2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）下列关系正确的是（）A0N*BQC0DR2（5分）若直线mx+y10与直线x2y+30平行，则m的值为（）ABC2D23（5分）若，则ff（2）（）A2B3C4D54（5分）函数f（x）x21在区间（k，k+1）（kN）内有零点，则k（）A1B2C3D45（5分）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离家的距离，横轴表示出发后的时间，则图中四个图形中较符合该学生走法的是（）AB

2、CD6（5分）点P（2，3）到直线ax+y2a0的距离为d，则d的最大值为（）A3B4C5D77（5分）如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（）ABCD8（5分）设a0.20.3，b0.30.3，c0.30.2，则下列大小关系正确的是（）AcabBbacCabcDcba9（5分）设m和n是不重合的两条直线，和是不重合的两个平面，则下列判断中正确的个数为（）若mn，m则n；若mn，m，则n若m，n则mn；若m，m，则A1B2C3D410（5分）设A，B，C，D是球面上的四点，线段AB，AC，AD两两互相垂直，且AB5，AC4，AD，则该球的表面积为

3、（）A36B64C100D14411（5分）f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）f（a）f（b），且f（1）2，则（）A2017B2018C4034D403612（5分）下列判断中正确的个数为（）函数f（x）x2是偶函数；函数f（）的定义域为2，4，则函数f（lgx）的定义域为10，100；函数f（x）lg（x2+4x+5）的单调递减区间是2，5）已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是0mA1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数f（x）2+loga（x1）（a0且a1）的图象恒过点   14（5分）某几何体的三视图如图所

4、示，则其体积为   15（5分）已知函数f（x）log2（x），g（x）x+1，则不等式f（x）g（x）的解集为   16（5分）已知两点A（1，3），B（4，0），直线l：ax+y2a+10当直线l与线段AB相交时，试求直线l斜率的取值范围   三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点求证：平面MNP平面A1BD18（12分）已知集合Ax|2x32，函数ylg（x24）的定义域为B（）求AB（）若Cx|xa1，且AC，求实数a的取值范

5、围19（12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格（单位：元）均为销售时间t（天）的函数，且销售量（单位：件）近似地满足f（t）2t+200（1t50，tN），前30天价格（单位：元）为g（t）t+30（1t30，tN），后20天价格（单位：元）为g（t）40（31t50，tN）（）写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系；（）求日销售额S的最大值20（12分）已知ABC的顶点A（5，2），B（7，3）且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上（）求顶点C的坐标；（）求直线MN的一般式方程21（12分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAAB

6、BC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积22（12分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x，yR有f（x+y）f（x）+f（y）当 x0时，f（x）0，f（1）2（）求f（0），f（3）的值；（）判断f（x）的单调性并证明；（）若f（4xa）+f（6+2x+1）6对任意xR恒成立，求实数a的取值范围2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5

7、分）下列关系正确的是（）A0N*BQC0DR【分析】利用元素与集合的关系直接求解【解答】解：在A中，0N*，故A错误；在B中，Q，故B错误；在C中，0，故C错误；在D中，R，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题2（5分）若直线mx+y10与直线x2y+30平行，则m的值为（）ABC2D2【分析】由两直线平行，斜率相等列出方程，解方程求得m值【解答】解：直线mx+y10与直线x2y+30平行它们的斜率相等mm故选：B【点评】本题考查两直线平行的性质，斜率都存在的两直线平行时，它

8、们的斜率一定相等3（5分）若，则ff（2）（）A2B3C4D5【分析】在解答时，可以分层逐一求解先求f（2），再根据f（2）的范围求解ff（2）的值从而获得答案【解答】解：20，f（2）（2）2；又20，ff（2）f（2）224故选：C【点评】本题考查的是分段函数求值问题在解答中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识以及问题转化思想的应用属于常规题型，值得同学们总结反思4（5分）函数f（x）x21在区间（k，k+1）（kN）内有零点，则k（）A1B2C3D4【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点【解答】解：函数f（x）x21，函数为连

9、续函数，由f（1）11110，f（2）410及零点定理知，f（x）的零点在区间（1，2）上，零点所在的一个区间（k，k+1）（kZ）是（1，2）k1，故选：A【点评】本题主要考查函数零点的概念、函数零点的判定定理与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号，属于容易题5（5分）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离家的距离，横轴表示出发后的时间，则图中四个图形中较符合该学生走法的是（）ABCD【分析】利用排除法解答，路程相对于时间一直在增加，故排除B，D，先跑后走，故先快后慢，从而得到【解答】解：由题意，路程相对于时间一直在增加，故排

10、除B，D，先跑后走，故先快后慢，故选：C【点评】本题考查了实际问题的数学表示，属于基础题6（5分）点P（2，3）到直线ax+y2a0的距离为d，则d的最大值为（）A3B4C5D7【分析】直线ax+y2a0即a（x2）+y0，令，解得直线经过定点Q则当PQl时，d取得最大值|PQ|【解答】解：直线ax+y2a0即a（x2）+y0，令，解得x2，y0可得直线经过定点Q（2，0）则当PQl时，d取得最大值|PQ|PQ|3故选：A【点评】本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原来图形的形

11、状是（）ABCD【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半由于y'轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以选出正确选项【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意故选：A【点评】（1）建立直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的

12、x轴和y轴，两轴相交于点O（2）画出斜坐标系：在画直观图的纸上（平面上）画出对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使x'O'y'45度（或135度），它们确定的平面表示水平平面（3）画对应图形：在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变； z轴也保持不变在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半（4）对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段（5）擦去辅助线：图画好后，要擦去x'轴，y'轴及为画图

13、添加的辅助线8（5分）设a0.20.3，b0.30.3，c0.30.2，则下列大小关系正确的是（）AcabBbacCabcDcba【分析】分别运用幂函数yx0.3在（0，+）递增；y0.3x在R上递减，即可得到所求大小关系【解答】解：a0.20.3，b0.30.3，c0.30.2，可得ab，bc，则abc故选：C【点评】本题考查幂函数和指数函数的单调性及运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题9（5分）设m和n是不重合的两条直线，和是不重合的两个平面，则下列判断中正确的个数为（）若mn，m则n；若mn，m，则n若m，n则mn；若m，m，则A1B2C3D4【分析】根据直线与平面垂直的判断方法得出

14、正确；根据直线与平面平行的判断方法得出错误；根据直线与平面垂直的定义得出正确；根据平面与平面垂直的判断定理得出正确【解答】解：对于，根据直线与平面垂直的判断方法知，mn，且m时，n，正确；对于，根据直线与平面平行的判断方法知，mn，且m时，n或n，错误；对于，根据直线与平面垂直的定义知，m，且n时，mn，正确；对于，根据平面与平面垂直的判断定理知，m，且m时，正确；综上，正确的命题是，共3个故选：C【点评】本题考查了空间直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定问题，是综合题10（5分）设A，B，C，D是球面上的四点，线段AB，AC，AD两两互相垂直，且AB5，AC4，AD，则该球的表面积为（）

15、A36B64C100D144【分析】以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，则该长方体的外接球即为此球，这个球的半径R，由此能求出该球的表面积【解答】解：设A，B，C，D是球面上的四点，线段AB，AC，AD两两互相垂直，且AB5，AC4，AD，以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，则该长方体的外接球即为此球，这个球的半径R4，该球的表面积为S4R241664故选：B【点评】本题考查球的表面积的求法，考查构造法、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5分）f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）f（a）f（b），且f（1）2，则（）A2017B2018C4034D

16、4036【分析】推导出2，由此能求出的值【解答】解：f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）f（a）f（b），且f（1）2，f（a+1）f（a）f（1）2f（a），2，210092018故选：B【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12（5分）下列判断中正确的个数为（）函数f（x）x2是偶函数；函数f（）的定义域为2，4，则函数f（lgx）的定义域为10，100；函数f（x）lg（x2+4x+5）的单调递减区间是2，5）已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是0mA1B2C3D4【分析】根据偶函数的定义判断函数f（x

17、）是定义域上的偶函数；根据函数f（）的定义域求出函数f（lgx）的定义域；由二次函数的图象与性质求出函数f（x）的定义域和单调减区间；根据二次根式以及指数函数的图象与性质求出m的取值范围【解答】解：对于，x（，0）（0，+）时，f（x）（x）2x2f（x），函数f（x）x2是定义域上的偶函数，正确；对于，函数f（）的定义域为2，4，x2，4，1，2f（x）的定义域为1，2，1lgx2，10x100，函数f（lgx）的定义域为10，100，正确；对于，由x2+4x+50，解得（1，5）；函数f（x）lg（x2+4x+5）的定义域是（1，5），单调递减区间是2，5），正确；对于，函数f（x）的定义

18、域为R，1，mx2+4mx+30，当m0时，30，满足题意，m0时，解得0m；综上，实数m的取值范围是0m，正确；综上，以上正确的命题是故选：D【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数的性质与应用问题，是综合题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数f（x）2+loga（x1）（a0且a1）的图象恒过点（2，2）【分析】由对数函数的图象恒过定点（1，0），可令x11，解方程即可得到所求定点【解答】解：可令x11，解得x2，则f（2）2+loga12+02，可得f（x）的图象恒过定点（2，2）故答案为：（2，2）【点评】本题考查对数函数的图象的特征，考查方程思

19、想和运算能力，属于基础题14（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为【分析】判断三视图的形状，然后求解体积【解答】解：由题意可知几何体是一个半径为1的半球，几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力15（5分）已知函数f（x）log2（x），g（x）x+1，则不等式f（x）g（x）的解集为（，1）【分析】由题意可得可得f（x）的图象位于函数g（x）的图象的上方，数形结合求得不等式f（x）g（x）的解集【解答】解：函数f（x）log2（x），g（x）x+1，由不等式f（x）g（x），可得f（x）的图象位于函数g（x）的图象的上方，如图

20、：故不等式的解集为（，1），故答案为：（，1）【点评】本题主要考查指数、对数不等式的解法，用图象法解指数、对数不等式，属于基础题16（5分）已知两点A（1，3），B（4，0），直线l：ax+y2a+10当直线l与线段AB相交时，试求直线l斜率的取值范围【分析】直线l：ax+y2a+10即a（x2）+y+10，令，解得直线l经过定点P利用斜率计算公式可得kPA，kPB根据斜率的意义可得当直线l与线段AB相交时，直线l斜率的取值范围【解答】解：直线l：ax+y2a+10即a（x2）+y+10，令，解得x2，y1直线l经过定点P（2，1）kPA4，kPB当直线l与线段AB相交时，直线l斜率的取值范围

21、是kl4，kl直线l斜率的取值范围是：故答案为：【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、直线经过定点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点求证：平面MNP平面A1BD【分析】连接B1C，B1D1，推导出MNB1C，从而四边形A1B1CD为平行四边形，进而A1DB1C，MNA1D，由此MN平面A1BD，同理可证PN平面A1BD，由此能证明平面MNP平面A1BD【解答】证明：如图，连接B1C，B1D1，在B1C1C中，M，N分

22、别为C1C，B1C1中点，则MNB1C，在正方体AC1中，A1B1CD且A1B1CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形所以A1DB1C，所以MNA1D（4分）又MN平面A1BD，A1D平面A1BD所以MN平面A1BD（6分）同理可证PN平面A1BD（8分）又因为MN平面MNP，PN平面MNP，且MNPNN，所以平面MNP平面A1BD（10分）【点评】本题考查面面平行的性质定理，考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属中档题18（12分）已知集合Ax|2x32，函数ylg（x24）的定义域为B（）求AB（）若Cx|xa1，

23、且AC，求实数a的取值范围【分析】（）运用指数不等式的解法和对数函数的定义域，化简集合A，B，由交集的定义，即可得到所求集合；（）运用集合的包含关系，可得a的不等式，解不等式，即可得到所求范围【解答】解：（）Ax|2x32x|1x5，Bx|x240x|x2或x2，则ABx|2x5；（）Cx|xa1，又AC，则a15，即a6【点评】本题考查集合的交集的求法和集合的包含关系，考查指数不等式的解法，以及函数的定义域的求法，考查运算能力，属于中档题19（12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格（单位：元）均为销售时间t（天）的函数，且销售量（单位：件）近似地满足f（t）2t+200（1t50

24、，tN），前30天价格（单位：元）为g（t）t+30（1t30，tN），后20天价格（单位：元）为g（t）40（31t50，tN）（）写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系；（）求日销售额S的最大值【分析】（）通过天数，直接写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系；（）利用分段函数结合一次函数以及二次函数的性质求解函数的最值即可【解答】解：（）根据题意，得S，（5分）（）当1t30，tN时，S（t20）2+6 400，当t20时，S有最大值，为6 400；（8分）当31t50，tN时，S80t+8 000为减函数，当t31时，S有最大值，为5520（11分）552

25、06 400，当销售时间为20天时，日销售额S有最大值，为6400元（12分）【点评】本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力20（12分）已知ABC的顶点A（5，2），B（7，3）且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上（）求顶点C的坐标；（）求直线MN的一般式方程【分析】（）设C（x，y），M（0，m），N（n，0）由于A（5，2），B（7，3）且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上根据中点坐标公式即可得出（II）由（I）利用中点坐标公式、截距式即可得出【解答】解：（）设C（x，y），M（0，m），N（n，0）因为A（5，2），B（7，3）且

26、边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上由已知可得，（4分）解得x5，y3，所以顶点C的坐标为（5，3）（6分）（）由（）可知，故，N（1，0）（9分）所以直线MN的方程为（11分）即5x2y50（12分）【点评】本题考查了中点坐标公式、截距式，考查推理能力与计算能力，属于基础题21（12分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要

27、证平面BDE平面PAC，可证BD平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BDAC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PADE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值【解答】解：（1）证明：由PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，可得PA平面ABC，由BD平面ABC，可得PABD；（2）证明：由ABBC，D为线段AC的中点，可得BDAC，由PA平面ABC，PA平面PAC，可得平面PAC平面ABC，又平面PAC平面A

28、BCAC，BD平面ABC，且BDAC，即有BD平面PAC，BD平面BDE，可得平面BDE平面PAC；（3）PA平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC平面BDEDE，可得PADE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DEPA1，由PA平面ABC，可得DE平面ABC，可得SBDCSABC221，则三棱锥EBCD的体积为DESBDC11【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题22（12分）已知函数f（

29、x）的定义域为R，且对任意的x，yR有f（x+y）f（x）+f（y）当 x0时，f（x）0，f（1）2（）求f（0），f（3）的值；（）判断f（x）的单调性并证明；（）若f（4xa）+f（6+2x+1）6对任意xR恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）令xy0，求解f（0）0通过f（3）f（2）+f（1）求解即可（）f（x）在R上是增函数，通过任取x1，x2R，且x1x2，则x2x10，且f（x2x1）0，证明f（x1）f（x2），得到结果；（）由f（4xa）+f（6+2x+1）6对任意 xR恒成立，得f（4xa+6+2x+1）f（3）恒成立利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可【解答】解：

30、（）令xy0，得f（0+0）f（0）+f（0），所以f（0）0由f（1）2，得f（2）f（1）+f（1）2+24，f（3）f（2）+f（1）4+26（2分）（）f（x）在R上是增函数，证明如下：任取x1，x2R，且x1x2，则x2x10，且f（x2x1）0，所以f（x2）f（x1）f（x2x1+x1）f（x1）f（x2x1）+f（x1）f（x1）f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），所以f（x）在R上是增函数（6分）（）由f（4xa）+f（6+2x+1）6对任意 xR恒成立，得f（4xa+6+2x+1）f（3）恒成立因为f（x）在R上是增函数，所以4xa+6+2x+13恒成立，即4x+22x+3a恒成立（8分）令g（x）4x+22x+3（2x+1）2+2，因为2x0，所以g（x）3（10分）故a3（12分）【点评】本题考查函数的恒成立体积的应用，抽象函数的应用，考查转化思想以及计算能力