高中数学专题08 抛物线与椭圆的几何性质

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1、专题08 抛物线与椭圆的几何性质【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A2B3C4D8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D【母题来源二】【2018年高考全国理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为

2、ABCD【答案】D【解析】因为为等腰三角形，所以，由的斜率为可得，所以，由正弦定理得，所以，所以，故选D【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等【母题来源三】【2017年高考全国理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_【答案】【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意

3、，有，故【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化【命题意图】1了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质3了解椭圆的简单应用4理解数形结合的思想5了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用6掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程

4、及简单性质【命题规律】1椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程和离心率为主，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围2抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想【答题模板】1求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程（2）待定系数法这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时

5、需要分类讨论）第二步，设方程根据上述判断设方程为或第三步，找关系根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）第四步，得椭圆方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a,c，代入公式（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）3抛物线的离心率e1

6、，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化4用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程5与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键【方法总结】1椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点

7、三角形解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理以椭圆上一点和焦点F1 (c，0)，F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：（1）；（2）；（3）2解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解3与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了4求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方

8、程5确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解6抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解7有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值1【甘肃省靖远县2019届高三第四次联考】抛物线的焦点为，点是上一点，则ABCD【答案】B【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果【解析】由题可得，解得故

9、选B2【内蒙古2019届高三高考一模】以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为ABCD【答案】B【分析】设椭圆的两个焦点为，圆与椭圆交于，四个不同的点，设，则，由椭圆的定义知，根据离心率公式求得答案【解析】设椭圆的两个焦点为，圆与椭圆交于，四个不同的点，设，则，椭圆定义，得，所以，故选B3【吉林省实验中学2019届高三下学期六次月考】过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则A8B10C12D14【答案】B【分析】先由题，求得抛物线的p，再根据线段AB的中点的横坐标为3，求得

10、x1+x2=6，然后根据焦点弦公式求得结果【解析】由题抛物线的焦点F(2，0)，p=4，设A、B两点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点的横坐标为3，即x1+x22=3，x1+x2=6，故抛物线的焦点弦AB=x1+x2+p=10，故选B4【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】已知椭圆的焦点分别为，点，在椭圆上，于，则椭圆方程为ABCD【答案】C【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，求解，然后推出椭圆方程【解析】椭圆的焦点分别为，点A，B在椭圆上，于，可得，解得，所以所求椭圆方程为，故选C5【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】过抛物线x2=my(m0)的焦点且与y轴

11、垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m=A4B4C2D2【答案】B【分析】由抛物线方程得焦点坐标，得直线AB的方程，求出点A，B的坐标，从而可表示出三角形ABO的面积，解出m即可【解析】过抛物线x2=my(m0)的焦点(0，m4)且与y轴垂直的直线与抛物线的交点为(m2，m4)，所以|AB|=|m|因为三角形ABO的面积为2，所以12|m4|m|=2，解得m=4故选B6【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且|=|，若|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为ABCD【答案】C【分析

12、】利用|的最小值为1，最大值为9，可得a，c的值，从而可得椭圆的离心率【解析】因为的最小值为1，最大值为9，|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，a=5，c=4椭圆的离心率为，故选C7【黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟】已知F是抛物线C：y2=2px(q0)的焦点，过点R(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点，若|FA|+|FB|=5，则直线l的斜率为A3B1C2D12【答案】B【分析】根据|FA|+|FB|=5求得p的值，利用点差法求得直线l的斜率【解析】由于R2，1为AB中点，根据抛物线的定义FA+FB=xA+xB+p=22+p=5，解得p=1，

13、抛物线方程为y2=2x设Ax1，y1，Bx2，y2，则y12=2x1，y22=2x2，两式相减并化简得y2-y1x2-x1=2y1+y2=221=1，即直线l的斜率为1，故选B8【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为A8B6C5D4【答案】A【解析】由题可得离心率，椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，可得，则椭圆的短轴长为故选A【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题解答本题时，利用椭圆的定义以及离心率，求出，然后求解椭圆短轴长即可9【陕西省2019届高三年级第三次联考】已知F是

14、抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到准线的距离为A52B32C1D3【答案】B【分析】由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1+14+x2+14=3，进而得x1+x2=52，从而得中点横坐标，进而得解【解析】F是抛物线y2=x的焦点，F(14，0)，准线方程x=-14，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得|AF|=x1+14，|BF|=x2+14，|AF|+|BF|=x1+14+x2+14=3，解得x1+x2=52，线段AB的中点横坐标为54，线段AB的中点到准线的距离为54+14=32故选B10【黑龙江省哈尔滨市第

15、三中学2019届高三上学期期末】已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255，P为椭圆上的一个动点，则P与定点B(-1，0)连线距离的最大值为A32B2C52D3【答案】C【分析】利用椭圆的离心率求出a，然后利用椭圆的参数方程设出P，根据两点间距离公式，利用配方法求最值即可得结果【解析】椭圆y2a2+x2=1a1的离心率e=255，可得a2-1a=255，解得a=5，椭圆方程为y25+x2=1，设Pcos，5sin，则P与定点B-1，0连线距离为cos+12+5sin2=4sin2+2cos+2=6+2cos-4cos2=254-4cos-14252，当cos=14时，取得最大值52，

16、故选C【名师点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用及圆锥曲线求最值，属于中档题解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解11【吉林省吉林市普通中学2018-2019学年度高中毕业班第三次调研】已知抛物线y2=4x的焦点F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长取最小值时，线段PF的长为A1B134C5D214【答案】B【分析】求PAF周长的最小值，即求|PA|+|

17、PF|的最小值设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|PD|因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF长度【解析】求PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此|PA|+|PF|的最小值即|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，此时P（94，3），F（1，0），PF的长为94+1=134，故选B12【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如

18、图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为ABCD【答案】B【解析】如图，设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为由，得：，由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：，解得，解得，故选B【名师点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角构造出方程，从而使问题得以解决13【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B/AP，则该椭圆离心率是A33B23C32D22【答案】D

19、【分析】由点P在以线段F1A为直径的圆上，可知APPF1，再由F2B/AP，可得F2BBF1，且F1F2B是等腰直角三角形，结合|OB|=b，|OF2|=c，所以b=c，可求出离心率【解析】如图，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以APPF1，又因为F2B/AP，所以F2BBF1，又|F2B|=|BF1|，所以F1F2B是等腰直角三角形，因为|OB|=b，|OF2|=c，所以b=c，|F2B|2=c2+b2=a2=2c2，所以该椭圆的离心率e=ca=22故选D14【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】过抛物线C：y2=4x焦点F的直线l交C于点A，B，若线段AB中点M的纵坐标为1，则|

20、AB|=A3B4C17D5【答案】D【分析】设出直线方程，利用只需与抛物线联立，利用条件求得直线方程，再利用弦长公式求解即可【解析】抛物线C：y24x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：xmy+1，则x=my+1y2=4x可得y24my40，l与C有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m2，解得m=12，所以y22y40的两根满足y1+y2=2，y1y2=-4，由弦长公式可得|AB|=1+14(y1+y2)2-4y1y2=5，故选D15【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过焦点F与抛

21、物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，则AOB的面积为A43B46C82D86【答案】C【分析】设直线l：x=ty+2，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用P的坐标求出t，最后算出AB的长和O到AB的距离后可得所求的面积【解析】设直线l：x=ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由y2=8xx=ty+2可得y2-8ty-16=0，所以AB的中点M(4t2+2，4t)，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，故t0所以AB的中垂线的方程为y=-1tx-4t2-2+4t=-1tx+8t+2t，令y=0可得x=

22、8t2+2，解方程10=8t2+2可得t=1此时AB=1+t2y1-y2=81+t2t2+1=16，因为点O到AB的距离d=21+t2=2，所以SOAB=12162=82故选C16【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上存在A、B两点恰好关于直线l：x-y-1=0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为A13B33C22D12【答案】C【分析】由题意可得直线AB与直线l的交点P(2，1)，kAB=-1，利用中点弦可得kAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2，从而得到椭圆C的离心率【解析】由题意可得直线AB与直线l的交点P(

23、2，1)，kAB=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x24，y1+y22，A，B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点，x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，得：(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0，2(x1-x2)a2=-y1-y2b2，kAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2=-1，a2=2b2，ca=1-b2a2=22，故选C17【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟】已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过点(0，-2)作斜率为k(k0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别

24、交抛物线C与M，N两点，若AFMF+BFNF=10，则k=A1B62C2D3【答案】D【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，-2)，可得y2+2y1+2=x2x1，同时可得y1+2y2+2+y2+2y1+2=10，(x1+x2)2=12x2x2，联立直线与方程可得x2-8kx+16=0，x1+x2=8k，x1x2=16，代入可得k的值【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，-2)，由 A，B，P三点共线，可得y1+2x1=y2+2x2，整理可得y2+2y1+2=x2x1 ，由抛物线关于y轴对称及焦半径公式可得|AF|=|NF|=y1+2，|BF|=|MF|=y2+

25、2，AFMF+BFNF=10，可得y1+2y2+2+y2+2y1+2=10 ，由可得x1x2+x2x1=10，即(x1+x2)2=12x2x2 ，由直线的方程：y=kx-2，抛物线C：x2=8y，可得x2-8kx+16=0，x1+x2=8k，x1x2=16，代入式可得64k2=192，k0，解得k=3，故选D18【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟】椭圆x24+y2=1上存在两点，A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则OA+OB=A1B3C5D7【答案】C【分析】由题意设直线AB的方程为y=-12x+m，与椭圆方程联立后求得到点A

26、，B的坐标与参数m的关系，然后根据A，B的中点在直线4x-2y-3=0上求出参数m的值，进而得到点A，B的坐标，进而得到向量OA+OB的坐标，于是可得结果【解析】由题意直线AB与直线4x-2y-3=0垂直，设直线AB的方程为y=-12x+m由y=-12x+mx24+y2=1消去y整理得x2-2mx+2m2-2=0，直线AB与椭圆交于两点，=(-2m)2-4(2m2-2)=-4m2+80，解得-2m3)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且F1PF2=120，则|PF1|PF2|=_【答案】36【分析】根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，c=a2-9，再由余弦定理可得(2c)2=4a2-36=|P

27、F1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120=PF1+PF22-|PF1|PF2|，即可解出答案【解析】由椭圆定义可知PF1+PF2=2a，且|F1F2|=2c=2a2-9，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+PF2|2-2PF1|PF2|cos120，所以4(a2-9)=4a2-2|PF1|PF2|+|PF1|PF2|=4a2-|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|=3622【内蒙古赤峰市2019届高三4月模拟】若过点M(2，0)且斜率为3的直线与抛物线C：y2=axa0的准线l相交于点B，与C的一个交点为A，若BM=MA，则a=_【答案】8【分析】由直线方程为y=

28、3(x-2)与准线l：x=-a4得出点B坐标，再由BM=MA可得，点M为线段AB的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出a的值【解析】抛物线C：y2=axa0的准线方程为l：x=-a4，过点M(2，0)且斜率为3的直线方程为y=3(x-2)，联立方程组y=3(x-2)x=-a4，解得交点B坐标为(-a4，-3(a+8)4)，设A点坐标为(x0，y0)，因为BM=MA，所以点M为线段AB的中点，所以x0+(-a4)2=4y0+-3(a+8)42=0，解得A(4+a4，3(a+8)4)，将A(4+a4，3(a+8)4)代入抛物线方程，即(3(a+8)4)2=a(4+a4)，结合a0，解得a=

29、823【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】已知抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点且（为坐标原点），若抛物线上存在一点，其中，使过点的切线，则切线在轴上的截距为_【答案】【分析】先对函数求导，求出抛物线在点处的切线斜率，再根据，得到点坐标，由过点的切线，求出点坐标，进而可得切线方程，即可求出结果【解析】因为抛物线方程可化为，所以，因此抛物线在点处的切线斜率为；又为抛物线的焦点，所以；因为为轴正半轴上的一点，且，所以，所以，因为过点的切线，所以，解得，因为在抛物线上，所以，因此；所以切线方程为或，即，因此切线在轴上的截距为24【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】

30、已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围为_【答案】【分析】先由题意得到，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，根据判别式，求出，再由韦达定理表示出，再由抛物线的定义，即可求出结果【解析】由题意可得，设直线方程为，由得，整理得，所以，解得，又，因此，所以，因为，所以故的取值范围为25【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_【答案】【分析】先由题意，得到以为圆心，为半径的圆的方程，再令为轴正半轴上的点，从而求出点坐标，得到直线的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出两点坐标，即可用表示出，再由，且，求出的范围，即可得出结果【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由可得，所以，因此直线的方程为，由得；由得，所以，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号故的最大值为