三年高考（2016-2018）数学（理科）真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

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1、专题 14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.数列求和掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法掌握2017 课标全国,12;2016 课标全国,17解答题 2.数列的综合应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题掌握2017 山东,19;2015 福建,8;2013 重庆,12选择题解答题分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点

2、,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为 12 分,难度中等.2018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】已知 成等比数列，且 若 ，1+2+3+4=(1+2+3)则A. B. C. D. 13,23,24【答案】B【解析】分析:先证不等式 ，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令 则 ，令 得 ，所以当 时， ，当()=11 ()=0, 1 ()0时， ，因此 ， 若公比 ，则()10，不合题意；因此 ，选 B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2 【2018 年浙江卷】已知集合 ， 将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列

3、 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的 12+1最小值为_【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型（如）.3 【2018 年理数天津卷】设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .3=2+2 4=3+5（I）求 和 的通项公式；（II）设数列 的前 n 项和为 ，（i）求 ；（ii）证明 .【答案】() ， ；()（ i

4、） .（ ii）证明见解析.=21 =2+12【解析】分析：（ I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 ，则 .结合等差数列通项=21公式可得 （ II） （ i）由（ I） ，有 ，则 .（ ii）因为 ，裂项求和可得 .详解：（ I）设等比数列 的公比为 q.由 可得 .因为 ，可得 1=1,3=2+2,，故 .设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由 ，=21 4=3+5可得 从而 故 所以数列 的通项公式为 ，数列 的31+13=16, 通项公式为（ II） （ i）由（ I） ，有 ，故.（ ii）因为 ，所以 .点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数

5、裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4 【2018 年江苏卷】设 ，对 1，2， n 的一个排列 ，如果当 s则称 是排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对(,)1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记 为1，2， n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求 的值；3(2),4(2)（2）求 的表达式(用 n 表示)【答案】 （1）2 5 2） n5 时， 【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为 2 的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为

6、 2 的个数；（2）先寻求含 n 个元素的集合中逆序数为 2与含 n+1 个元素的集合中逆序数为 2 的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.详解：解：（1）记 为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有，所以对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， 4(2)=3(2)+3(1)+3(0)=5点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法. 5 【2018

7、 年江苏卷】设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比 1数列（1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围；1=0,1=1,=2（2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成=2,3,鈰 ?+1立，并求 的取值范围（用 表示） 1,【答案】 （1） d 的取值范围为 （2） d 的取值范围为 ，证明见解析。73,52【解析】分析：（1）根据题意结合 并分别令 n=1，2，3，4 列出不等式组，即可解得公差 d 的取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为 ，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差 d 的取值范围.

8、详解：解：（1）由条件知： 因为 对 n=1，2，3，4 均成立，即 对 n=1，2，3，4 均成立，即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得因此， d 的取值范围为 73,52（2）由条件知： 若存在 d，使得（ n=2，3， m+1）成立，即 ，即当时， d 满足 因为 ，则 ，从而， ，对 均成立因此，取 d=0 时， 对121 1鈮 ? 1110均成立下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ） 当 时， ，2鈮 鈮 当 时，有 ，从而 因此，当 时，数列(1)+20 2鈮 鈮 +1单调递增，故数列 的最大值为 121 121 2设 ，当 x0 时， ，所以 单调递减，(

9、)=2(1) ()从而 100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整数 幂 .那 么该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下： 11,2,4,k 则该数列的前 项和为(1)22k 1(1)()()2kkS 要使 ，有 ，此时 ，所以 是之后的等比数列 的部0214k1k 1,2k分和，即 ，2ttk所以 ，则 ，此时 ，2314tk5t5239k对应满足的最小条件为 ，故选 A.904N【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含

10、义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.2.【2017 浙江，6】已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“ d0”是“ S4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】试题分析：由 ，可知当 ，则dadaS)105(2102564 0，即 ，反之， ，所以为充要条件，选 C0564S564564S【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，

11、通过公式的套入与简单运算，可知n， 结合充分必要性的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则4652Sdqpqp是 的必要条件，该题“ ” “ ”，故为充要条件pq002564S3.【2017 山东，理 19】已知 xn是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3， x3-x2=2（）求数列 xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1, 1)， P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2Pn+1，求由该折线与直线 y=0， 所围成的区域的面积 nT.1nx,【答案】(I) 12.nx（II） (21).nnT【解析】试题分析：(I)

12、依题意布列 和公比 的方程组.1xq（II）利用梯形的面积公式，记梯形 1nnPQ的面积为 nb.求得 12()2()nnb，应用错位相减法计算得到 .nnT试题解析：(I)设数列 nx的公比为 ，由已知 .q0由题意得 123q，所以 25，因为 ,所以 1,x，0因此数列 nx的通项公式为 12.n（II）过 123,P 1n向 x轴作垂线，垂足分别为 123,Q 1n,由(I)得 .nx记梯形 1nQ的面积为 nb.由题意 12()2()nnb，所以 123nT+ nb= 10132572+ 32(1)2(1)nn 又 nT+ 21 -得 12113(.)()nnn= 12).nn 所以

13、 (1.nnT【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.4.【2017 北京，理 20】设 和 是两个等差数列，记nab，12max,ncb(1,23)其中 表示 这 个数中最大的数s12,sx（）若

14、 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；nn3cnc（）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，MmnMm使得 是等差数列12,mc【答案】 （）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）分别代入求 ，观察规律，再证明当 时，123,c3n，所以 关于 单调递减. 所以1()()20kkkbnabnkbna*N，即证明；（）首先求 的通项公1 1mx,ca nc式，分 三种情况讨论证明.0dd（）设数列 和 的公差分别为 ，则nab12,d.121121()()()(kbkdknbadnk所以 2121,nca当 时 ，当 时 ，当 时，取正整数 ，则当 时， ，

15、因此 .0d21dmn12d1ncba此时， 是等差数列.12,mc当 时，对任意 ，0dn12121()max,0()max,0).ncbandbnd此时， 是等差数列.23,c 当 时，10d当 时，有 .21n12nd所以 1 12112()()cbanbddan11212()|.nddb对任意正数 ，取正整数 ，M12121|max,Mbd故当时， .nc【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳

16、法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.5.【2017 天津，理 18】已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数na()nSNnb列，且公比大于 0， , ， .231b3412a4b（）求 和 的通项公式；na（）求数列 的前 n 项和 .21n()N【答案】 （1） . .（2） .3b132843nnT【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差1a及等比数列的公比 ，写出等差数列

17、和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要dq求计算要准确.试题解析：（I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .nadnbq由已知 ，得 ，而 ，所以 .231b21()bq12b260又因为 ，解得 .所以， .0qn由 ，可得 .341a18da由 ，可得 ，1=Sb56联立，解得 ， ，由此可得 .1332na所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .nanb2nb（II）解：设数列 的前 项和为 ，21bnT由 ， ，有 ，26n4nn21(3)4na故 ，23458()nT，4 1()nn 上述两式相减，得 23 134(3)4nnT 1112(4)()4

18、38.nn得 .3nnT所以，数列 的前 项和为 .21nab 12843n【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒n序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.6.【2017 浙江，22】（本题满分 15 分）已知数列 xn满足： x1=1， xn=xn+1+ln(1+xn+1)（ ）Nn证明：当 时，（）0 xn+1 xn；（）2 xn+1 xn ；12（） xn 1【答案】 （）见解析；（）见解

19、析；（）见解析【解析】试题分析：（）由数学归纳法证明；（）由（）得， 构造函数211114(2)ln()nnnnxxxx，由函数单调性可证； （）由2()()l0f ，得 ，递推可得111lnnnxxx12nnx12(N)2nx试题解析：（）用数学归纳法证明： 0n当 n=1 时， x1=10假设 n=k 时， xk0，那么 n=k+1 时，若 ，则 ，矛盾，故1kx 0)1ln(kkxx 01kx因此 ，所以 ，因此)(Nn 11)ln(nnxx )(01Nxn（）因为 ，所以 得 ，111ln()nnxxx12n12nnxx， ，112()0nnxx 1212()2()nnnnxx故 ，2

20、n12(N)n【考点】不等式证明【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数 ，利用函数的单调性证明不等式；2()()ln1(0)fxxx（3）由递推关系证明7.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数 ,若数列 满足kna111nknnkkaaa 对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”.2n()na()Pk（1）证明：等差数列 是“ 数列”;na(3P（2）若数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列” ，证明： 是等差数列.n2)(3)na【

21、答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为 是等差数列，设其公差为 ，则 ，nad1()nd从而，当 时，4nk11()()kak，22n,3所以 ，nnnnaa3213+6因此等差数列 是“ 数列”.P（2）数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列” ，因此，n P当 时， ，3nnaa2124当 时， .4n na3136由知， ，nnaa32141()n，n21将代入，得 ，其中 ，nn14所以 是等差数列，设其公差为 .345,a d在中，取 ，则 ，所以 ，23564aa23ad在中，取 ，则 ，所以 ，n1431所以数列 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点

22、睛】证明 为等差数列的方法：na(1)用定义证明： 为常数） ；1(d(2)用等差中项证明： ；22nna(3)通项法： 为 的一次函数；na(4)前 项和法： 2SAB2016 年高考全景展示1.【2016 高考浙江理数】如图，点列 An， Bn分别在某锐角的两边上，且， ，122,nnnAA*N122,nnB*N（ ）.若 （ ）PQ表 示 点 与 不 重 合 1nndSA， 为 的 面 积 ， 则A 是等差数列 B 是等差数列nS 2nSC 是等差数列 D 是等差数列d d【答案】A【解析】试题分析： 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度一半，即nSnAnh1nB，由题目中条件可

23、知 的长度为定值，那么我们需要知道 的关系式，过12nhB1nB nh作垂直得到初始距离 ，那么 和两个垂足构成了等腰梯形，那么 ，1A1h1, 11taA其中 为两条线的夹角，即为定值，那么 ， 1(tan)2n nShAB，作差后： ，都为定值，111(tan)2n nSB 11(t)2nS 所以 为定值故选 An考点：等差数列的定义【思路点睛】先求出 的高，再求出 和 的面积 和 ，进而1n1n12nnAnS1根据等差数列的定义可得 为定值，即可得 是等差数列nSS2.【2016 年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130

24、万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018 年 （B）2019 年 （C）2020 年 （D）2021 年【答案】B【解析】试题分析：设第 年的研发投资资金为 ， ，则 ，由题意，需nna130130.2nna，解得 ，故从 2019 年该公司全年的投入的研发资金超过 200 万，选130.20na5B.考点：等比数列的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把

25、哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论3. 【2016 高考新课标 2 理数】 为等差数列 的前 项和，且 记 ，nSna17=28.aS， =lgnba其中 表示不超过 的最大整数，如 xx0.9=lg，（）求 ；110b， ，（）求数列 的前 1 000 项和n【答案】 （） ， ， ；（）1893.b102【解析】试题分析：（）先用等差数列的求和公式求公差 ，从而求得通项 ，再根据已知条件 表示dnax不超过 的最大整数，求 ；（）对 分类讨论，再用分段函数表示 ，再求数列x110b， ， nnb的前 1 000 项和nb试题解析：（）设 的

26、公差为 ，据已知有 ，解得nad7218d1.d所以 的通项公式为na.1110lg0,lg,lg2.bb（）因为, ,2,10,3.n n所以数列 的前 项和为nb9203189.考点：等差数列的的性质，前 项和公式，对数的运算.n【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧” ；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新” ；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新” ，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是， Bm Am dm211， Bm1 min am， Bm2.故 dm1 Am1 Bm1 220，与 dm1 1 矛盾所以对于任意 n1，有 an2，即非负整数列

27、 an的各项只能为 1 或 2.因为对任意 n1， an2 a1，所以 An2.故 Bn An dn211.因此对于任意正整数 n，存在 m 满足 m n，且 am1，即数列 an有无穷多项为 1.考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义： an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为 An，第 n 项之后各项 an1 ， an2 ，的最小值记为 Bn， dn An Bn ,对于数列 an给出 这样一个新的定义，首先要理解

28、定义，题目的第一步 ，前一项的最大值为 2，第一项d 1后面的项的最小值为 1，即 ，则 ，同理求出 ，通过第一步的12,B1dA234,计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难.4. 【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， 是等差数列，且 nanb1.nnab（）求数列 的通项公式；nb（）令 求数列 的前 n

29、 项和 Tn.1().2nncnc【答案】 （） ；（） .3bn 23n【解析】试题分析：（）根据 及等差数列的通项公式求解；（）根据（）知数列 的1nnSa nc通项公式，再用错位相减法求其前 n 项和.（）由（）知 ，11(6)3()2nnnc又 ，nnT321得 ，412()2n，345n两式作差，得 234122()nnnT224(1)3(nn所以 nnT考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算

30、能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.5.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）记 .对数列 和 的子集 T，若 ,定义 ;若1,20U， *naNU0TS，定义 .例如： 时， .现设kTtt， 12+kTtttSa=136136+a是公比为 3 的等比数列，且当 时， .*naN,40TS（1）求数列 的通项公式；n（2）对任意正整数 ，若 ，求证： ；10k1,2kT， 1Tka（3）设 ,求证： .,CDUSCDSS【答案】 （1） （

31、2）详见解析（3）详见解析1na【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系 ，解出首项 ，2411370rSaa1a根据等比数列通项公式写出通项公式（2）数列不等式证明，一般是以算代征，而非特殊数列一般需转化到特殊数列，便于求和，本题根据子集关系，先进行放缩为一个等比数列，再利用等比数列求和公式得 （3）利用11213krkSa 1()2kkrS等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设 则(),B,CDAC因此由 ，因此 中最大项必在 A 中，由（2）得B,ACDABSS， （2）为（3）搭好台阶，只不过比较隐晦，22()CCDS S需明晰其含义.试题解析：（1）由已知得

32、.1*3,nnaN于是当 时， .2,4T2411730rSa又 ，故 ，即 .30rS10所以数列 的通项公式为 .na1*3,naN（2）因为 ， ，1,2Tk 0n所以 .1(3)2kkkrkS 因此， .1rka（3）下面分三种情况证明.若 是 的子集，则 .DC2CDCDDSSS若 是 的子集，则 .C若 不是 的子集，且 不是 的子集.令 ， 则 ， ， .UEUFEFE于是 ， ，进而由 ，得 .CDSFCDSCDSFS设 是 中的最大数， 为 中的最大数，则 .kl 1,kll由（2）知， ，于是 ，所以 ，即 .1Eka133l klFEaa1kl又 ，故 ，kl从而 ，11

33、2 22ll kEFl SS 故 ，所以 ，E()CDCDSS即 .21CDS综合得， . CD考点：等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.6. 【2016 高考天津理数】已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的nad是 和 的等差中项.,bnNa1n()设 ，求证： 是等差数列；2*,cNnc()设，求证：2*11,nnkadTb21.

34、nkTd【答案】 （）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先根据等比中项定义得： ，从而21nba，因此根据等差数列定义可证：211211nnnncbad（） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简2d，再利用裂项相消法求221nnkTb2221341nbb21dn和 ，易得结论.222111n nkkkdd试题解析：（I）证明：由题意得 ，有 ，因此nba11211nnnnncbada，所以 是等差数列.2121nnca（II）证明： 222341nT22242 1nnadadd所以 .22221111nnkkkT考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】分组

35、转化法求和的常见类型(1)若 an bncn，且 bn， cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前 n 项和(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和7. 【2016 高考新课标 3 理数】已知数列 的前 n 项和 ，其中 a1nnSa0（I）证明 是等比数列，并求其通项公式；na（II）若 ，求 5132S【答案】 （） ；（） 1)(nna1【解析】试题分析：（）首先利用公式 ，得到数列 的递推公式，然后通过变12nnSana换结合等比数列的定义可证；（）利用（）前 项和 化为 的表达式，结合 的值，建立nS5S方程

36、可求得 的值（）由（）得 ，由 得 ，即 ，nnS)1(3215S321)(55)(321解得 1考点：1、数列通项 与前 项和为 关系；2、等比数列的定义与通项及前 项和为 nan nnS【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数） ；（2）中1naq项法，即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列212nna或等差数列来求解8. 【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分）设数列 A： ， , ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有 ，1a2Nn2Nkkan则称 是数列 A 的一个“G 时刻”.记“ 是数列 A 的所有“G

37、时刻”组成的集合.n)(G（1）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 的所有元素；（2）证明：若数列 A 中存在 使得 ，则 ；na1)(（3）证明：若数列 A 满足 - 1（n=2,3, ,N）,则 的元素个数不小于 - .1 )(AGNa1【答案】 （1） 的元素为 和 ；（2）详见解析；（3）详见解析.()G5【解析】试题分析：（1）关键是理解 G 时刻的定义，根据定义即可写出 的所有元素；)(A（2）要证 ，即证 中含有一元素即可；)(A)(A（3）当 时，结论成立.只要证明当 时仍然成立即可.1aN1aN试题解析：（1） 的元素为 和 .)(G25（2）因为存在 使得 ，所以 .

38、n1a1,iii记 ，,2miNii则 ，且对任意正整数 .mka1因此 ，从而 .)(AG)(（3）当 时，结论成立.1aN以下设 .由（）知 .)(AG设 ，记 .ppnn2121, 10则 .pnnaa210对 ，记 .i, inkii aNkG,如果 ，取 ，则对任何 .i iimiimnki,1从而 且 .)(AGmi1iin又因为 是 中的最大元素，所以 .pnpG从而对任意 ， ，特别地， .kpnkapnNa对 .iini1,10因此 .1)(1111 iiiii nna所以 .paiip npinN 111考点：数列、对新定义的理解.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意

39、，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 或 )等.1q9. 【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）已知数列 的首项为 1， 为数列 的前 n 项和， ，其中 q0， .nanSa1nS*nN（）若 成等差数列，求 的通项公式；23,（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.21nyxane25312143nee【答案】 （） ；（）详见解析.1=q-【解析】试题解析：（）由已知， 两式相减得到 .121,nnnSq

40、Sq+= 21,nnaq+=又由 得到 ，故 对所有 都成立.21Sq=+2aa所以，数列 是首项为 1，公比为 q 的等比数列.n从而 .1naq-由 成等比数列，可得 ，即 ，则 ，232+， ， 32=a+2=3,q+(21)0q-=由已知, ，故 .0q=所以 .1*2()na-N（）由（）可知， .1naq-所以双曲线 的离心率 2nyx-=22(1)nnneaq-=+由 解得 .2513q=+4q因为 ，所以 .()(1)kk2(1)*+kkqN（ ）于是 ，112nneeq-+=故 .12314n-考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（）问中，已知的是 的递推式，在与 的关nSnS系式中，经常用 代换 （ ） ，然后两式相减，可得 的递推式，利用这种方法解题时要1n2nna注意 ；在第（）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的1a目的是为了求数列的和另外放缩时要注意放缩的“度” 不能太大，否则得不到结果