】中，角，的对边分别为，若，.且，则的面积为（ ）A2B3C4D【答案】A【解析】由余弦定

22、理得：，即解得： 本题正确选项：11【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】在中，角、的对边分别为、，边上的高为，则的最大值是_【答案】【解析】因为边上的高为，所以，即，可得，故的最大值是故答案为12【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】外接圆半径为，内角，对应的边分别为，若，则的值为_【答案】【解析】由正弦定理可得：，解得：由余弦定理可得：解得：或（舍去） 本题正确结果：13【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】三角形中，则三角形的面积为_.【答案】【解析】解法1：在中，.由余弦定理得，即，解得.三角形的面积为.解法2：在中，.由正弦定理得，由勾股定理，得.所以，三

23、角形的面积为.14【天津市河东区2019届高三二模】如图，已知，则_.【答案】【解析】设，在ABO中，由余弦定理可得：，整理可得：， 由平面向量数量积的定义可得：， 由有：，解得：，即ABO为等边三角形，由题意可得：，故：.15【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟】已知中，角的对边分别为，若+（）求；（）若 ，求面积的最大值。【答案】（）（）【解析】（）由正弦定理可得： 又 .（） 由余弦定理可得，又 故，当且仅当时，等号成立.所以.所以面积最大为.16【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身】已知中，角的对边分别为（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；（2

24、）若的外接圆面积为，求周长的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依次成等差数列，且公差为 ，由余弦定理得：整理得：，解得：或又，则（2）设，外接圆的半径为，则，解得：由正弦定理可得：可得：，的周长又 当，即：时，取得最大值17【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习】在ABC中，AC=4，（）求的大小；（）若D为BC边上一点，求DC的长度【答案】（）；（）或【解析】（）在中，由正弦定理得，所以因为，所以，所以（）在中，在中，由余弦定理，得，即，解得或经检验，都符合题意18【山东省聊城市2019届高三三模】在中，角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，

25、求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，由三角形内角和定理和诱导公式可得，代入上式可得，所以.因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.19【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】在中，角的对边分別为，若，.（1）求；（2）已知点在边上，且平分，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得，所以，由正弦定理，可得.（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）.，因为，所以.20【天津市河西区2019届高三一模】在中，对应的边为.已知.（）求

26、；（）若，求和的值.【答案】（）（）【解析】（）解：由条件，得，又由，得.由，得，故. （）解：在中，由余弦定理及，有，故.由得，因为，故.因此，.所以.1已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinAsinB+sin2Asin2C（1）求证：；（2）若B为钝角，且ABC的面积S满足S（bsinA）2，求A【解答】解：（1）ABC中，sinAsinB+sin2Asin2C，ab+a2c2；即c2a2ab；cosAsinA，其中R为ABC外接圆半径，即证得sinA；（2）ABC的面积S满足S（bsinA）2，即bcsinAb2sin2A，sinA，又cosA，cosAsinB，由B

27、为钝角得BA；又A+B+C，A+（A）+C，解得C2A，sinA，cos2Asin2A，tan2A1；又A为锐角，2A（0，），2A，A2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosAac，D是BC边上的点（）求角B；（）若AC7，AD5，DC3，求AB的长【解答】解：（）bcosAac，A+B+C，由正弦定理得：sin Bcos AsinAsinC，即：sin Bcos AsinAsin （A+B），sin Bcos Asin Asin Acos B+cos Asin B，即：sin Asin Acos B，sin A0，cos B，B；（）在ADC中，若AC7，AD5，DC

28、3，由余弦定理，得cosADC，所以ADC，在ABD中，AD5，B，ADB，由正弦定理得，所以AB53在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2asinBcosAbsinA0，（1）求A；（2）当函数取得最大值时，试判断ABC的形状【解答】解：（1）由正弦定理得asinBbsinA0，又2asinBcosAbsinA0，2cosA1，即，0A；（2）解法一：，从而，当时，函数f（x）取得最大值，这时，即ABC是直角三角形；解法二：，2sinC，当时，函数f（x）取得最大值，ABC是直角三角形4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosBccosBbcosC（

29、1）求角B的大小：（2）若点D为的BC中点，且ADb，求的值的值【解答】解：（1）在ABC中，2acosBccosBbcosC，由正弦定理得2sinAcosBsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA，A（0，），sinA0，则，B（0，），；（2）在ABD中，由余弦定理得，在ABC中，由余弦定理得b2a2+c22accosBa2+c2ac，ADb，a2+c2ac，整理得，由正弦定理得5在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A，c，sinAsinC（）求a的值；（） 若角A为锐角，求b的值及ABC的面积【解答】解：（）在ABC中，因为，由正弦定理，得（） 由得， 由得，则，由余弦定理a2b2+c22bccosA，化简得，b22b150，解得b5或b3（舍负）所以