高中数学专题04 三视图（含答案解析）

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1、高中数学专题04 三视图【母题来源一】【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A158B162C182D324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常

2、规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.【母题来源二】【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A2B4C6D8【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为，故选C.【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.【母题来源三】【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体

3、积（单位：cm3）是ABC D【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以几何体的体积为，故选A【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整【命题意图】能够识别三视图所表示的空间几

4、何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，进而求出该几何体的表面积或体积【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，多为低档题，常见的命题角度：根据几何体的三视图，求该几何体的表面积或体积，熟练掌握三视图还原为直观图的方法（应牢记：长对正，宽相等，高平齐）及空间几何体的表面积与体积公式是关键【答题模板】三视图问题的常见类型及解题策略：（1）由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图（2）由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示（3

5、）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.（4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积【方法总结】1线条的规则（1）能看见的轮廓线用实线表示；（2）不能看见的轮廓线用虚线表示.2常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰

6、三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆3空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴相交于点O，且使xOy=45(或135)，它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤在已知图形所在的空间中

7、取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使xOz=90，且yOz=90.画直观图时，把它们画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy=45(或135)，xOz=90，xOy所确定的平面表示水平平面.已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系原图形与直观图的面积比为，即原图面

8、积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.4旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r，r，母线长为l）侧面展开图底面面积 侧面面积 表面积 5多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：6球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.7球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的

9、球的半径是（2）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体的外接球半径是（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高8柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体(S为底面面积，h为高)，(r为底面半径，h为高)锥体(S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高)台体(S、S分别为上、下底面面积，h为高)，(r、r分别为上、下底面半径，h为高)9柱体、锥体、台体体积公式间的关系10必记结论（1）一个组合

10、体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.1【2018年11月浙江省学考】某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为A18B63C33D23【答案】C【解析】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3，所以几何体的体积为34223=33，故选C2【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积ABCD【答案】D【分析】根据三视图判断出几何体为两个半圆柱构成，进而计算出表面积即可【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表

11、面积为，故选D3【浙北四校2019届高三12月模拟考】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A8B8C16D16【答案】B【分析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可【解析】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为12224=8故选B【名师点睛】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键4【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A1：3B1：4C1：5D1：6【答案

12、】A【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解析】如图，由题意可知，几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为1：3故选A5【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是ABCD【答案】D【分析】首先把三视图转换为几何体，求出三棱锥外接球的半径，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果【解析】根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：所以该几何体的球心为，半径，该三棱锥外接球表面积是，故选D6【浙江

13、省镇海中学2019届高三上学期期中考试】某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A8-3B163C8-6D203【答案】D【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案【解析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示，所以该几何体的体积为2313221=203故选D【名师点睛】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽

14、相等”7【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考七】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【答案】C【分析】先还原几何体，再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可【解析】由三视图还原原几何体如图所示，该几何体为圆柱挖去两个圆锥，圆柱的底面半径为2，高是4，圆锥的底面半径为2，高分别为1和3，则该几何体的体积故选C8【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考六】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【答案】C【分析】通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆

15、锥形成的组合体，故所求体积，故选C9【浙江省杭州第十四中学2019届高三8月月考】如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是ABCD【答案】C【分析】该几何体是三棱锥，利用图中数据，即可求解几何体的表面积【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，如图所示，AB2，BC3，DB5，CD4，因为AB平面BCD，BCCD，所以，CD平面ABC，所以几何体的表面积是2故选C【名师点睛】本题考查了三棱锥的三视图的运用，解题的关键是确定几何体的形状，属于中档题10【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是ABCD【答案】A

16、【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成，：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积【解析】设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为，故选A11【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试二】据中国古代数学名著九章算术中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸若取圆周率，则图中的值为A1.5B2C3D3.1【答案】C【分析】由三视图可知：该几何体是由一圆柱和长方体组而成，根据体积，可以求出图中的值【解析】由三视图可知：该几何体是由一圆柱和长方体组而成，由题意可知：

17、故选C【名师点睛】本题考查了由三视图还原立体几何图形能力，体积运算能力考查了空间想象能力和运算能力12【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【答案】D【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案【解析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为，故组合体的体积，故选D【名师点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键

18、，属于中档题13【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【答案】B【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果【解析】由题意可知，该几何体的直观图如图所示，即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体，则三棱柱体积；三棱锥体积，所求体积，故选B14【宁夏银川一中2019届高三年级第二次模拟】一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为ABCD【答案】C【分析

19、】先结合四棱锥的三视图想象出直观图，找到该四棱锥外接球的球心和半径，然后计算表面积即可【解析】因为正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，所以底面正方形的对角线为2，由主视图和侧视图知四棱锥的高即顶点到底面距离也为1，所以底面正方形对角线的交点到各顶点距离相等且都为1，所以该四棱锥的外接球球心即为底面中心，半径为1，所以，故选C15【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A240B220C200D260【答案】A【分析】根据三视图可以画出该几何体的直观图，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧面是矩形，计算侧

20、面与底面面积，可得四棱柱的表面积【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2下底为8，高为4，腰为5，所以表面积故选A【名师点睛】本题考查空间三视图的还原，几何体的面积计算，利用“长对正，宽相等，高平齐，”确定立体图中的元素位置关系和数量关系，考查空间想象能力，推理能力，属于基础题16【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A73B83C8-3D7-3【答案】C【解析】根据三视图可知，几何体是四棱锥右侧内部挖去一个半圆锥，圆锥的底面半径为1，高为2，棱锥的

21、底面是边长为2的正方形，棱锥的高也为2，则该几何体的体积为13222-1213122=8-3，故选C【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状17【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】某三棱锥是由一个正方体被四个平面截去四部分得到的，其

22、三视图都是边长为2的正方形，如图，则该三棱锥的表面积为ABCD【答案】B【分析】由三视图得到三棱锥的形状，然后根据三棱锥的特点可求出其表面积【解析】由三视图可得，该三棱锥是从正方体中截取四个相同的三棱锥得到的，即如图中的三棱锥由题意得，该三棱锥的所有棱长为，所以该三棱锥的表面积为故选B【名师点睛】在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑18【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】若某几何体的三

23、视图如图所示，则该几何体的表面积为A264B270C274D282【答案】A【分析】本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，所以表面积，故选A【名师点睛】本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题19【甘肃省2019届高三第二次高考诊断】南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几

24、何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示现用一与下底面平行且与下底面距离为的平面去截该几何体，则截面面积是ABCD【答案】D【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积【解析】由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，大圆半径为2，设小圆半径为，则，得到，所以截面圆环的面积为故选D【名师点睛】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积20【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_，表面积为

25、_【答案】【分析】由三视图先得到该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，棱锥的高为1，再由棱锥的表面积公式和体积公式即可求解【解析】由三视图可知该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，棱锥的高为1，所以底面直角边的边长为，所以该三棱锥的体积为；表面积为【名师点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积与表面积，先由三视图确定几何体的形状，再由表面积和体积公式即可求解，属于基础题型21【浙江省三校2019年5月份第二次联考】若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体最长的棱长是_，体积等于_【答案】【分析】由三视图得出该几何体的直观图，进而可求最长棱长和体积【解析】由三视图

26、可得该几何体是截长方体得到的四棱锥，其中，最长的棱长是，体积【名师点睛】本题考查由几何体的三视图求棱长和体积，借助长方体得出多面体的直观图是一种常见方法22【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）等于_，表面积（单位：cm2）等于_【答案】【分析】首先把三视图转换为几何体，再利用几何体的体积公式与表面积公式求出结果【解析】根据几何体的三视图，得该几何体为以等腰梯形ABCD与等腰梯形为底面，高为1的直四棱柱，如图：由柱体体积公式得V又等腰梯形ABCD与等腰梯形全等，面积和为，矩形DC的面积为21=2，矩形的面积为41

27、=4，矩形与矩形DA的面积相等，又由正视图可得BC=，所以矩形与矩形DA的面积和为2=2，所以表面积为6+2+4+2=12+2【名师点睛】本题考查了由三视图还原几何体，考查了直棱柱的体积公式及表面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】某四棱锥的三视图如图，则该几何体的表面积是_cm2；体积是_cm3【答案】3612【分析】画出直观图，利用三视图的数据，求解四棱锥的表面积与体积【解析】几何体的直观图如图：底面是正方形，边长为3；棱锥的高为4，一条侧棱垂直底面四棱锥的表面积为33+21234+12352=36，体

28、积为13334=12【名师点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积与体积，判断几何体的形状的解题的关键24【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）等于_；表面积（单位：）等于_【答案】【解析】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥，顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面，因此几何体的体积为，表面积为【名师点睛】本题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与基本求解能力，属基础题25【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图如图所示，则这个棱柱的

29、体积为_，此棱柱的外接球的表面积为_【答案】【分析】计算出棱柱的底面积，利用柱体体积公式可得出柱体的体积，利用正弦定理求出底面的外接圆直径2r，再利用公式可计算出外接球的半径R，再利用球体表面积公式可得出外接球的表面积【解析】由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正方形，底面积为，该三棱柱的高，所以该三棱柱的体积为由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为，则其外接球的直径为，则，因此，此棱柱的外接球的表面积为26【浙江省2018年12月重点中学高三期末热身联考】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_；表面积是_【答案】【分析】由三视图可得该几何体是四棱锥，根据三

30、视图中数据，求出底面积与高可得棱锥的体积，再求出四个侧面的面积，与底面积求和可得四棱锥的表面积【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥，图中直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为4，四棱锥的底面是矩形，面积为，四个侧面中，三个直角三角形面积分别为一个等腰三角形，面积为，所以该四棱锥的体积为，表面积为【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查体积、表面积以及空间想象能力和抽象思维能力，属于难题三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线

31、以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状27【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为_，其体积为_【答案】【分析】根据三视图得到相应的几何体后可计算棱长之和和体积【解析】三视图对应的几何体如图所示，该几何体是正方体中挖掉如图所示的棱台，各棱长之和为，其体积为28【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为_，表面积为_【答案】【分析】还原三视图，其几何体为圆锥的一半，且底面向上放置，然后求出几何体的体积和表面积【解析】该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置，所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成，所以其体积为1322=3，表面积为S1=12r2=2，S2=12rl=52，S3=1222=2，故表面积S=S1+S2+S3=1+52+2