2018-2019学年辽宁省大连市旅顺口区高一（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年辽宁省大连市旅顺口区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）已知集合Ax|3x1，B1，0，1，则AB（）A2，1，0，1B2，1，0C1，0，1D1，02（5分）下列函数，既有偶函数，又是（0，+）上的减函数的是（）AByexCyx2+1Dylg|x|3（5分）下列四个命题中，其中为真命题的是（）AxR，x2+30BxN，x21CxZ，使x51DxQ，x234（5分）已知集合MxR|ax2+2x10，若M中只有一个元素，则a的值是（）A1B0或1C1D0或15（5分）下列四组

2、函数中，表示同一函数的是（）Af（x），g（x）xBf（x），g（x）x+1Cf（x）|x|，g（x）Df（x），g（x）16（5分）已知函数f（x）的定义域为1，1，y的定义域为（）A1，0）（0，1B1，0）（0，3C（0，3D1，0）7（5分）已知f（2x+1）4x2，则f（3）（）A36B16C4D168（5分）已知函数，在下列区间中，函数f（x）存在零点的是（）A（3，6）B（1，2）C（2，4）D（4，+）9（5分）下列叙述中正确的是（）A若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命题“对任意xR，

3、有x20”的否定是“存在xR，有x20”D若p：x3，q：1x3，则p是q成立的必要不充分条件10（5分）已知函数f（x），则f（f（1）+f（log3）的值是（）A7B2C5D311（5分）函数的图象大致为（）ABCD12（5分）若对于任意x（，1，都有（3m1）2x1成立，则m的范围是（）ABC（，1）D（，1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）不等式的解集是 14（5分）已知全集U0，1，2，3，4，5，AU，BU，（UA）B0，4，（UA）（UB）3，5，则用列举法表示集合A 15（5分）已知函数yax2+2（a0且a1）恒过定点（m，

4、n），则m+n 16（5分）数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x1对称；丁：f（0）不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确 那么，你认为 说的是错误的三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算下列各式的值：log52518（12分）设全集UR，集合（1）求AB，（UA）B；（2）若集合Cx|2x+a0，且BCC，求a的取值范围19（12分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0

5、；命题q：实数x满足x25x+60（1）若a1，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围20（12分）如图所示，定义域为（，2上的函数yf（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成利用该图提供的信息解决下面几个问题（1）求f（x）的解析式；（2）若x关于的方程f（x）a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若，求x的取值集合21（12分）国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元（）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；（）把一颗钻石切割成两颗钻石，若

6、两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试求：当为何值时，价值损失的百分率最大（注：价值损失的百分率原有价值现有价值原有价值100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）22（12分）已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）f（y）x（x+2y+1）成立，且f（1）0（1）求f（0）的值（2）求f（x）的解析式（3）已知aR，设P：当时，不等式f（x）+32x+a恒成立；Q：当x2，2时，g（x）f（x）ax是单调函数如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求ARB（R为全集）2018-2019学年辽宁省大连市旅顺口区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（

7、本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）已知集合Ax|3x1，B1，0，1，则AB（）A2，1，0，1B2，1，0C1，0，1D1，0【分析】根据交集的定义计算即可【解答】解：集合Ax|3x1，B1，0，1，则AB1，0故选：D【点评】本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题2（5分）下列函数，既有偶函数，又是（0，+）上的减函数的是（）AByexCyx2+1Dylg|x|【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B、yex（）x，为指数函数，不

8、是偶函数，不符合题意；对于C、yx2+1为二次函数，其对称轴为y轴且开口向下，则其既是偶函数，又是（0，+）上的减函数，符合题意；对于D、ylg|x|，有f（x）lg|x|lg|x|，是偶函数，在（0，+）上，ylgx为增函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性3（5分）下列四个命题中，其中为真命题的是（）AxR，x2+30BxN，x21CxZ，使x51DxQ，x23【分析】借助x20这个结论判断A和B，再由数学常识判断C和D【解答】解：由于xR都有x20，因而有x2+33，所以命题“xR，x2+30”为假命题；由于0N，当x0时

9、，x21不成立，所以命题“xN，x21”是假命题；由于1Z，当x1时，x51，所以命题“xZ，使x51”为真命题；由于使x23成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“xQ，x23”为假命题，故选C故选：C【点评】本题考查四种命题真假的判断，解题时要合理运用x20这个结论4（5分）已知集合MxR|ax2+2x10，若M中只有一个元素，则a的值是（）A1B0或1C1D0或1【分析】集合M只含有一个元素，说明方程ax2+2x10只有一个解a0时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；a0时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式4+4a0，所以解

10、出a即可，这样a的值就都求出来了【解答】解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程ax2+2x10只有一个解；（1）当a0时，方程化为2x10，只有一个解；（2）当a0时，若ax2+2x10只有一个解，只需4+4a0，即a1；综上所述，可知a的值为a0或a1故选：B【点评】考查描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件5（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x），g（x）xBf（x），g（x）x+1Cf（x）|x|，g（x）Df（x），g（x）1【分析】当两个函数定义域相同，且对应法则一致时，这两个函数是同一函数【解答】解：在A中，f（x）的定义域是（0，+），g（x）x的定

11、义域是R，f（x），g（x）x不是同一函数，故A错误；在B中，f（x）的定义域是x1，g（x）x+1的定义域是R，f（x），g（x）x+1不是同一函数，故B错误；在C中，f（x）|x|的定义域是R，g（x）|x|，定义域是R，f（x）|x|，g（x）是同一函数，故C正确；在D中，f（x）定义域是x|x1，g（x）1的定义域是R，f（x），g（x）1不是同一函数故选：C【点评】本题考查同一函数的判断，考查同一函数的定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）已知函数f（x）的定义域为1，1，y的定义域为（）A1，0）（0，1B1，0）（0，3C（0，3D1，0）【分析】根据f（

12、x）的定义域即可得出，要使得有意义，则需满足，解出x的范围即可得出要求的定义域【解答】解：f（x）的定义域为1，1；要使有意义，则；1x0；函数的定义域为1，0）故选：D【点评】考查函数的定义域的概念及求法，以及由f（x）的定义域求fg（x）定义域的方法7（5分）已知f（2x+1）4x2，则f（3）（）A36B16C4D16【分析】设2x+1t，则x，从而f（t）（t1）2，由此能求出f（3）【解答】解：f（2x+1）4x2，设2x+1t，则x，f（t）4（）2（t1）2，f（3）（31）216故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用8（5分）已

13、知函数，在下列区间中，函数f（x）存在零点的是（）A（3，6）B（1，2）C（2，4）D（4，+）【分析】利用函数零点的判定定理，通过函数值的符号，判断零点实在区间即可【解答】解：函数，在x0上是连续减函数函数，函数f（x）至多有一个零点f（1）6240，f（2）3410，f（1）f（2）0，由函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，也是唯一的一个零点故选：B【点评】本题考查零点判定定理的应用，正确理解函数零点的判定定理是解题的关键9（5分）下列叙述中正确的是（）A若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的

14、充要条件是“ac”C命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”D若p：x3，q：1x3，则p是q成立的必要不充分条件【分析】根据充要条件的定义，可判断（1）（2），写出命题的否定，可判断（3）；根据集合与充要条件的关系，可判断（4）【解答】解：（1）若a，b，cR，“ax2+bx+c0”ab0时，c0，或a0，b24ac0，则“b24ac0”是“ax2+bx+c0”的既不充分也不必要条件，故错误；（2）若a，b，cR，则“ab2cb2”的必要条件是“ac”，故错误；（3）命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”，故错误；（4）（1，3）（，3），p是q成立的必

15、要不充分条件，故正确故选：D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，充要条件的定义，命题的否定，难度中档10（5分）已知函数f（x），则f（f（1）+f（log3）的值是（）A7B2C5D3【分析】根据已知函数解析式，先求f（0），然后求出f（f（0），再求出f（）即可求解【解答】解：由题意可得，f（1）log210，f（f（1）f（0）90+12f（）+1+157故选：A【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是明确不同x所对应的函数解析式11（5分）函数的图象大致为（）ABCD【分析】构造函数h（x），g（x）2x，通过函数的图象性质，判断函数的图象【解答】解：设函

16、数h（x）是奇函数，g（x）2x，为非奇非偶函数，所以函数为非奇非偶函数，所以图象不关于原点对称，所以排除A，C当x0时，h（x）1，所以此时f（x）2x，为递增的指数函数，所以排除D，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别，函数的图象识别一般是通过函数的性质来确定的，要充分利用好函数自身的性质，如定义域，单调性和奇偶性以及特殊点的特殊值来进行判断12（5分）若对于任意x（，1，都有（3m1）2x1成立，则m的范围是（）ABC（，1）D（，1【分析】由已知x的范围求得2x的范围，进一步得到的范围，把不等式（3m1）2x1恒成立分离参数m，则答案可求【解答】解：x（，1，2x（0，不等式（3

17、m1）2x1恒成立，即3m1恒成立，由2x（0，得2，+）3m12，即m1实数m的取值范围是（，1）故选：C【点评】本题考查恒成立问题，考查了数学转化思想方法，是中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）不等式的解集是x|x或x2【分析】通分，解不等式，求出不等式的解集即可【解答】解：，0，0，x或x2，故不等式的解集是x|x或x2，故答案为：x|x或x2【点评】本题考查了不等式的解法，考查转化思想，是一道常规题14（5分）已知全集U0，1，2，3，4，5，AU，BU，（UA）B0，4，（UA）（UB）3，5，则用列举法表示集合A1，2【分析】

18、将集合uA的元素分成两类：一类是属于B的，另一类是不属于B的，由此算出uA0，3，4，5，再由补集的性质即可得到集合A的元素，得到本题答案【解答】解：（uA）B0，4，（uA）（uB）3，5，将集合uA的元素分成两类：一类是属于B的，另一类是不属于B的可得uA（uA）B（uA）（uB）uA0，43，50，3，4，5，全集U0，1，2，3，4，5，Au（uA）1，2故答案为：1，2【点评】本题给出全集和集合A、B，求集合A含有的元素，着重考查了集合的定义及其运算性质等知识，属于基础题15（5分）已知函数yax2+2（a0且a1）恒过定点（m，n），则m+n5【分析】令指数函数的幂指数等于零，求出

19、x，y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标，从而得出结论【解答】解：对于函数yax2+2（a0且a1），令x20，求得x2，y3，可得它的图象恒过定点（2，3）再根据它的图象恒过定点（m，n），则m+n2+35，故答案为：5【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，函数的图象经过定点问题，属于基础题16（5分）数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x1对称；丁：f（0）不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确 那么，你认为乙说的是错误的【分

20、析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想【解答】解；如果甲、乙两个同学回答正确，在0，+）上函数单调递增；丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x1对称”错误，此时f（0）是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误故答案为乙【点评】解决本题的关键是能根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，在解答的过程中应用了反证法的思想，属基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算下列各式的值：log525【分析】利用对

21、数的性质、运算法则直接求解【解答】解：log52522+3【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）设全集UR，集合（1）求AB，（UA）B；（2）若集合Cx|2x+a0，且BCC，求a的取值范围【分析】（1）先求出Bx|x3，由此能求出AB和（UA）B（2）求出，由BCC，得BC，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）全集UR，集合由得3x782x，x3，从而Bx|x3，ABx|2x4x|x3x|x2，（UA）Bx|x2x4x|x3x|x4（2）集合Cx|2x+a0，化简得，BCC，BC从而，解得a6a的取值范围是（6，+）

22、【点评】本题考查并集、补集、交集、实数的取值范围的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x25x+60（1）若a1，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，根据p真且q真，即可得出；（2）若p是q的必要不充分条件，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0（x3a）（xa）0，a0为，所以ax

23、3a；当a1时，p：1x3；命题q：实数x满足x25x+602x3；若pq为真，则p真且q真，2x3；故x的取值范围是2，3）（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；（a，3a）2，3，1a2实数a的取值范围是1，2【点评】考查解一元二次不等式，pq的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念属于基础题20（12分）如图所示，定义域为（，2上的函数yf（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成利用该图提供的信息解决下面几个问题（1）求f（x）的解析式；（2）若x关于的方程f（x）a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若，求x的取值集合【分析】（1）利

24、用待定系数法分段求出解析式；（2）求出f（），结合函数图象得出a的范围；（3）讨论x的范围，列方程解出x的值【解答】解：（1）由图知当x0时，f（x）为一次函数，且过点（0，2）和（2，0）设f（x）kx+m（k0），则，解得，f（x）x+2当x（0，2时，f（x）是二次函数，且过点（1，0），（2，0），（0，3）设f（x）ax2+bx+c（a0），则，解得，f（x）x2x+3综上，（2）当0x2时，f（x）的最小值为f（），当a0时，f（x）a有三解（3）当x0时，令x+2，解得x当0x2时，令，解得或（舍去）综上所述，x的取值集合是【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，方程解与函数图

25、象的关系，属于中档题21（12分）国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元（）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；（）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试求：当为何值时，价值损失的百分率最大（注：价值损失的百分率原有价值现有价值原有价值100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）【分析】（）设价值与重量的关系式为：ykx2，代入求解即可（）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000（m+n）2，现有价值是6 000m2+6 000n2，价值损失的百分率，价值

26、损失的百分率；转化求解即可【解答】解：（1）由题意可设价值与重量的关系式为：ykx2，3克拉的价值是54000美元，54 000k32，解得：k6 000，y6 000x2，答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y6 000x2（2）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000（m+n）2，现有价值是6 000m2+6 000n2，价值损失的百分率100%；价值损失的百分率100%100%，当且仅当mn时取等号当1时，价值损失的百分率最大【点评】本题考查了正比例函数模型的应用，和基本不等式变形为（ ）2ab（其中a0，b0）的应用，是中档题22（12分）已知：函数f（x）对一切实数x，y

27、都有f（x+y）f（y）x（x+2y+1）成立，且f（1）0（1）求f（0）的值（2）求f（x）的解析式（3）已知aR，设P：当时，不等式f（x）+32x+a恒成立；Q：当x2，2时，g（x）f（x）ax是单调函数如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求ARB（R为全集）【分析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x1，y1求出f（0）；（2）在（1）基础上赋值y0可以实现求解f（x）的解析式的问题；（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题

28、求出集合A，利用二次函数的单调性求解策略求出集合B【解答】解：（1）令x1，y1，则由已知f（0）f（1）1（1+2+1）f（0）2（2）令y0，则f（x）f（0）x（x+1）又f（0）2f（x）x2+x2（3）不等式f（x）+32x+a即x2+x2+32x+a也就是x2x+1a由于当时，又x2x+1恒成立，故Aa|a1，g（x）x2+x2axx2+（1a）x2 对称轴x，又g（x）在2，2上是单调函数，故有，Ba|a3，或a5，RBa|3a5ARBa|1a5【点评】本题考查抽象函数解析式的求解，考查赋值法求函数值、函数解析式的思想，考查恒成立问题的解决方法、考查二次函数单调性的影响因素，考查学生的转化与化归能力，属于中档题