高中数学专题03 充分条件和必要条件（含答案解析）

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1、高中数学专题03 充分条件和必要条件【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】等价于，故推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件故选B【名师点睛】充要条件的三种判断方法：（1）定义法：根据pq，qp进行判断；（2）集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而

2、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件故选A【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得，由，可得，即，因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B【名师点睛】判断充要关系的的方法：根据定义，若，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若，那那

3、么是的既不充分也不必要条件；当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若，若是的真子集，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若没有包含关系，那么是的既不充分也不必要条件；命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“是”的关系转化为“是”的关系进行判断【命题意图】主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合命题、充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理能力【命题规律】从近几年的考查情况来看，高考对该内容的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查命题的真假判断，充分条件、必要条件的判断，题目难度中等，以选择

4、题和填空题为主【知识总结】1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题2四种命题及其相互关系3四种命题的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知：（1）若两个命题互为逆否命题，则它们的真假性相同；（2）若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系因此，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是43充分条件与必要条件的相关概念（1）如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；（2）如果pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；（3）如果pq，且qp，

5、则p是q的充要条件；（4）如果qp，且pq，则p是q的必要不充分条件；（5）如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件注意：不能将“若p，则q”与“pq”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“pq”，即“pq” “若p，则q”为真命题4充分条件与必要条件的两个特征：（1）对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”（2）传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，即“pq且qr”“pr”（“pq且qr”“pr”）5从集合角度理解充分条件与必要条件记p，q对应的集合分别为A，B，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

6、：（1）若AB，则p是q的充分条件；（2）若AB，则p是q的必要条件；（3）若A=B，则p是q的充要条件；（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；（6）若AB且AB，则p是q的既不充分又不必要条件【方法总结】（一）四种命题及其真假判断1判断命题真假的方法（1）直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可（2）间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假2由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要

7、分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题注意：（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；（2）当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提3在判断四个命题之间的关系时，要先分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”（二）充分条件与必要条件的判断方法1定义法根据充分条件与必要条件的相关概念2集合法当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关，或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合

8、间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断3等价转化法适用于“不易直接正面判断”的情况，可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题，再去判断常用的是逆否等价法，如下：（1）q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件；（2）q是p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件；（3）q是p的充要条件p是q的充要条件；（4）q是p的既不充分也不必要条件p是q的既不充分也不必要条件解决此类问题应该把握三个方面：一是准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；二是注意问题的形式，看清“p是q的”还是“p的是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；三是灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系

9、，充分、必要条件的判断常通过“”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断（三）根据充分、必要条件求参数的取值范围1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式（组）求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将p，q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解2求解参数取值范围时：（1）要注意对区间端点值的处理，尤其是利用两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时，不等式中的等号是否能够取得决定着端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象

10、；（2）注意条件的等价变形1【天津市和平区2019届高三一模数学】不等式成立的充分不必要条件是ABC或D或【答案】A【解析】不等式，即，等价于，由穿根法可得不等式的解集为，结合选项可知其成立的一个充分不必要条件是故选A【名师点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2【天津市河西区2019届高三一模数学】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以或，因为，所以是的充分不必要条件，故选A【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法（1）定义法：直接判断“

11、若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件（2）等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法（3）集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若=，则是的充要条件3【天津市河西区2019届高三一模数学】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由可得，由可得，是的既不充分也不必要条件，“”是“”的既不充分也不必要条件故选D【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力4【天津市部分区2019届

12、高三联考一模数学】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在上递减，若充分性成立，若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C【名师点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理5【天津市河北区2019届高三一模数学】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充

13、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得x2或x1，又得x1或x1；“”是“”的充分而不必要条件故选A【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，准确求解不等式的解集是关键，比较基础6【天津市部分区2019届高三联考一模数学】若，均是定义在上的函数，则“和都是偶函数”是“是偶函数”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若和都是偶函数，则，即是偶函数，充分性成立；当，时，是偶函数，但是和都不是偶函数，必要性不成立，“和都是偶函数”是“是偶函数”的充分而不必要条件，故选A【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与

14、必要条件的定义，属于中档题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理7【天津市和平区20182019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设，则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】求解绝对值不等式，可得，求解指数不等式可得，据此可知是成立的充分不必要条件故选A【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，充分条件与必要条件的判定等知

15、识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力8【天津市红桥区2019届高三二模数学】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A【名师点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集9【天津市和平区20182019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】下列结论错误的是A命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B“”是“”的充分不必要条件C命题：“，”的否定是“，”D若“”为假命题，则均为假命题【答案】B【解析】逐一考查所

16、给命题的真假：A同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件，C特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题即结论错误的为B选项故选B【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假；原命题与其逆否命题同真假10【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】下列说法正确的是

17、A若为真命题，则，均为假命题；B命题“，”的否定是“，”；C等比数列的前项和为，若“”则“”的否命题为真命题；D“平面向量与的夹角为钝角”的充要条件是“”；【答案】C【解析】A选项：为真，则为假，即至少有一个是假命题，可知A错误；B选项：原命题的否定为：，可知B错误；C选项：若“”则“”的逆命题为：若“”则“”，原命题的逆命题为真命题，又逆命题与否命题同真假，可知原命题的否命题为真命题，可知C正确；D选项：当时，与夹角可能为，不是钝角，可知D错误故选C【名师点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的知识，涉及到四种命题之间的关系、含逻辑连接词的命题、含量词的命题的否定、充分条件与必要条件的判断的问题1

18、1【天津市河东区2019届高三二模考试数学】设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，结合是首项为正数的等比数列可知数列的各项均为正数，据此可得成立，即充分性成立；反之，取，则，据此可知必要性不成立；即“”是“对任意的正整数，”的充分而不必要条件故选B【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，等比数列的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力12【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二)数学】设，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件

19、C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，则，则是的必要不充分条件本题正确选项：【名师点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题13【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二)数学】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B【名师点睛】本题考查解不等式以及充要关系，考查基本分析判断与求解能力，属基础题14【天津市河西区20182019学年高三第二学期总复习质量调查（二)数学】设是公比为的等比数列，则“”

20、是“为递增数列”的A充分百不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取，此时，但是单调减数列；取，因，故是单调增数列，但，故“”是“是单调增数列”的既不充分又不必要条件，故选D【名师点睛】一般地，等比数列为单调递增数列的充要条件是或等差数列为单调递增数列的充要条件是公差15【天津九校联考2019年高三数学】“”是“直线与直线平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若直线：与直线：平行，则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”，所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也

21、不必要条件故选D【名师点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合16【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考数学】设等比数列的的前项和是，则“”是“”的A充要条件B充分而不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列的的公比为，则，所以，即“”是“”的充要条件，故选A【名师点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题17【天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学】设，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若a

22、=0，b=1，满足ab，但（ab）a20不成立，若“（ab）a20，则ab且a0，则ab成立，故“ab”是“（ab）a20”的必要不充分条件，故选B【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可18【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一)数学】设则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，或，能推出或，或不能推出，“”是“”的充分而不必要条件，故选A【名师点睛】高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意以下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提19【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】不等式成立的充分不必要条件是ABC或D或【答案】A【解析】由可得，解得或，据此可得不等式成立的充分不必要条件是故选A【名师点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力