2.2 空间向量的运算二 学案含答案

1、6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加平面向量加、减运算的坐标表示减运算的坐标表示 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算 的坐标表示. 知识点一 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取i，j作为 基底.对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y， 使得 ax。

2、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条 件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示 已知 a(x，y)，则 a(x，y)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标. 知识点二 平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0. 则 a，b 共线的充要条件是存在实数 ，使 ab. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b(b0) 共线. 注意。

3、6.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运 算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法. 知识点一 向量数乘的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，其长度与方向规定 如下： (1)|a|a|. (2)a (a0)的方向 当0时，与a的方向相同； 当0时，与a的方向相反. 特别地，当 0 时，a0. 当 1 时，(1)aa. 知识点二 向量数乘的运算律 1.(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特别地，()aa(a)，(ab)ab. 2.向量的线性运算 向量的加、 。

4、6.2.2 向量的减法运算向量的减法运算 学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 知识点一 相反向量 1.定义：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a(a)(a)a0. (3)若 a，b 互为相反向量，则 ab，ba，ab0. 知识点二 向量的减法 1.定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 aba(b)，因此减去一个向 量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算。

5、1 13.23.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决 一些简单的几何问题 知识点一 空间向量的坐标运算 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ab ab(a1b1，a2b2，a3b3) 减法 ab ab(a1b1，a2b2，a3b3) 数乘 。

6、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学习目标 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算 方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 知识点一 空间向量的夹角 1定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做 向量 a，b 的夹角，记作a，b 2范围：0a，b. 特别地，当a，b 2时。

7、 2 空间向量的运算空间向量的运算(一一) 一、选择题 1.化简PM PN MN 所得的结果是( ) A.PM B.NP C.0 D.MN 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C 解析 PM PN MN NM MN NM NM 0，故选 C. 2.空间任意四个点 A，B，C，D，则DA CD CB 等于( ) A.DB B.AC C.AB D.BA 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D 3.已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，设 G 是 CD 的中点，则AB 1 2(BD BC )等于( ) A.AG B.CG C.BC D.1 2BC 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A 解析 如图，因为BD BC 2BG ， 。

8、 2 空间向量的运算空间向量的运算(二二) 一、选择题 1.已知非零向量 a，b 不平行，并且其模相等，则 ab 与 ab 之间的关系是( ) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 A 解析 由题意知|a|b|， (ab) (ab)|a|2|b|20， (ab)(ab). 2.已知向量 a，b 满足条件：|a|2，|b| 2，且 a 与 2ba 互相垂直，则a，b等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 B 解析 根据 a (2ba)0， 即 2a b|a|24， 解得 a b2， 又 cosa，b a b |a|b| 2 2 2 2 2 ， 又a，b。

9、 2 空间向量的运算空间向量的运算(一一) 学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握 共线向量定理. 知识点一 空间向量的加减法及运算律 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. OB OA AB ab， CA OA OC ab. 知识点二 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何 定义 0 a 与向量 a 的方向相同 a 的长度是 a 的长度的|倍 0 a 与向量 a 的方向相反 0 a0，其方向是任意的 运算律 分配律 (ab)ab 结合律 (a)()a 注。

10、 2 空间向量的运算空间向量的运算(二二) 学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积 在判断向量共线与垂直中的应用. 知识点 数量积的概念及运算律 1.已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫作 a，b 的数量积，记作 a b，即 a b|a|b|cos a，b. 规定：零向量与任何向量的数量积都为 0. 2.空间向量数量积的性质 (1)aba b0. (2)|a|2a a，|a| a a. (3)cosa，b a b |a|b|(a0，b0). 3.空间向量数量积的运算律 (1)(a) b(a b)(R). (2)a bb a(交换律). (3)a (bc)a ba c(分配律). 特别提醒：不满足结合律(。