三年高考(2016-2018)数学(理科)真题分类解析:专题07-导数的应用
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1、专题 07 导数的应用考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热 度1.导数与函数的单调性了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)理解 选择题解答题 2.导数与函数的极(最)值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)掌握 解答题 3.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 掌握 选择题 分析解读 1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,
2、解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为1217 分,属于高档题.命题探究练扩展2018 年高考全景展示1 【2018 年理数天津卷】已知函数 , ,其中 a1.(I)求函数 的单调区间;(II)若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行,证明;(III)证明当 时,存在直线 l,使 l 是曲线 的切线,也是曲线 的切线.【答案】() 单调递减区间 ,单调递增区间为 ;()证明见解析;( )证明见解析.(III)由题意可得两条切线方程分别为 l1: .l2: .则原问题等价于当 时
3、,存在 , ,使得 l1 和 l2 重合.转化为当 时,关于 x1 的方程 存在实数解,构造函数,令,结合函数的性质可知存在唯一的 x0,且 x00,使得 ,据此可证得存在实数 t,使得 ,则题中的结论成立.详解:(I)由已知, ,有 .令 ,解得 x=0.由 a1,可知当 x 变化时, , 的变化情况如下表:x 00 +极小值所以函数 的单调递减区间 ,单调递增区间为 .(III)曲线 在点 处的切线 l1: .曲线 在点 处的切线 l2: .要证明当 时,存在直线 l,使 l 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,只需证明当 时,存在 , ,使得 l1 和 l2 重合.即只需证明当 时,方程组
4、 有解,由得 ,代入,得 . 因此,只需证明当 时,关于 x1 的方程存在实数解.设函数 ,即要证明当 时,函数 存在零点.,可知 时, ;时, 单调递减,又 , ,故存在唯一的 x0,且 x00,使得 ,即 .由此可得 在 上单调递增,在 上单调递减. 在 处取得极大值 .因为 ,故 ,所以 .下面证明存在实数 t,使得 .由(I)可得 ,当 时,有 ,所以存在实数t,使得 ,因此,当 时,存在 ,使得 .所以,当 时,存在直线 l,使 l 是曲线 的切线,也是曲线 的切线.点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应
5、用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值 ),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用2 【2018 年理北京卷】设函数 = ()若曲线 y= f(x)在点(1, )处的切线与 轴平行,求 a;()若 在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围【答案】(1) a 的值为 1 (2) a 的取值范围是( ,+)【解析】分析:(1)先求导数,再根据 得 a;(2)
6、先求导数的零点: , 2;再分类讨论,根据是否满足 在 x=2 处取得极小值,进行取舍,最后可得 a 的取值范围详解:解:()因为 = ,所以 f (x)= 2ax(4a+1) e x+ax 2(4a+1)x+4a+3e x(x R)=ax 2(2a+1)x+2e xf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0,即(1 a)e=0,解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 1点睛:利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.3 【2018
7、 年江苏卷】记 分别为函数 的导函数若存在 ,满足且 ,则称 为函数 与 的一个“S 点” (1)证明:函数 与 不存在“S 点” ;(2)若函数 与 存在“S 点” ,求实数 a 的值;(3)已知函数 , 对任意 ,判断是否存在 ,使函数 与 在区间 内存在“S 点” ,并说明理由【答案】 (1)证明见解析(2)a 的值为 (3)对任意 a0,存在 b0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+ )内存在“S 点” 【解析】分析:(1)根据题中“S 点”的定义列两个方程,根据方程组无解证得结论;(2)同(1)根据“S 点”的定义列两个方程,解方程组可得 a 的值;(3)通过构造函数以及结合
8、 “S 点”的定义列两个方程,再判断方程组是否有解即可证得结论.详解:解:(1)函数 f(x )=x,g(x)=x 2+2x-2,则 f(x)=1,g(x)=2x+2由 f(x)=g(x)且 f(x )= g(x) ,得 ,此方程组无解,因此,f(x)与 g(x)不存在“S”点(2)函数 , ,则 设 x0 为 f(x)与 g(x)的“S”点,由 f(x 0)与 g(x 0)且 f(x 0)与 g(x 0) ,得,即 , (*)得 ,即 ,则 当 时, 满足方程组(*) ,即 为 f(x)与 g(x)的“S”点因此,a 的值为 (3)对任意 a0,设 因为 ,且h(x)的图象是不间断的,所以存
9、在 (0,1) ,使得 ,令 ,则 b0函数 ,则 由 f(x)与 g( x)且 f(x )与 g(x ) ,得,即 (*)此时, 满足方程组(*) ,即 是函数 f(x )与 g(x)在区间(0,1)内的一个“S 点” 因此,对任意 a0,存在 b0,使函数 f(x)与 g(x )在区间(0,+)内存在“S 点” 点睛:涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.4 【2018 年理新课
10、标 I 卷】 已知函数 (1)讨论 的单调性;(2)若 存在两个极值点 ,证明: 【答案】 (1)当 时, 在 单调递减.,当 时, 在单调递减,在 单调递增.(2)证明见解析.(i)若 ,则 ,当且仅当 , 时 ,所以 在 单调递减.(ii)若 ,令 得, 或 .当时, ;当 时, .所以在 单调递减,在 单调递增.(2)由(1)知, 存在两个极值点当且仅当 .由于 的两个极值点 满足 ,所以 ,不妨设 ,则 .由于,所以 等价于 .设函数 ,由(1)知, 在单调递减,又 ,从而当 时, .所以 ,即.点睛:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导
11、数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 II,理 11】若 是函数 的极值点,则 的极小值为2x21()xfxae()fx( )A. B. C. D.113e 35【答案】A【解析】试题分析:由题可得 12121()2)()()xx xfxaeaeae 因为 ,所以 , ,故(2)0ff 2fx令 ,解得 或 ,所以 在 单调递增
12、,在 单调递减xx1()fx,2)(1,(,1)所以 极小值为 ,故选 A。()f()fe【考点】 函数的极值;函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0,且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同。(2)若 f(x)在(a, b)内有极值,那么 f(x)在( a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。2.【2017 浙江,7】函数 y=f(x)的导函数 的图像如图所示,则函数 y=f(x)的图像可能是()yfx【答案】D【解析】试题分析:原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于 0,因此选 D【考点】 导
13、函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与 轴的交点为 ,且图x0x象在 两侧附近连续分布于 轴上下方,则 为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数0xx0x单调性时,由导函数 的正负,得出原函数 的单调区间)(f )(f3.【2017 课标 II,理】已知函数 ,且 。2lnfxax0fx(1)求 ;a(2)证明: 存在唯一的极大值点 ,且 。fx0220ef【答案】(1) ;(2) 证明略。1【解析】试题分析:(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得 ,注意验证结果的正确性;1a(2)结合(1)的结论构造函数 ,结合 的单调性和 的解析式即可证得题
14、2lnhxxhfx中的不等式 。20ef试题解析:(1) 的定义域为 。fx0, +设 ,则 , 等价于 。lngaxfxg0fx0gx因为 ,因 ,而 ,得 。,11,1aa若 ,则 。当 时, , 单调递减;1x0xx当 时, , 单调递增。所以 是 的极小值点,故xg1g10gx综上, 。a(2)由(1)知 , 。2lnfxx2lnfx设 ,则 。lnhx1h当 时, ;当 时, ,0,20x,2x0hx所以 在 单调递减,在 单调递增。hx1,1,又 , , ,20e0h所以 在 有唯一零点 ,在 有唯一零点 1,hx1,0x1,2且当 时, ;当 时, ,0,h0,0hx当 时, 。
15、1x0x因为 ,所以 是 的唯一极大值点。ffx由 得 ,故 。 0x0ln21x001x由 得 。,14f因为 是 在(0,1)的最大值点,0x由 , 得 。 10,e10fe120fxfe所以 。22x【考点】 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调
16、性;已知单调性,求参数。 (3)利用导数求函数的最值( 极值),解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。4.【2017 课标 3,理 21】已知函数 .1lnfxax(1)若 ,求 a 的值;0fx(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n ,求 m 的最小值.211n【答案】(1) ;1a(2) 3【解析】试题分析:(1)由原函数与导函数的关系可得 x=a 是 在 的唯一最小值点,列方程解f0, +x得 ;1a(2)利用题意结合(1) 的结论对不等式进行放缩,求得 ,结合211ne可知实数 的最小值为 2311m3(2)由(1)知当 时, .1,x1ln0x令 得 .从而2nl
17、2n.2 2111lll 2nnn 故 .21ne而 ,所以 的最小值为 .231m3【考点】 导数研究函数的单调性;导数研究函数的最值;利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值( 极值),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应
18、用5.【2017 浙江,20】(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=(x ) ( )21ex12()求 f(x)的导函数;()求 f(x)在区间 上的取值范围1+)2,【答案】 () ;( )0, xef )( 12e【解析】试题分析:()利用求导法则及求导公式,可求得 的导数;()令 ,解得 或)(xf 0)(xf1x,进而判断函数 的单调区间,结合区间端点值求解函数 的取值范围25)(xf )(f试题解析:()因为所以= ()由解得 或 因为x ( ) 1 ( ) ( )- 0 + 0 -f(x) 0 又 ,所以 f(x )在区间 )上的取值范围是 【考点】导数的应用【名师点睛】本题主
19、要考查导数的两大方面的应用:(一)函数单调性的讨论:运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出 ,有 的正负,得出函数 的单调)(xf)(f )(xf区间;(二)函数的最值(极值)的求法:由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数 极值或最值)(xf6.【2017 江苏,20】 已知函数 有极值,且导函数 的极值点32()1(0,)fxabxR()fx是 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)()fx(1)求 关于 的函数关系式,并写出定义域;ba(2)证明: ;23(3)若 , 这两个函数的所有极值之和不小于 ,求 的取值范围.()fx 72
20、a【答案】 (1) (2)见解析(3)a36a【解析】解:(1)由 ,得 .2()1fxbx 222()33()3afxxbb当 时, 有极小值 .3ax()f23a因为 的极值点是 的零点.()ffx所以 ,又 ,故 .310279aaba239ab因为 有极值,故 有实根,从而 ,即 .()fx()=fx231(7)033a时, ,故 在 R 上是增函数, 没有极值;3a01()f fx时, 有两个相异的实根 , .()fx213abx22=3b列表如下x 1(,)x1x12(,)x2x2(,)x()f+ 0 0 +A极大值 A极小值 A故 的极值点是 .()fx12,x从而 ,3a因此
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- 三年 高考 2016 2018 数学 理科 分类 解析 专题 07 导数 应用
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