高中数学专题05 指数函数、对数函数、幂函数（含答案解析）

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1、高中数学专题05 指数函数、对数函数、幂函数【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】已知，则a，b，c的大小关系为A B CD【答案】A【解析】，故选A【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与的大小进行判断【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】已知，则的大小关系为A B C D【答案】D【解析】由题意可知：，即，综上可得：故选D【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a，b，c的大小关系对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方

2、法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】已知奇函数在上是增函数若，则，的大小关系为ABCD【答案】C【解析】由题意可得，且，所以，结合函数的单调性可得，即，即故选C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式【命题意图】主要考查数形结合思想、

3、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理能力、数学运算能力 【命题规律】在高考中的考查热点有：（1）比较幂、指、对数式的大小；（2）幂、指、对数函数的图象与性质的应用；（3）以幂、指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用以选择题和填空题为主，难度中等【答题模板】1比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底；二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，进而得出大小关系；三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象，借助图象

4、比较大小2比较对数值大小的类型及相应方法3解决对数型复合函数的单调性问题的步骤（1）求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式（包含单独一个字母）时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错【方法总结】1指数函数图象的特点（1）任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点（0，1），底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称（2）当a1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0a1时，指数函数的图象呈下降趋势

5、（3）指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0cd1a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a0，且a1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1a，-1），函数图象只在第一、四象限（3）在直线x=1的右侧：当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”3简单的幂函数的图象与性质函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增在R上单调递增在(0,+)上单调

6、递增在(-,0)和(0,+)上单调递减图象过定点(0,0),(1,1)(1,1)1【天津市河西区20182019学年高三第二学期总复习质量调查（二）数学】设，则ABCD【答案】B【解析】因为，所以，故选B【名师点睛】本题考查指数函数以及对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题2【天津市河西区2019届高三一模数学】设，则ABCD【答案】D【解析】因为，所以，故选D【名师点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小3【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知函数，若，则的大小关系为ABCD【答案】B【解析】，在上递减，即，故选B【名师点睛】本题主要考查对数

7、函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用4【天津市红桥区2019届高三一模数学】已知，则a，b，c的大小关系为ABCD【答案】A【解析】，故选A【名师点睛】本题考查实数的大小比较，考查单调性的应用，涉及指数与对数函数的单调性，属于基础题5【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是ABCD【答案】D【解析】，当时，；当时，即在上递增，的图象关于

8、对称，向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，即为偶函数，即，即故选D【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小6【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】设奇函数在上是增函数，若，则大小关系为ABCD【答案】D【解析】由为奇函数，且在上是增函数，可得，可得，且，由，可得，故，故选D【名师点睛】本题主要考查函数的性质与概念，对数与对数函数及指数与指数函数，注意知识的灵活运用7【天津市红桥区2019届高三二模数学】

9、已知，则ABCD【答案】B【解析】，故选B【名师点睛】本题综合考查了对数式、指数式的比较大小解决本题的关键是掌握指数函数、对数函数的单调性以及一些特殊点的特征本题采用了中间值的比较方法8【天津南开中学2019届第五次月考数学】若，则的大小关系是ABCD【答案】D【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得，根据对数函数的图象与性质，可得，所以，故选D【名师点睛】本题主要考查了指数函数与对数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，合理得到实数的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】已知点在

10、幂函数的图象上，设则的大小关系为ABCD【答案】A【解析】由为幂函数得，因为点在幂函数上，所以，即，因为，又，所以，选A【名师点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析判断与求解能力，属基础题10【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】已知，则下列不等式一定成立的是ABCD【答案】D【解析】由可得，故，逐一考查所给的选项，得：A；B，的符号不能确定；C；D故选D【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力11【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二）数学】若，则a，b，c的大小关系为ABCD【答案】A【

11、解析】因为，所以，选A【名师点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题12【天津九校联考2019届高三数学】设，则ABCD【答案】A【解析】因为，所以，故选A【名师点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0，1的大小关系13【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为ABCD【答案】A【解析】，是偶函数，又因为在上递减，即，故选A【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小14【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）2019届高三上学期期末考试数学】已知，若，则的最小值为_【答案】【解析】令，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3【名师点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用