高中数学专题03 指数函数与对数函数(含答案解析)
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1、高中数学专题03 指数函数与对数函数【母题来源一】【2019年高考全国卷文数】已知,则ABCD【答案】B【解析】即则故选B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较,考查了数学运算的素养采取中间量法,根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小【母题来源二】【2018年高考全国卷文数】已知函数,若,则_【答案】【解析】根据题意有,可得,所以.故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小,来确定有关参数值的问题,在求解的过程中,需要将自变量代入函数解析式,求解即可得结果,属于基础题目.【命题意图】高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的大小比较,以能力为主,重点考查函数的
2、单调性及其函数图象主要体现在以下几个方面:(1)掌握幂的运算.(2)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.(3)理解指数、对数函数的概念,理解指数、对数函数的单调性.【命题规律】高考通常以考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主,多以指数、对数函数为载体,查函数值的大小比较及单调性此外,指数、对数函数的图象及应用也常有出现,一般以选择题或填空题的形式呈现,难度一般不大,解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质,注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用.【思路点拨】解答指数式、对数式比较
3、大小,一般有两种思路:思路一:利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较,即(1)比较形如与的大小,利用指数函数的单调性;(2)比较形如与的大小,利用对数函数的单调性;(3)比较形如与的大小,利用幂函数的单调性.思路二:中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.(1)比较形如与的大小,一般找一个“中间值c”,若且,则;若且,则.常用到的特殊值有0和1.()(2)比较形如与的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即或者,进而利用中间值
4、解決问题.【方法总结】(一)常用的指对数变换公式:(1);(2),;(3);(4)换底公式:,进而有两个推论:(令),(二)比较幂的大小的常用方法:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较(三)比较对数式的大小:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论,即a1时是增函数,0a1时是减函数,当对数底数为变量时,要分情况对底数
5、进行讨论来比较两个对数的大小;(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较,另外若题中既有对数式又有指数式,也常用中间量比较大小(四)解指数、对数方程或不等式:(1)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论(2)形如的不等式,借助的单调性求解,如果a的取值不确定,需分与两种情况讨论;形如的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的
6、形式,再借助的单调性求解(五)快速判断对数的符号:八字真言“同区间正,异区间负”.判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为和.(1)如果底数和真数均在中,或者均在中,那么对数的值为正数;(2)如果底数和真数一个在中,一个在中,那么对数的值为负数.例如:等(六)比较大小的两个理念:(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.例如:,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同,从而只需比较底数的大小即可.(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常
7、可优先选择“”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如,可知,进而可估计是一个1点几的数,从而便于比较.总之,比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数);若同指,则考虑幂函数,再利用函数的单调性比较大小;若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法1【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学试题】若集合,则实数的值为AB2CD1【答案】A【解析】由,解得;由解得, 因为,所
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