高中数学专题02 函数的概念与基本初等函数（2）含答案

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1、专题02函数的概念与基本初等函数考纲解读三年高考分析1.函数（1）了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.（3）了解简单的分段函数,并能简单应用.（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.（5）会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.（4）知道指数函数是

2、一类重要的函数模型.3.对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1)4.幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图像,了解它们的变化情况.5.函数与方程6.函数模型及其应用函数的单调性和分段函数是考查的重点，解题时常用到函数的单调性和函数的周期性，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，

3、题型以选择填空题为主，中等难度.1、以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.2、以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.3、利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1【2019年天津文科05】已知alog27，blog38，c

4、0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBabcCbcaDcab【解答】解：由题意，可知：alog27log242，blog38log392，c0.30.21，cba故选：A2【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（aR）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A，B（，C（，1D，1【解答】解：作出函数f（x）的图象，以及直线yx的图象，关于x的方程f（x）x+a（aR）恰有两个互异的实数解，即为yf（x）和yx+a的图象有两个交点，平移直线yx，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a或a，考虑直线与y在x1相切，可得axx21

5、，由a210，解得a1（1舍去），综上可得a的范围是，1故选：D3【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（）Af（log3）f（2）f（2）Bf（log3）f（2）f（2）Cf（2）f（2）f（log3）Df（2）f（2）f（log3）【解答】解：f（x）是定义域为R的偶函数，log34log331，0f（x）在（0，+）上单调递减，故选：C4【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）ex1，则当x0时，f（x）（）Aex1Bex+1Cex1Dex+1【解答】解：设x0，则x0，f（x）ex1，设f（x）为奇函数，f

6、（x）ex1，即f（x）ex+1故选：D5【2019年新课标1文科03】已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca【解答】解：alog20.2log210，b20.2201，00.20.30.201，c0.20.3（0，1），acb，故选：B6【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）AyxBy2xCylogxDy【解答】解：在（0，+）上单调递增，和在（0，+）上都是减函数故选：A7【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f

7、（3）+f（50）（）A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x1），f（0）0，则f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，故选：C8【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）f（

8、2x）的x的取值范围是（）A（，1B（0，+）C（1，0）D（，0）【解答】解：函数f（x），的图象如图：满足f（x+1）f（2x），可得：2x0x+1或2xx+10，解得x（，0）故选：D9【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数ylnx的图象关于直线x1对称的是（）Ayln（1x）Byln（2x）Cyln（1+x）Dyln（2+x）【解答】解：首先根据函数ylnx的图象，则：函数ylnx的图象与yln（x）的图象关于y轴对称由于函数ylnx的图象关于直线x1对称则：把函数yln（x）的图象向右平移2个单位即可得到：yln（2x）即所求得解析式为：yln（2x）故选：B10【2

9、018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）AfBfCfDf【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：故选：D11【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab【解答】解：a，b，c，且5，则b，cab故选：D1

10、2【2017年北京文科05】已知函数f（x）3x（）x，则f（x）（）A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）3x（）x3x3x，f（x）3x3xf（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y3x为增函数，y（）x为减函数，故函数f（x）3x（）x为增函数，故选：B13【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg30.48）A1033B1053C1073D1093【解答】解：由题

11、意：M3361，N1080，根据对数性质有：310lg3100.48，M3361（100.48）36110173，1093，故选：D14【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数若af（），bf（log24.1），cf（20.8），则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，af（）f（log25），bf（log24.1），cf（20.8），又120.82log24.1log25，f（20.8）f（log24.1）f（log25），即cba故选：C15【2017年天津文科08】已知函数f（x），设aR，若关于x的不等式f

12、（x）|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A2，2BCD【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象如图：令g（x）|a|，其图象与x轴相交与点（2a，0），在区间（，2a）上为减函数，在（2a，+）为增函数，若不等式f（x）|a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）g（0），即2|a|，解可得2a2，故选：A16【2018年新课标1文科13】已知函数f（x）log2（x2+a），若f（3）1，则a【解答】解：函数f（x）log2（x2+a），若f（3）1，可得：log2（9+a）1，可得a7故答案为：717【2018年新课标3文科16】已知函数f（x）l

13、n（x）+1，f（a）4，则f（a）【解答】解：函数g（x）ln（x）满足g（x）ln（x）ln（x）g（x），所以g（x）是奇函数函数f（x）ln（x）+1，f（a）4，可得f（a）4ln（a）+1，可得ln（a）3，则f（a）ln（a）+13+12故答案为：218【2018年天津文科14】已知aR，函数f（x）若对任意x3，+），f（x）|x|恒成立，则a的取值范围是【解答】解：当x0时，函数f（x）x2+2x+a2的对称轴为x1，抛物线开口向上，要使x0时，对任意x3，+），f（x）|x|恒成立，则只需要f（3）|3|3，即96+a23，得a2，当x0时，要使f（x）|x|恒成立，即f（

14、x）x2+2x2a，在射线yx的下方或在yx上，由x2+2x2ax，即x2x+2a0，由判别式18a0，得a，综上a2，故答案为：，219【2017年新课标2文科14】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（，0）时，f（x）2x3+x2，则f（2）【解答】解：当x（，0）时，f（x）2x3+x2，f（2）12，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）12，故答案为：1220【2017年新课标3文科16】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是【解答】解：若x0，则x，则f（x）+f（x）1等价为x+1+x11，即2x，则x，此时x0，当x0时，f（x）2x1，x，当

15、x0即x时，满足f（x）+f（x）1恒成立，当0x，即x0时，f（x）x1x，此时f（x）+f（x）1恒成立，综上x，故答案为：（，+）21【2017年北京文科11】已知x0，y0，且x+y1，则x2+y2的取值范围是【解答】解：x0，y0，且x+y1，则x2+y2x2+（1x）22x22x+1，x0，1，则令f（x）2x22x+1，x0，1，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）最大值为：f（1）22+11则x2+y2的取值范围是：，1故答案为：，11【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（ ）A2B4CD【答案】C【解析】依题意，

16、函数为偶函数.由于为奇函数，故也为奇函数.而，故，即，解得.故选：C.2【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一，0为增函数，所以函数f（x）在0，+）上为减函数，由f（3）0，则不等式f （12x）0f （12x）f（3）|12x|3，解可得：1x2，即不等式的解集为（1，2）.故选：B3【天津市河北区2019届高三一模】已知是定义在R上的偶函数，且在内单调递减，则（ ）AB CD 【答案】C【解析】f（x）为偶函数f（x）在

17、0，+）内单调递减，即故选：C4【天津市红桥区2019届高三二模】已知，则（ ）ABCD【答案】A【解析】且即本题正确选项：5【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为 故函数关于点（2,1）对称，则 故选：B6【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，则（ ）A在单调递增B的最小值为4C的图象关于直线对称D的图象关于点对称【答案】D【解析】由题意知： 当时，则在上单调递减，错误；当时，可知最小值为不正确，错误；，则不关于对称，错误；，则关于对称，正确.本题正确选项：7【山东省栖霞市2019届

18、高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A2019B0C1D-1【答案】B【解析】由得：的周期为又为奇函数， 即： 本题正确选项：8【天津市红桥区2019届高三一模】若方程有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ）ABCD 【答案】D【解析】解：y，画出函数ykx2，y的图象，由图象可以看出，ykx2图象恒过A（0，2），B（1，2），AB的斜率为4，当0k1时，函数ykx2，y的图象有两个交点，即方程kx2有两个不同的实数根；当k1时，函数ykx2，y的图象有1个交点，即方程kx2有1个不同的实数根；当1k4时，函数ykx2，y的图象有两个交点，即方程kx2有

19、两个不同的实数根；当时，函数ykx2，y的图象有1个交点.因此实数k的取值范围是0k1或1k4.故选：D9【天津市部分区2019届高三联考一模】设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在上递减，若充分性成立， 若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C.10【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果，今年又购进新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为，最少为，则下列坐标图最能准确描述、分别与的关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使

20、用库存芒果，即当时此时，当时，对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当时，当时，因为，所以选A.11【天津市部分区2019届高三联考一模】已知函数若存在实数满足，其中，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】画出图象，如图，由二次函数的性质可得，由图可知，即的取值范围是，故选B.12【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD 【答案】C【解析】方程有三个不相等的实数根，等价于和有三个不同交点，因为,所以的周期为2，由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:不妨设当

21、直线过时，的值分别为与1，由图可知，时直线与的图象有三个交点，时,方程有三个不相等的实数根,同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,所以实数的取值范围是，故选C.13【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)】函数图象的对称中心为_【答案】【解析】由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得，整理得到：，整理得到对任意均成立，所以，所以，.，即对称中心故答案为：14【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知函数，若，则实数的值是_【答案】【解析】 ，因为所以解得a故答案为：15【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】已知f(x)是定义在R上的偶函

22、数，且.若当 时，则_【答案】6【解析】解：由，可得，可得为周期为6的周期函数，由是定义在R上的偶函数，可得，且当 时，可得，故答案：6.16【江苏省南通市2019届高三适应性考试】若函数存在零点，且与函数的零点完全相同，则实数的值为_.【答案】1【解析】因为函数存在零点，不妨令为函数零点，则，又函数与函数的零点完全相同，所以，即，所以.故答案为117【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】设，若函数在上的最大值是3，则在上的最小值是_.【答案】2【解析】整理可得：，令，则函数可化为：，当时，解得：当时， 所以在上的最小值是.18【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模)】设，若存在实数，使得

23、的定义域和值域都是，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】在是减函数 即：设，由，得 则变为： ，即： 本题正确结果：19【上海市黄埔区2019届高三二模】经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元

24、.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？【答案】（1），；（2）， 【解析】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.由题意可得：，所以存储成本费，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为；(2)因为存储成本费，所以，当且仅当，即时，取等号；所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.20【北京市人大附中2019届高考信息卷(二)】某绿色有机水果店中一款有机草莓味道鲜甜，店家每天以每斤元的价格从农场购进适

25、量草莓，然后以每斤元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤元的价格回收.（1）若水果店一天购进斤草莓，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：斤，）的函数解析式；（2）水果店记录了天草莓的日需求量（单位：斤），整理得下表：日需求量14151617181920频数1422141615136假设水果店在这天内每天购进斤草莓，求这天的日利润（单位：元）的平均数；若水果店一天购进斤草莓，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.【答案】（1）；（2），0.64【解析】（1）当日需求量时，利润；当日需求量时，利润.所以当天的利润关于当天需求量的函数解

26、析式为（2）假设水果店在这天内每天购进斤草莓，则：日需求量为斤时，利润；日需求量为斤时，利润；日需求量为斤时，利润；日需求量不小于时，利润.故这天的日利润（单位：元）的平均数为：，解得（元）.利润不低于元时，当日需求量当且仅当不少于斤.以频率预估概率，得当天的利润不少于元的概率为.1已知函数yf（x）（xR）（1）若f（x）满足yf（x+1）为R上奇函数且yf（x1）为R上偶函数，求f（3）+f（5）的值；（2）若函数yg（x）（xR）满足对xR恒成立，函数h（x）f（x）+g（x），求证：函数h（x）是周期函数，并写出h（x）的一个正周期；（3）对于函数yf（x），yk（x）（xR），若f（

27、k（x）f（x）对xR恒成立，则称函数yf（x）是“广义周期函数”，k（x）是其一个广义周期，若二次函数f（x）ax2+bx+c（a0）的广义周期为k（x）（k（x）x不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的x1，x2R，x1x2，f（x1）f（x2）成立的充要条件是【解答】解：（1）若f（x）满足yf（x+1）为R上奇函数，可得f（1x）f（x+1），即有f（x）的图象关于（1，0）对称，即有f（x）+f（2+x）0，yf（x1）为R上偶函数，可得f（x1）f（x1），即为f（x）f（x2），可得f（x+2）f（x2），即有f（x+4）f（x），即为f（x+8）f（x+4）f（x），

28、可得f（x）的最小正周期为8，可得f（3）+f（5）2f（5），由f（1）+f（1）0，即f（1）0，则f（5）f（1）0，则f（3）+f（5）0；（2）对xR恒成立，可得g（x+3），g（x+6）|g（x）|g（x），可得h（x+24）f（x+38）+g（x+46）f（x）+g（x）h（x），可得函数h（x）是周期函数，h（x）的一个正周期为24；（3）证明：f（k（x）f（x），即为a（k（x）2+bk（x）+cax2+bx+c，可得a（k（x）x）（k（x）+x）+b（k（x）x）0，由k（x）x不恒成立，可得k（x）x，f（x1）f（x2），可得f（k（x1）f（x1），f（k（x2）

29、f（x2），由x1x2，可得k（x1）x1x2，即x1+x2；若x1+x2，可得x2x1，则f（x2）f（x1）f（x1），对任意的x1，x2R，x1x2，f（x1）f（x2）成立的充要条件是2如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”已知函数的定义域为x|ax2+bx+a+10，且x0（）若a1，b2，求f（x）的定义域；（）当a1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（）若存在实数a0且a1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围【解答】解：（）当a1，b2时，由题意知，解得0x2，所以f（x）的定义域为0，2（）当a1时，（i）当，即b0时，f（x）定义域为

30、0，+），值域为，+），所以b0时，f（x）不是“同域函数”；（ii）当时，即b0，当且仅当b280时，f（x）为“同域函数”，所以，综上可知，b的值为（）设f（x）定义域为A，值域为B；（i）当a1时，a+10，此时0A，0B，从而AB，所以f（x）不是“同域函数”；（ii）当1a0时，a+10，设，则f（x）定义域为0，x0，当时，即b0时，f（x）值域为B0，a+1，若f（x）为“同域函数”，则x0a+1，从而，又因为1a0，所以b的取值范围为（1，0）当时，即b0，f（x）值域为B若f（x）为“同域函数”，则，从而，（*）此时，由可知（*）式不能成立；综上可知，b的取值范围为（1，0）

31、3已知aR，函数（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若a0且对任意xR都成立，求a的取值范围【解答】解：（1）函数为奇函数，即f（0）0，解得a1，f（x），定义域为R，且满足f（x）f（x），f（x）是定义域R上的奇函数；即a1时，f（x）为定义域R上的奇函数；（2）不等式f（x）化为，a0时，2x+a0，所以不等式化为3（2xa）（a2）（2x+a），即a2+a（5a）2x；要使该不等式对任意xR都成立，由a0且2x0，所以5a0，即a5即可；所以a的取值范围是a54已知函数f（x）ax+kbx，其中kR，a0且a1，b0且b1（1）若ab1，试判断f（x）的奇偶性；（2）若a2，

32、b，k16，证明f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴【解答】解：（1）ab1，a0，b0；f（x）ax+kax，则f（x）ax+kax；若f（x）是偶函数，则f（x）f（x），即：ax+kaxax+kax；（k1）（axax）0对任意实数x恒成立；k1；若f（x）是奇函数，则f（x）f（x），即：ax+kaxaxkax；（k+1）（ax+ax）0；k1；综上，k1时，f（x）是奇函数，k1时，f（x）是偶函数，k1时，f（x）是非奇非偶函数；（2）证明：f（x）2x+162x；若f（x）的图象是轴对称图形，对称轴设为xm，则函数f（x+m）为偶函数；f（mx）f（m+x）；即2mx+162xm2m+x+162xm；化简得，（2x2x）（2m162m）0；上式对任意的xR都成立；2m162m0；m2；f（x）的图象是轴对称图形，对称轴为x25已知函数f（x）x2+（m1）x+4，其中m为常数（1）若函数f（x）在区间（，0）上单调递减，求实数m的取值范围：（2）若xR，都有f（x）0，求实数m的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）x2+（m1）x+4开口向上，所以该函数的对称轴是，即m10，解得m1，所以m的取值范围是m|m1；（2）因为f（x）x2+（m1）x+40恒成立，所以（m1）2160，整理得m22m150，解得3m5，因此，m的取值范围是m|3m5