2020年人教版高考数学理科一轮练习第49讲数学归纳法

1、第 58 讲 立体几何的综合问题1(2017全国卷)如图，在四棱锥 PABCD中，AB CD ，且BAPCDP 90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPD ABDC ，APD90 ，求二面角 APBC的余弦值(1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.因为 ABCD ，所以 ABPD.又 APDPP ，所以 AB平面 PAD.因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为点 F.由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPF，可得 PF平面 ABCD.以 F 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度建立如图所示的空间直角FA AB 坐标系 Fxyz.由(1)及已知可得 A( ，0，0) ，P(0，0， )。

2、第 5 讲 函数的值域与最值1函数 y (xR)的值域为(D)x2x2 1A(0,1) B 0,1C(0,1 D 0,1)y 1 .x2x2 1 x2 1 1x2 1 1x2 1因为 x211，所以 01，解得 2 时，(12a)x 3a1 a，不成立12当 a0，且 a1，设函数 f(x)Error!的最大值为 1，则实数 a 的取值范围是 ，1) .13由题意知，当 x3 时，f (x)x21，所以当 x3 时，Error!解得 a0，b 为正数，则 f(x) 的定义域 D(， 0，) ，f (x)的值ax2 bxba域 A0， )，因为 DA ，所以 a0 不符合条件(3)若 aa 时无最大值，且2a(x 3 3x)max，所以 a1.10已知函数 f(x) (a0，x0) 1a 1x(1)若 f(x)在m，n上的值域是 m，n ，求 。

3、第 34 讲 平面向量的应用1一船从某河一岸驶向另一岸，船速为 v1，水速为 v2，已知船可垂直到达对岸，则(B)A|v 1|v2|C|v 1| v2| D|v 1|与|v 2|的大小不确定2设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab) (axb)的图象是一条直线，则必有(A)Aa b Ba bC|a|b| D|a| |b|f(x)xa 2x 2ababxb 2，因为 f(x)为直线，即 ab0，所以 ab.3已知 O、N、P 在ABC 所在平面内，且| | | |， 0，且OA OB OC NA NB NC ，则点 O、N、P 依次是ABC 的 (C)PA PB PB PC PC PA A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心由| | | |知，O 为 ABC 。

4、第 53 讲 空间中的平行关系1下列命题正确的是(C)A若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行A 中两条直线可能平行或相交； B、D 中两平面可能平行或相交2已知 1， 2， 3 是三个相互平行的平面，平面 1， 2 之间的距离为 d1，平面2， 3 之间的距离为 d2.直线 l 与 1， 2， 3 分别相交于 P1，P 2，P 3.那么“P 1P2P 2P3”是“d1d 2”的(C)A充分而。

5、第 60 讲 两直线的位置关系1一条光线从点(5,3)射入，与 x 轴正向成 角，遇 x 轴后反射，若 tan 3，则反射线所在的直线方程为(D)A. y3x12 B. y3x12C. y3 x12 D. y3x12反射线所在的直线过点(5，3) ，斜率 ktan 3，由点斜式得 y33( x5)，即 y3x12.2(2017江西景德镇二模)若直线 l1：( m2)xy10 与直线 l2：3xmy 0 互相平行，则 m 的值等于(D)A. 0 或1 或 3 B0 或 3C0 或1 D1 或 3当 m0 时，两条直线方程分别化为 2xy10,3x 0，此时两直线不平行；当 m0 时，由于 l1l2，则 ，解得 m1 或 3.m 23 1m经检验满足条件综上，m1 或 3.3已知直线 l1：y 2x。

6、第 47 讲 合情推理与演绎推理1下列在向量范围内成立的命题，类比推广到复数范围内，仍然为真命题的个数是(C)|ab | |a|b|; |a b| |a|b|；a 2 0; ( ab) 2a 22abb 2.A1 B2C3 D4其中、为真，为假，故选 C.2“因为指数函数 ya x是增函数( 大前提)，而 y( )x是指数函数(小前提) ，所以12y( )x是增函数(结论) ”，上面推理中错误的是(A)12A大前提错，导致结论错B小前提错，导致结论错C推理形式错，导致结论错D大前提和小前提都错，导致结论错3若数列a n的前 n 项和 Snn 2an(nN *)，且 a11，通过计算 a2，a 3，a 4，猜想 an为(B)A. B. 2n 12 2nn 1。

7、第 73 讲 二项式定理1在(x y)20 的展开式中，系数为有理数的项共有(B)43A4 项 B6 项C8 项 D10 项因为 Tr1 C x20r ( y)rC ( )rx20r yr(0r20)，要使系数为有理数，则 rr10 43 r2043必为 4 的倍数，所以 r 可为 0,4,8,12,16,20 共 6 中，故系数为有理数的项有 6 项2(2018广州一模)已知二项式 (2x2 )n的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开1x式中含 项的系数是(A)1xA84 B14C14 D84由所有二项式系数之和等于 128，得 2n128，所以 n7.由 Tr1 C (2x2)7r ( )rC 27r (1) rx143r ，r71x r7令 143r1，得 r5.所以展开式中含 项的系数是 C 22(1) 58。

8、第 1 讲 集合的概念与运算1(2016 全国卷)设集合 Ax|x 24x30，则 AB(D)A(3， ) B(3， )32 32C(1， ) D( ，3)32 32(1)先化简集合 A，B，再利用交集定义求解因为 x24x30，所以 x ，所以32B x|x 32所以 AB x| 5所以 M(RN)R.(2)当 2a10，若 AB，则实数 c 的取值范围是(B)A(0,1 B 1，)C(0,1) D (1，)由 xx 20，得 00，得 0 .即点(2，1)Aa ，其等价命题为 a 点(2 ，1)A 成立,02332 32 3212(2019海南二校联考)某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为_7_。

9、第 21 讲 定积分1 (1cos x )dx 等于(D )2A B2C2 D2(1cos x )dx(xsin x) 2.2 2|2(2018华南师大附中模拟) |x24|d x( C)10A7 B. 223C. D4113|x24|d x (4x 2)dx (4x x3)| 4 .1010 13 10 13 1133(2019甘肃天水模拟)已知 f(x) 则 f(x)dx 的值为(D)x2， x 0，1，1x， x （1，e，)e0A B34 23C. D.23 43f(x)dx x2dx dx x3| ln x| .e010e11x 13 10 e1 434(2019山东部分重点中学第二次联考)直线 y2x 与抛物线 y3x 2 所围成的封闭图形的面积是(D)A. B2253 2C D.3323由 3x 22x，得 x3 或 x1.封闭图形的面积为 (x 2。

10、第 82 讲 曲线的参数方程1(经典真题)已知动点 P，Q 都在曲线 C：Error!(t 为参数 )上，对应参数分别为 t与 t2 (00)(1)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；(2)当 a3 时，曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，求 A，B 两点的距离(1)曲线 C1：Error! 的直角坐标方程为 y32x .曲线 C1 与 x 轴的交点为 ( ，0). 32曲线 C2：Error! 的直角坐标方程为 1. x2a2 y29曲线 C2 与 x 轴的交点为 (a,0)，( a,0). 由 a0，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，知 a . 32(2)当 a3 时，曲线 C2：Error! 为圆 x2y 29. 圆心到直线 y3。

11、第 13 讲 函数与方程1一元二次方程 ax22x 10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(C)Aa0Ca1依题意，充要条件为Error!Error!所以 a0，23所以 x0(2,3)，所以 g(x0)x 02.3(2018山东菏泽一中高三月考) 设函数 f(x)e x2x4，g( x)ln x2x 25，若实数a，b 分别是 f(x)，g(x)的零点，则(A)Ag(a)0 ，且函数 f(x)是增函数，所以 f(x)的零点在(0，1)内，即 00，函数 g(x)的零点在(1，2)内，即 1f(1)0.又函数 g(x)在(0，1)内是增函数，因此， g(a)0)有一个零点，则1x x2 ax 1xa( B)A2 B1 C0 D2因为 f(x)2 x 2 (x a)，1x 1x所以 f(x)f( )，所以若。

12、第 4 讲 函数及其表示1(2017江西九江七校联考) 函数 y 的定义域为(D)9 x2log2x 1A(1,3) B(1,3C(1,0)(0,3) D(1,0)(0,3由题意得Error!所以11 的 x 的取值范围是 12( ， ) .14由题意知，可对不等式分 x0,0x ，x 三段讨论12 12当 x0 时，原不等式为 x1x 1，解得 x ，12 14所以 x0；14当 0x 时，原不等式为 2xx 1，显然成立；12 12当 x 时，原不等式为 2x2x 1，显然成立12 12综上可知，x .147已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1) f (x)x 1，求函数 f(x)的解析式设 f(x)ax 2bx c (a0)，又 f(0)0，所以 c0，所以 f(x)ax 2bx.又因为 f(x1)f(x。

13、第 66 讲 曲线与方程1已知点 A( 2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足 x 2，则点 P 的轨迹是(D)PA PB A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线 (2x，y )， (3x，y)，因为 x 2，所以(2x)(3x)PA PB PA PB y 2x 2，即 y2x 6.2已知 F1(1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点 P 的轨迹是(A)A椭圆 B双曲线C抛物线 D线段由于|PF 1| PF2|2|F 1F2|42 ，所以 P 点轨迹为椭圆3曲线 f(x，y)0 关于直线 xy 20 对称曲线的方程是(D)Af(x 2，y) 0 Bf(x 2，y )0Cf(y2，x2)0 Df(y2，x 2) 0设(x 0，y 0)是 f(x，y )0 上任一点，它关于 xy20 的对称点为(x。

14、第 59 讲 直线的方程1若 xsin ycos 10 的倾斜角 是(C)7 7A. B.7 37C. D.67 514因为 ktan tan tan( )tan ，7 7 67所以 .672(2018绵阳南山中学月考) 若 A(2，3)，B( 3， 2)，直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值范围是(C)Ak 或 k Bk 或 k34 43 43 34C. k D k 34 43 43 34因为 A( 2，3) ，B(3，2)，P(1,1) ，所以 kAP ，k BP ， 3 1 2 1 43 2 1 3 1 34所以 k .34 433点 P(x，y)在以 A(3,1)，B(1,0) ，C (2,0)为顶点的 ABC 的内部运动( 不包括边界)，则 的取值范围是(D)y 2x 1A ，1 B( ，1)12 12C ，1 D( ，1)14 14的。

15、第 61 讲 圆的方程1圆(x 1) 2y 22 关于直线 xy10 对称的圆的方程是(C)A(x 1)2(y2) 2 B( x1) 2(y2) 212 12C(x1) 2( y2) 22 D( x1) 2(y2) 22圆心 (1,0)关于直线 xy 10 的对称点是( 1,2)，所以圆的方程是(x1)2( y 2)22.2点 P(4， 2)与圆 x2y 24 上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)A(x 2)2(y1) 21 B( x2) 2(y1) 24C(x4) 2( y2) 24 D( x2) 2(y1) 21设圆上任一点为 A(x1，y 1)，则 x y 4，PA 连线中点的坐标为( x，y)，21 21则Error!即Error!代入 x y 4，得(x 2) 2(y1) 21.21 213(2017湖南长沙二模)圆 x2y 22x2y10 上的点到直线 xy2 距离的最大。

16、第 63 讲 椭 圆1已知椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，M 是椭圆上的一点，N 是 MF1x216 y212的中点，若|ON| 1，则|MF 1|的长等于(C)A2 B4C6 D5因为|ON |1，所以|MF 2|2，又|MF 1|MF 2|8，所以|MF 1|6.选 C.2(2017江苏五校联考)一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，P(2， )是椭圆3上一点，且|PF 1|，| F1F2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为 (A)A. 1 B. 1x28 y26 x216 y26C. 1 D. 1x28 y24 x216 y24设椭圆的标准方程为 1(ab0) x2a2 y2b2由点(2， )在椭圆上知 1.34a2 3b2又|PF 1|， |F1F2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1| |PF2| 。

17、第 40 讲 数列求和1已知数列a n的前 n 项和 Snn 3，则 a6a 7a 8a 9 等于 (C)A729 B387C604 D854a6a 7a 8a 9S 9S 59 35 3604.2(2018全国模拟)设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，a 4 4，S 515，若 的1anan 1前 m 项和为 ，则 m 的值为( C)1011A8 B9C10 D11设数列a n的首项为 a1，公差为 d.则有 解得 所以 ann，a1 3d 4，5a1 542 d 15，) a1 1，d 1，)所以 ，1anan 1 1n（n 1） 1n 1n 1所以 Sm1 12 12 13 1m 1m 11 ，1m 1 mm 1令 ，解得 m10.mm 1 10113(2018甘肃会宁月考)已知数列 an的通项公式 anlog 2 (nN *)，设其前 n 项和n 1。

18、第 11 讲 幂函数1已知 f(x)x ，若 0ca Bcb aCbac Da bc因为若 x(e 1 ，1)，所以1eln x0，所以 bc.12从而 bca.3.在同一直角坐标系中，函数 f(x)x a(x0)，g(x) log ax 的图象可能是(D)因为 a0，且 a1，所以 f(x)x a 在(0，) 上单调递增，所以排除 A.当 01 时，B、C 中 f(x)与 g(x)的图象矛盾故选 D.4(2017河北武邑第三次调研) 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f (x)x 3，若不等式 f(4t)f(2m mt2)对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是(A)A(， ) B( ，0)2 2C(，0)( ，) D( ， )( ，)2 2 2当 xf(2 mmt 2)对任意实数 t 恒成。

19、第 36 讲 数列的概念及其表示法1数列a n的前 n 项和 Snn 27n3，则(D)AS 3 最小 BS 4 最小CS 7 最小 DS 3、S 4 最小因为 Snn 27n3(n )2 (nN*)，72 374所以 n3 或 n4 时取到最小值2(2018北京海淀模拟)数列 an的前 n 项和为 Sn，若 SnS n1 2n1( n2)，且S23，则 a1a 3 的值为(C)A1 B3C5 D6由条件，当 n2 时，a n2n1，令 n2，则 S2S 13，又 S23，所以 a10.a32315.故 a1a 35.3(2018河南洛阳模拟)设数列 an满足 a12a 22 2a32 n1 an (nN *)，则数n2列a n的通项公式是(C)Aa n Ba n12n 12n 1Ca n Da n12n 12n 1设2 n1 an的前 n 项和为 Tn，因为数列a。

20、第 49 讲 数学归纳法1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步应验证 n 等于(D)12A1 B2C3 D42用数学归纳法证明：当 n 为正奇数时，x ny n能被 x y 整除，第二步假设应写成(D)A假设 nk (k 为正奇数)时命题成立，再推证 nk1 时命题成立B假设 n2k 1 时 (kN *)命题成立，再推证 n2k2 时命题成立C假设 n2k 1 时 (kN *)命题成立，再推证 n2k3 时命题成立D假设 n2k1 时 (kN *)命题成立，再推证 n2k1 时命题成立k 为正奇数时，k 1 为正偶数，A 不正确；2k1 为正奇数时，2k 2 为正偶数，B 不正确；2k1 与 2k3 (k N*)虽为相邻两。