2018-2019学年辽宁师大附中高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年辽宁师大附中高一（下）期末数学试卷一选择题（本题共12道小题每题5分共60分）1（5分）sin20cos10cos160sin10（）ABCD2（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q（）A3B4C5D63（5分）利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）2n13（2n1），nN*”时，从“nk”变到“nk+1”时，左边应增乘的因式是（）A2k+1BCD4（5分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗

2、的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A6 斤B9 斤C9.5斤D12 斤5（5分）若，则sincos（）ABCD或6（5分）在ABC中，A60，则ABC解的情况（）A无解B有唯一解C有两解D不能确定7（5分）在边长为1的等边ABC中，设（）AB0CD38（5分）已知锐角满足sin（+），则cos（+）的值为（）ABCD9（5分）在数列an中，a28，a52，且2an+1an+2an（nN*），则|a1|+|a2|+|a10|的值是（）A10B10C50D7010（5分）在A

3、BC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形11（5分）已知sin，sin（），均为锐角，则角等于（）ABCD12（5分）已知函数f（x）sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）二填空题（每题5分共20分）13（5分）已知cos4sin4，（0，），则cos（2+）   14（5分）已知点A（0，1），B（2，3），C（1，2），D（1，5）

4、，则向量在方向上的投影为   15（5分）设数列an 中，an+1+（1）nan2n1，则数列an前12项和等于   16（5分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，b+c6，则ABC面积为   三解答题17（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC2a+c（1）求B；（2）若b2，a+c，求ABC的面积18（12分）已知，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求ABC的面积19（12分）已知向量，（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求在上的值域20（12分）已知数列数列an的前n项和且Sn，an

5、0，a11，且2anan+14Sn3（nN+）（1）求a2的值，并证明：an+2an2；（2）求数列an的通项公式21（12分）已知在正项等比数列an中，a1与a3分别是方程x25x+40的两根（1）求数列an的通项公式（2）若数列bn是递增数列，其前n项和为Sn，且bnlog2an+1，求数列的前n项和Tn22（12分）在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（nN*）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；（）求an，bn的通项公式；（）证明：2018-2019学年辽宁师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题

6、（本题共12道小题每题5分共60分）1（5分）sin20cos10cos160sin10（）ABCD【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos160sin10sin20cos10+cos20sin10sin30故选：D【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查2（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q（）A3B4C5D6【分析】3S3a42，3S2a32，两式相减得3a3a4a3，由此能求出公比q4【解答】解：Sn为等比数列an的前n项和，3S3a42，3S2a32，两式相减得

7、3a3a4a3，a44a3，公比q4故选：B【点评】本题考查公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用3（5分）利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）2n13（2n1），nN*”时，从“nk”变到“nk+1”时，左边应增乘的因式是（）A2k+1BCD【分析】根据已知等式，分别考虑nk、nk+1时的左边因式，比较增加与减少的项，从而得解【解答】解：由题意，nk 时，左边为（k+1）（k+2）（k+k）；nk+1时，左边为（k+2）（k+3）（k+1+k+1）； 从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选：C【点评】本题以等式为载体，

8、考查数学归纳法，考查从“nk”变到“nk+1”时，左边变化的项，属于中档题4（5分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A6 斤B9 斤C9.5斤D12 斤【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a14，则a52，由此利用等差数列性质能求出结果【解答】解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，

9、设首项a14，则a52，由等差数列性质得a2+a4a1+a56，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤故选：A【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5（5分）若，则sincos（）ABCD或【分析】利用诱导公式可求得tan2，再将所求关系式的分母化“1”，转化为正切的关系式，即可求得答案【解答】解：sin（）sin，2sin（+）2cos，sin2cos，tan2sincos故选：C【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的运用，考查运用诱导公式化简求值，是基本知识的考查6（5分）在ABC中，A60，则ABC解的情况（）A无解B有唯一

10、解C有两解D不能确定【分析】根据正弦定理，结合题中数据解出sinB，再由B+C180A120，得出B120，所以B30，从而C90由此可得满足条件的ABC有且只有一个【解答】解：ABC中，A60，a，b，根据正弦定理，得sinB，A60，得B+C120由sinB，得B30，从而得到C90因此，满足条件的ABC有且只有一个故选：B【点评】本题给出三角形ABC的两条边的一个角，求满足条件的三角形个数着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题7（5分）在边长为1的等边ABC中，设（）AB0CD3【分析】直接应用数量积进行计算即可得到答案【解答】解：在边长为1的等边ABC中，1，则+故选：A【点

11、评】本题考查平面向量数量积的运算，注意向量的夹角，是基础题8（5分）已知锐角满足sin（+），则cos（+）的值为（）ABCD【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值【解答】解：sin（+），sin（+）21cos（+），则cos（+），0，+，sin（+）0，sin（+）cos（+）cos（+）sin（+），故选：C【点评】本题考查了三角函数的化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力9（5分）在数列an中，a28，a52，且2an+1an+2an（nN*），则|a1|+|a2|+|a10|的值是（）A10B10C50D70【分析】根据题意，分析可得数列an是等差数

12、列，设an的公差为d，由a28，a52计算可得d的值，进而可得an的通项公式，分析an各项的符号，分析可得|a1|+|a2|+|a10|a1+a2+a6+（a7）+（a8）+（a9）+（a10），由an的通项公式计算可得答案【解答】解：根据题意，数列an中，2an+1an+2an（nN*），则有2an+1an+2+an，则数列an是等差数列，设an的公差为d，若a28，a52，则d2，则an的通项公式an2n+12，分析可得：当n6时，an0，当n6时，an0，|a1|+|a2|+|a10|a1+a2+a6+（a7）+（a8）+（a9）+（a10）14+12+10+0+2+4+6+850；故选

13、：C【点评】本题考查数列的求和，关键是分析得到数列an为等差数列并求出其通项公式10（5分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】利用余弦定理代入a2bcosC，推出三角形的边的关系判断即可【解答】解：在ABC中，cosC，a2bcosC2b，a2a2+b2c2，bc，此三角形一定是等腰三角形故选：C【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理的应用，属于中档题11（5分）已知sin，sin（），均为锐角，则角等于（）ABCD【分析】利用两角和差的正弦公式将+（）进行

14、转化求解即可【解答】解：+，均为锐角，0，0，0，则，sin（）0，0，则cos（），sin，cos，则sinsin（+）sincos（）+cossin（）+（），则，故选：C【点评】本题主要考查三角函数角的求解，利用两角和差的正弦公式进行转化是解决本题的关键12（5分）已知函数f（x）sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）【分析】由题意求得的值，利用正弦函数的性质，求得f（x）的单调递增区间【解答】解：若f（x）|f（）|对xR恒成立，则f（）为函数

15、的函数的最大值或最小值，即2+k+，kZ，则k+，kZ，又f（）f（），sin（+）sinsin（2+）sin，sin0令k1，此时，满足条件sin0，令2x2k，2k+，kZ，解得：xk+，k+（kZ）则f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）故选：C【点评】本题考查的知识点是函数yAsin（x+）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题二填空题（每题5分共20分）13（5分）已知cos4sin4，（0，），则cos（2+）【分析】已知等式左边利用平方差公式及同角三角函数间基本关系化简，再利用二倍角的余弦函数公式变形求出cos2的值，进而求出sin2的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化

16、简，把各自的值代入计算即可求出值【解答】解：cos4sin4（cos2sin2）（cos2+sin2）cos2sin2cos20，（0，），2（0，），sin2，则原式cos2sin2故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键14（5分）已知点A（0，1），B（2，3），C（1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为【分析】根据点的坐标可求出向量的坐标，而根据投影的计算公式及向量夹角的余弦公式即可得出投影为：，从而根据坐标即可求出该投影的值【解答】解：；在方向上的投影为：故答案为：【点评】考查根据点的

17、坐标求向量坐标的方法，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，以及向量数量积的坐标运算，根据向量坐标可求向量长度15（5分）设数列an 中，an+1+（1）nan2n1，则数列an前12项和等于78【分析】由题意依次求出：a2a11，a3+a23，a12a1121，变形可得 a3+a12，a4+a28，a12+a1040，利用数列的结构特征，求出an的前12项和【解答】解：an+1+（1）nan2n1，a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a8a713，a9+a815，a10a917，a11+a1019，a12a1121，从第一项开始，相邻的

18、两个式子作差得：a1+a3a5+a7a9+a112，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a28，a6+a824，a12+a1040，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列以上式子相加可得，S12a1+a2+a12（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）32+8+24+4078故答案为：78【点评】本题主要考查了利用列举法求数列的和（通项公式难求，项数较少），等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题16（5分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，

19、b，c，若，且，b+c6，则ABC面积为【分析】由题意首先求得角A的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果【解答】解：由题意可得：，利用余弦定理有：，结合 可得：bc8，则ABC的面积：故答案为：【点评】本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题三解答题17（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC2a+c（1）求B；（2）若b2，a+c，求ABC的面积【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，将sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC代入求出cosB的值，即可确定出

20、B的度数；（2）由余弦定理解得ac的值，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：2sinBcosC2sinA+sinC，sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，2sinBcosC2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，即sinC（2cosB+1）0，0B，sinC0，cosB，B（2）由余弦定理可得：b2a2+c22accosB，可得：b2（a+c）22ac2accosB，b2，a+c，22（）22ac2accos，即ac1，SABCacsinB【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式在解三

21、角形中的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题18（12分）已知，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求ABC的面积【分析】（1）根据两个向量的数量积的值，把这两个向量展开写出有关向量的模长和数量积的表示式，得到两个向量的数量积，代入求夹角的公式得到夹角的余弦值，求出夹角（2）利用模长公式做出求模长，这是一个公式的应用（3）做出两个向量的夹角，做出三角形的内角，用正弦定理写出三角形的面积的表示形式，代入模长和夹角得到结果【解答】解：（1），4|243|261，又|4，|3，6442761，6，又0，（2）（3）与的夹角，又，【点评】本题考查向量的夹角模长和正弦定理的应用，本题解题

22、的关键是对于所给的表示式的整理，得到要用的数量积19（12分）已知向量，（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求在上的值域【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2xsin2x即可（2）先表示出在（sin2x+），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值【解答】解：（1），（3分）（6分）（2），（8分），（10分），（12分）函数f（x）的值域为（13分）【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题是高考的热点问题20（12分）已知数列数列an的前n项和且Sn，an0，a11，且2a

23、nan+14Sn3（nN+）（1）求a2的值，并证明：an+2an2；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）在2anan+14Sn3中，令n1求得，再由2anan+14Sn3，得2an+1an+24Sn+13，两式相减得an+2an2；（2）由（1）可知，数列a1，a3，a5，a2k1，为等差数列，公差为2，首项为1，数列a2，a4，a6，a2k，为等差数列，公差为2，首项为，由此分类求数列的通项公式【解答】解：（1）在2anan+14Sn3中，令n1，得2a1a24S13，a11，又由2anan+14Sn3，得2an+1an+24Sn+13，两式相减得2an+1（an+2an）4an+1，

24、an0，an+2an2；（2）由（1）可知，数列a1，a3，a5，a2k1，为等差数列，公差为2，首项为1，当n为奇数时，a2k11+2（k1）2k1，数列a2，a4，a6，a2k，为等差数列，公差为2，首项为，当n为偶数时，综上所述，【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了隔项成等差数列的数列通项公式的求法，是中档题21（12分）已知在正项等比数列an中，a1与a3分别是方程x25x+40的两根（1）求数列an的通项公式（2）若数列bn是递增数列，其前n项和为Sn，且bnlog2an+1，求数列的前n项和Tn【分析】（1）由已知解方程得出a1与a3，设出公比q，解出a1和q，

25、继而写出通项；（2）根据所给关系式结合（1）所求，算出bn，再求和sn，最终算出【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，依题意得或若，因为an0，则q2所以若，因为an0，则q，所以（2）因为数列bn是递增数列，+1，所以由（1）知，n1+1n，所以bn是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以2（1）【点评】此题考差了等比数列和方程的根的知识吗，涉及了对数内容，属于中档题22（12分）在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（nN*）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；（）求an，bn的通项公式；（）证明：【分

26、析】（）由条件得，代入计算，可得a2，a3，a4及b2，b3，b4；（）先猜想an，bn的通项公式，再用数学归纳法证明；（）利用放缩法，再利用裂项法求和，即可证得结论【解答】（）解：由条件得由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425（4分）（）解：猜测                           （5分）用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk时，结论成立，即 ，那么当nk+1时，所以当nk+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立（9分）（）证明：n2时，由（）知an+bn（n+1）（2n+1）2（n+1）n（11分）故（14分）【点评】本题考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用放缩法是关键