2018-2019学年江西省南昌市四校高一（下）3月联考数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校高一（下）3月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在等差数列an中，若其前13项的和S1352，则a7为（）A4B3C6D122（5分）已知数列an为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+90的二根，则a7的值（）A3B3C3D93（5分）ABC的内角A，B的对边分别为a，b，若acos（A）+bsin（+B）0，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰或直角三角形D等边三角形4（5分）在ABC中，C90，0

2、A45，则下列各式中，正确的是（）AsinAsinBBtanAtanBCcosAsinADcosBsinB5（5分）在ABC中，AB2，AC3，1，则BC（）ABC2D6（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若公差d0，（S8S5）（S9S5）0，则（）A|a7|a8|B|a7|a8|C|a7|a8|D|a7|07（5分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosC，bcosA+acosB3，则ABC外接圆的半径为（）A2B2C4D68（5分）九章算术中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的

3、容积为（）A3升B升C4升D9（5分）已知ABC中，A30，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于（）ABC或D或10（5分）在ABC中，b2ac，且a+c3，cosB，则（）ABC3D311（5分）设Sn为等差数列an的前n项的和a11，则数列的前2017项和为（）ABCD12（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinCpsinB且若角B为锐角，则p的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）数列，的一个通项公式是 14（5分）若a，2a+2，3a+3成等比数列，则a 15（

4、5分）锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2asinBb，b+c5，bc6，则a 16（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，b6，且，O为ABC内一点，且满足，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知等差数列an中，a2+a66，Sn 为其前n项和，S5（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn的最小值18（12分）在数列an中，a1，an+1an，nN*（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列an的前n项和19（12分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

5、设ABC的面积为S，且2S0，c2（）求角A的大小；（）若a2+b2c2ab，求b的值20（12分）Sn为数列an前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3，（1）求an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和21（12分）如图所示，ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（）求角C的大小；（）点D为边AC的中点，BD2，求ABC面积的最大值22（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a217，S10100（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn满足bnancos（n）+2n（nN*），求数列bn的前n项和2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、

6、十七中、实验中学四校高一（下）3月联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在等差数列an中，若其前13项的和S1352，则a7为（）A4B3C6D12【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式得13a7，由此能求出a7【解答】解：在等差数列an中，其前13项的和S1352，13a752，解得a74故选：A【点评】本题考查等差数列的第7项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用2（5分）已知数列an为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+90的二根，则a7的

7、值（）A3B3C3D9【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出【解答】解：数列an为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+90的二根，a5+a92016，a5a99，a50，a90，则a73故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）ABC的内角A，B的对边分别为a，b，若acos（A）+bsin（+B）0，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰或直角三角形D等边三角形【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosAbcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整

8、理即可【解答】解：在ABC中，acos（A）+bsin（+B）0，acosAbcosB，由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或A+B，ABC为等腰或直角三角形，故选：C【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题4（5分）在ABC中，C90，0A45，则下列各式中，正确的是（）AsinAsinBBtanAtanBCcosAsinADcosBsinB【分析】先确定0AB90，再利用正弦函数，正切函数的单调性，即可

9、得到结论【解答】解：ABC中，C90，A90B，0A45，0AB90sinBsinA，故A错误，tanBtanA，故B错误，sinBsin（90B），sinBcosB，故D正确，sin（90A）sinA，cosAsinA，故C错误，故选：D【点评】本题考查三角函数的单调性，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题5（5分）在ABC中，AB2，AC3，1，则BC（）ABC2D【分析】设B，由1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cos，再利用余弦定理表示出cos，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：1，设B，AB2，2

10、BCcos（）1，即cos，又根据余弦定理得：cos，即BC23，则BC故选：A【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若公差d0，（S8S5）（S9S5）0，则（）A|a7|a8|B|a7|a8|C|a7|a8|D|a7|0【分析】根据题意，由（S8S5）（S9S5）0分析可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）0，结合等差数列的性质可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）0a7（a7+a8）0，又由an的公差d0，分析可得a70，a80，且|

11、a7|a8|；即可得答案【解答】解：根据题意，等差数列an中，有（S8S5）（S9S5）0，即（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）0，又由an为等差数列，则有（a6+a7+a8）3a7，（a6+a7+a8+a9）2（a7+a8），（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）0a7（a7+a8）0，a7与（a7+a8）异号，又由公差d0，必有a70，a80，且|a7|a8|；故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，关键是由（S8S5）（S9S5）0，分析得到a7、a8之间的关系7（5分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosC，bcosA+acosB3，则ABC

12、外接圆的半径为（）A2B2C4D6【分析】根据题意，设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，据此分析可得bcosA+acosBc，即可得c的值，由cosC的值计算可得sinC的值，由正弦定理2R，计算可得答案【解答】解：根据题意，设ABC外接圆的半径为R，则有2R，则a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，ABC中，bcosA+acosB3，则bcosA+acosB2R（sinBcosA+sinAcosB）2Rsin（B+A）2RsinCc，即c3，又由cosC，则sinC，则有2R12，即R6；故选：D【点评】本题考查正弦定理、余弦定理

13、的应用，关键是求出c的值8（5分）九章算术中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（）A3升B升C4升D【分析】设每一节由上而下的容积为数列an，公比为q0则a1+a2+a32，a7+a8+a9128，解出即可得出【解答】解：设每一节由上而下的容积为数列an，公比为q0则a1+a2+a32，a7+a8+a9128，a7+a8+a9（a1+a2+a3）q62q6128，解得q2a1（1+2+4）2，解得a1a5故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5

14、分）已知ABC中，A30，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于（）ABC或D或【分析】由等差中项与等比中项的定义求出AB，BC1，由余弦定理得AC1或AC2，由此能求出ABC的面积【解答】解：ABC中，A30，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，解得AB，BC1，由余弦定理得：，解得AC1或AC2，当AC1时，ABC的面积S当AC2时，ABC的面积S故选：D【点评】本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比中项、等差中项、余弦定理的合理运用10（5分）在ABC中，b2ac，且a+c3，cosB，则（）ABC3D3【分析】利用余弦定理列出关系式，

15、再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：在ABC中，b2ac，且a+c3，cosB，由余弦定理得：cosB，即ac2，则cacosB故选：B【点评】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键11（5分）设Sn为等差数列an的前n项的和a11，则数列的前2017项和为（）ABCD【分析】利用等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n项和公式，求得数列用裂项法进行求和an的通项公式、前n项公式，可得数列的通项公式，进而用裂项法求得它的前2017项和【解答】解：Sn为

16、等差数列an的前n项的和a11，设公差为d，a1+1008d（a1+1007d）d，ana1+（n1）dn，Snn1+1，2（），则数列的前2017项和为21+）2（1），故选：A【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n项和公式，用裂项法进行求和，属于中档题12（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinCpsinB且若角B为锐角，则p的取值范围是（）ABCD【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用基本不等式变形，将第二个等式代入求出p的范围，再由B为锐角，得出cosB的范围，利用余弦定理表示出cosB，整理变形后求出p的范围，综上，

17、得出满足题意p的范围即可【解答】解：已知等式sinA+sinCpsinB（p0），利用正弦定理化简得：a+cpb2，把acb2代入得：a+cpbb，即p1，B为锐角，0cosB1，即021，232p23，02p231，解得：p，综上，p的取值范围为p，故选：D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）数列，的一个通项公式是【分析】分母为奇数组成的数列，分子为首项为2且公比为2的等比数列，即可其通项公式【解答】解：分母是以3开头的奇数列，分子是以2为首项，以2为公比的等比数列，a

18、n，故答案为：【点评】本题考查数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14（5分）若a，2a+2，3a+3成等比数列，则a4【分析】由题意和等比数列的性质列出方程，化简求出实数a的值，并验证等比数列中项是否为零【解答】解：因为a，2a+2，3a+3成等比数列，所以（2a+2）2a（3a+3），化简得a2+5a+40，解得a1或4，当a1时，2a+23a+30，不成立，舍去，所以实数a的值是4故答案为：4【点评】本题考查等比数列的性质，注意验证等比数列中项是否为零，属于易错题15（5分）锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2asinBb，b+c5，bc6，则a

19、【分析】先求出b、c，再根据2asinBb，利用正弦定理可得sinA的值，可得cosA的值，再由余弦定理求得a的值【解答】解：锐角三角形ABC中，b+c5，bc6，或 再根据2asinBb，利用正弦定理可得2sinAsinBsinB，sinA，cosA再由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA4+9127，a，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题16（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，b6，且，O为ABC内一点，且满足，则3【分析】运用余弦定理可得cosA，由同角平方关系可得sinA，再由题意可得O为ABC的重心，SABOSABC，由

20、三角形的面积公式，解方程可得所求值【解答】解：由余弦定理可得b2a2+c22accosB，b6，且，2a22b2+bca2+c2b2，a2b2+c22bc，cosA，sinA，满足，可得O为ABC的重心，且SABOSABC，即为c|AO|sin30cbsinBAC，则|AO|623，故答案为：3【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角形的重心的向量表示，以及重心的性质，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知等差数列an中，a2+a66，Sn 为其前n项和，S5（1）求数列an的通项公式；（2）求

21、数列an的前n项和Sn的最小值【分析】（1）利用等差数列的性质求出数列的首项与公差，然后求解通项公式（2）求出数列的前n项和，利用函数的单调性求解和的最小值即可【解答】解（1）由a2+a66，得a43，又由S55a3，得a3，设等差数列an的公差为d，则，解得，ann+（7分）（2）（10分）因为，当n1时，是单调递增的，所以，当n1时，Sn有最小值是S11（14分）【点评】本题考查等差数列求和，通项公式的求法，数列的函数特征，考查计算能力18（12分）在数列an中，a1，an+1an，nN*（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列an的前n项和【分析】（1）通过对an+1an变形可知，进而可

22、知数列是首项、公比均为的等比数列；（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】（1）证明：an+1an，又，数列是首项、公比均为的等比数列；（2）解：由（1）可知，Sn+2+（n1）+n，两式相减得：Sn+n，Sn1+nn2【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19（12分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，且2S0，c2（）求角A的大小；（）若a2+b2c2ab，求b的值【分析】（）利用三角形面积公式表示出S，代入已知等式整理求出tanA的值，即可确定出角A

23、的大小；（）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，由sinBsin（A+C），求出sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可【解答】解：（）由2S0，得2bcsinAbccosA0，即sinAcosA0，tanA，则A；（）a2+b2c2ab，cosC，C为三角形内角，sinC，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+，由正弦定理，得：b【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20（12分）Sn为数列an前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3，（1）求an的通项公式；（2）设bn

24、，求数列bn的前n项和【分析】（1）an0，an2+2an4Sn+3，n2时，+2an14Sn1+3，an0，相减可得，anan120，利用等差数列的通项公式可得an（2）bn，利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）an0，an2+2an4Sn+3，n2时，+2an14Sn1+3，相减可得：an2+2an（+2an1）4an，化为：（an+an1）（anan12）0，an0，anan120，即anan12，又4a1+3，a10，解得a13数列an是等差数列，首项为3，公差为2an3+2（n1）2n+1（2）bn，数列bn的前n项和+【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求

25、和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）如图所示，ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（）求角C的大小；（）点D为边AC的中点，BD2，求ABC面积的最大值【分析】（I）由由已知结合正弦定理可得，从而可求tanC，进而可求C（II）在BCD中，设BCx，CDy，由余弦定理及基本不等式x2+y2xy4xy，可求xy的最值，代入三角形的面积公式可求【解答】解：（）由正弦定理可得，0C，故（5分）（）在BCD中，设BCx，CDy，由余弦定理知x2+y2xy4xy，（10分）所以，此时 xy2（15分）【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式及基本不等式的综合

26、应用22（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a217，S10100（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn满足bnancos（n）+2n（nN*），求数列bn的前n项和【分析】（I）由题意等差数列an中a217，S10100，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列an的通项公式an；（II）首先利用诱导公式以及（I）求出数列bn的通项公式，然后当n为奇数时Tnb1+b2+bn，当n为奇数时，Tnb1+b2+bn2n+1+n22，即可求出结果【解答】解：（I）设an首项为a1，公差为d，则解得（5分）an19+（n1）（2）212n（7分）（II）bnancos（n）+2n（1）nan+2n当n为偶数时，Tnb1+b2+bn（a1+2）+（a2+22）+（a3+23）+（an+2n）（10分）当n为奇数时，Tnb1+b2+bn（a1+2）+（a2+22）+（a3+23）+（an+2n）2n+1+n22（13分）（14分）【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，（II）问要注意对n的奇偶性进行讨论，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/11/15 8:59:08；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463第17页（共17页）