三年高考（2016-2018）数学（文科）真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

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1、考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.数列求和掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法掌握 解答题 2.数列的综合应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题掌握选择题解答题分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为 12 分,难度中等.2018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】已知 成等比数列，且 若 ，1,2,

2、3,4 11则A. B. C. D. 13,23,24【答案】B点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2.【2018 年浙江卷】已知集合 ， 将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的 最小值为_【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型（如=(1)2）.3.【2018 年浙江卷

3、】已知等比数列 an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28， a4+2 是 a3， a5的等差中项数列bn满足 b1=1，数列（ bn+1bn） an的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列 bn的通项公式 【答案】 （） （）【解析】分析:（）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比， （）先根据数列 前 n 项和求通项，解得 ，再通过叠加法以及错位相减法求 .(+1)详解：（）由 是 的等差中项得 ，所以 ，4+2 3+5=24+4 3+4+5=34+4=28解得 .由 得 ，因为 ，所以 .4=8 3+5=208(+1)=20 1（）设 ，数列 前 n

4、项和为 .由 解得 .由（）可知 ，所以 ，故 ，=21.设，所以 ，因此，又 ，所以 .1=1点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1 两种情况求解.4 【2018 年天津卷文】设 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（ nN *） ； bn是等比数列，公比大于0，其前 n 项和为 Tn（ nN *） 已知 b1=1， b3=b2+2， b4=a3+a5，

5、b5=a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（ T1+T2+Tn）= an+4bn，求正整数 n 的值【答案】() ， ；()4.=(+1)2 =21【解析】分析：（I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 ，则 .结合题意=2可得等差数列的首项和公差为 ，则其前 n 项和 .（II）由（I） ，知=(+1)2据此可得 解得 （舍） ，或 .则 n 的值为 4. 234=0, =1 =4点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.5.【2018 年江苏卷】设 ，对 1，2， n 的一个排列 ，如果当 s则称 是

6、排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对(,)1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记 为()1，2， n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求 的值；（2）求 的表达式(用 n 表示)【答案】 （1）2 5 2） n5 时， (2)=222【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为 2 的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为 2 的个数；（2）先寻求含 n 个元素的集合中逆序数为 2与含 n+1 个元素的集合中逆序数为 2 的个数之间的关系，再根据叠加法求得

7、结果.点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法. 6 【2018 年江苏卷】设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比 1 1数列（1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围；1=0,1=1,=2 =1,2,3,4（2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成=2,3,鈰 ?+1立，并求 的取值范围（用 表示） 1,【答案】 （1） d 的取值范围为 （2） d 的取值范围为 ，证明见解析。73,52【解析】分析：（1）根

8、据题意结合 并分别令 n=1，2，3，4 列出不等式组，即可解得公差 d 的取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为 ，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差 d 的取值范围.详解：解：（1）由条件知： 因为 对 n=1，2，3，4 均成立，=(1),=21即 对 n=1，2，3，4 均成立，即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 因此， d 的取值范围为 73,52点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确

9、定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 3，文 17】设数列 满足 .na123(1)2naa（1）求 的通项公式；na（2）求数列 的前 项和.21n【答案】 （1） ；（2）1na1n【解析】试题分析：（1）先由题意得 时， ，再作差得2)1(2)32(3121 nana，验证 时也满足（2）由于 ，所以利2na )(n用裂项相消法求和.【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若

10、干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的1ncana数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或 .13n1(2)n2.【2017 山东，文 19】 （本小题满分 12 分）已知 an是各项均为正数的等比数列,且. 121236,aa(I)求数列 an通项公式；(II)bn为各项非零的等差数列,其前 n 项和 Sn,已知 ,求数列 的前 n 项和 .211nnbnbaT【答案】(I) ；(II) 2na25nnT【解析】试题分析：(I)列出关于 的方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和.1d(

11、II)由题意知 1221 1()()nn nbSb ,21,0nb所以 ,令 ,.nca则 21n因此,1231.572nnnTcc又 ,2351n n两式相减得 21112nnnT所以 .25nnT【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d,然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“ Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写

12、出“ Sn qSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解3.【2017 天津，文 18】已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数na*()nSNnb列，且公比大于 0，.234141,2,bSb（）求 和 的通项公式；nab（）求数列 的前 n 项和 .2*()N【答案】 （） . .（） .3n22(34)16nnT【解析】试题分析：（）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，等比数列的公比为 ，建立方程求解；na1dq（）先求 的通项，再求 ，再根据错位相减法求和.2na262nb（）解：设数列 的前 项和为 ，由 ，有2nabnT2

13、6na，34106()nT，234 141062(8)2(6)2nnnT 上述两式相减，得 23 1nnT.122()4(6)(4)161nnn得 .2(3)nnT所以，数列 的前 项和为 .2nab2(34)16n【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列， （2）裂项相消法求和， 1nac，!1!nnc, nc1等的形式， （3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列， （4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两

14、式相加除以 2 得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 4.【2017 北京，文 15】已知等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5nan（）求 的通项公式；na（）求和： 13521nbb【答案】（） ；（） .na3【解析】试题分析：（）设等差数列和等比数列的公差和公比分别为 和 ，代入建立方程，求解；dq（）若 是等比数列，那 依然是等比数列，并且公比是 ，根据等比数列求和.nb21nb 2【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前 项和.n【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等

15、差数列加等比数列， （2）裂项相消法求和， 1nac，!1!nnc, nc1等的形式， （3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列， （4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以 2 得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 5.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数 ,若数列 满足kna111nknnkkaaa 对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”.2n()na()Pk（1）证明：等差数列 是“ 数列”;na(3P（2）若数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列” ，证明： 是等差数列.n2)(3)na【答案】 （1）见

16、解析（2）见解析（2）数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列” ，因此，naP23P当 时， ，3nnaa2124当 时， .4n n3136由知， ，na24()n，nn231a将代入，得 ，其中 ，n14所以 是等差数列，设其公差为 .345,a d在中，取 ，则 ，所以 ，n23564aa23ad在中，取 ，则 ，所以 ，1431所以数列 是等差数列.n【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明 为等差数列的方法：na(1)用定义证明： 为常数） ；1(d(2)用等差中项证明： ；22nna(3)通项法： 为 的一次函数；na(4)前 项和法：n2nSAB2016 年高考全景展示1.【

17、2016 高考浙江文数】如图，点列 分别在某锐角的两边上，且,nAB， .(P Q 表示点 P 与*122,nnnAAN*122,nnBNQ 不重合)若 ， 为 的面积，则（ ）dBSnA. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是nS2 nd2nd等差数列【答案】A【解析】试题分析： 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度一半，即nSnAnh1nB，由题目中条件可知 的长度为定值，那么我们需要知道 的关系式，过12nhB1nB nh作垂直得到初始距离 ，那么 和两个垂足构成了等腰梯形，那么 ，1A1h1, 11taA其中 为两条线的夹角，即为定值，那么 ， 1(tan)

18、2n nShAB，作差后： ，都为定值，111(tan)2n nSB 11(t)n 所以 为定值故选 A1nS考点：新定义题、三角形面积公式.【思路点睛】先求出 的高，再求出 和 的面积 和 ，进而1n1n12nnAnS1根据等差数列的定义可得 为定值，即可得 是等差数列nSS2.【2016 高考上海文科】无穷数列 由 k 个不同的数组成， 为 的前 n 项和.若对任意ana， ，则 k 的最大值为_.Nn3,2nS【答案】4【解析】考点：数列的求和.【名师点睛】从研究 与 na的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 由S nak 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题

19、主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.3.【2016 高考新课标 1 文数】 （本题满分 12 分）已知 是公差为 3 的等差数列,数列 满足nanb,.121=3nnbab， ，（I）求 的通项公式；n（II）求 的前 n 项和.b【答案】 （I） （II）31na1.23n【解析】试题分析：（I）由已知条件求出首项为 2,根据公差为 3,即可确定等差数列的通项公式；（II）先判断 是等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求和公式求 的前 n 项和.nb b试题解析：（I）由已知, 得 得 ,所以1212,3abb1212,3a1a数列 是首项为 2,公差为 3 的等差数列

20、,通项公式为 .na n（II）由（I）和 ,得 ,因此 是首项为 1,公比为 的等比数列.记1nn1n的前 项和为 ,则nbnS1()3.2n考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.2016 高考新课标文数已知各项都为正数的数列 满足 ，na1.211()20nnaa（I）求 ；23,（II）求 的通项公式.n【答案】 （） ；（） 41,23a12na

21、【解析】试题分析：（）将 代入递推公式求得 ，将 的值代入递推公式可求得 ；（）将已知1 2 3a的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列 为等比数列，由此可求得数列 的通项公nan式考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数） ；（2）中1naq项法，即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列212nna或等差数列来求解5.【2016 高考山东文数】 （本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和 ， 是等差数列，且 .a238nSnb1nnab（I）求数列 的通项公式； b（II）令

22、 .求数列 的前 n 项和 . 1()2nnccT【答案】 （） ;（）3bn 23n【解析】（）由（）知 ，又 ，112)(3)(6nnnc nnccT321即 ，2432 1nnT所以 ，2)(5以上两式两边相减得。2221432 3)1(43)(2 nnnnnnT所以 2nn考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在

23、“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 6.【2016 高考天津文数】(本小题满分 13 分)已知 是等比数列，前 n 项和为 ，且 .nanSN6123,Sa()求 的通项公式；n()若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前 2n 项和.,bnN2logna21ln21nb【答案】 （） （）12na2【解析】试题分析：（）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 解得211qa，分别代入 得 ，1,2q631)(qaSn1a（）先根据等差中项得 ，再利用21)log2(l)log(l2 212 nbnnnn分组求和法求和： 2212

24、2121243212 )()()()( bbbT nnnn 考点：等差数列、等比数列及其前 项和n【名师点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn，且 bn， cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前 n 项和(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和7. 【2016 高考浙江文数】 （本题满分 15 分）设数列 的前 项和为 .已知nanS=4， =2 +1， .2S1naS*N（I）求通项公式 ；n（II）求数列 的前 项和.2nan【答案】 （I） ；（II） .1*3,nN2*,1352,nTnN【解

25、析】试题分析：（I）由 转化为 ，进而可得数列 的通项公式；（II）先去12naS13nana掉绝对值，再对 的范围讨论，采用分组求和法，即可得数列 的前 项和2（II）设 ， ， .1|32|nb*N12,b当 时，由于 ，故 .33n设数列 的前 项和为 ，则 .nnT12,当 时， ，32 29()(7)513nn 所以， .2*,152,nTnN考点：等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列 的求和，其中 是等差nabna数列， 是等比数列；（2）裂项法：形如数列 或 的求和，nb 1fng1fng其中 ， 是关于 的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的fgn部分