北京四中数学三角形 提高巩固练习

1、求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角. 设在 RtABC 中，C=90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有： 三边之间的关系：a 2+b2=c2(勾股定理). 锐角之间的关系：A+B=90. 边角之间的关系： ， ，. ，h 为斜边上的高. 要点诠释：要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、要点二、解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 RtABC 两 边 两直角边(a，b) 由求A， B=90A， 斜边，一直角边(如 c，a) 由求A， B=90A， 一 边 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如A，b) B=90A， 第 2 页 共 7 页 一 角 ， 锐角。

2、 ， 3 sin 5 C ，则ABC 的面积是( ) A 21 2 B12 C14 D21 3如图所示，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB ， 则 tan B 的值为( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 4 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 4如图所示，小明要测量河内小岛 B 到河边公路l的距离，在 A 点测得BAD30，在 C 点测 得BCD60，又测得 AC50 米，那么小岛 B 到公路l的距离为( ) A25 米 B25 3米 C100 3 3 米 D2525 3米 5如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为 40 cm，高为 55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线 的夹角为 45要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( ) A10 cm B20 cm C30 cm D35 cm 6如图所示，已知坡面的坡度1。

3、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30；。

4、了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题； 5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线） ，会画出任意三角形的角平分线、中线 和高,了解三角形的稳定性. 【知识网络】知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 第 2 页 共 8 页 考考点一、点一、直线直线、射线和线段、射线和线段 1 1直线直线 代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一 个描述性的定义，便于理解直线的意义). 要点诠释：要点诠释： 1 1） 直线的直线的两种表示方法：两种表示方法： (1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线 AB，其中 A、B 是表示直线上两点 的字母； (2)用一个小写字母表示直线，如直线 a. 2 2) )直线和点的两种位置关系直线和点的两种位置关系 (1)点在直线上(或说直线经过某点)； (2)点在直线外(或说直线不经过某点). 3 3) ). .直线的性质：直线的性质： 过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线). 2 2射线射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射。

5、知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、等腰三角形等腰三角形 1 1. .等腰三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2 2. .性质：性质： (1)具有三角形的一切性质. (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60. 3 3. .判定：判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释：要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考考点二、点二、直角三角形直角三角形 1.1.直角三角形：直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2 2 性质：性质： (1)直角三角形中两锐角互余. (2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直。

6、 B C D4. 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C D 5中，三边与面积的关系式为，则（ ） A、 B、 C、 D、6. 在中，的对边分别为，且，则角的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题7. 锐角的面积为，BC4，CA3，则AB_.8. 在中，三边与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A为_9. 中三边分别为，且那么角C= 10中三边分别为，若则角A的大小_11在中，三边与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A为_三、解答题12. 已知的三角内角、有，三边、满足，求证：.13. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且满。

7、识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、基本概念基本概念 1 1. .全等三角形的全等三角形的定义：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.2.全等三角形的性质全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等. 要点诠释要点诠释： 全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等. 3.3.全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） ； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点考点二、二、灵活运用定理灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要 的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来 应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 1. 条件充足时直接应用。

8、 ) A7sin 35 B 7 cos35 C7cos 35 D7tan 35 3河堤、横断面如图所示，堤高 BC5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1:3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平 宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( ) A5 3米 B10 米 C15 米 D10 3米 4如图所示，正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 M、N 分别为 OB、OC 的中点， 则 cosOMN 的值为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D1 第 3 题 第 4 题 第 5 题 5如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为 ( ) A sin h B tan h C cos h Dsinh 6如图所示，在ABC 中，C90，AC16 cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD， 若 3 cos 5 BDC，则 BD 的长是(。

9、了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题； 5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线） ，会画出任意三角形的角平分线、中线 和高，了解三角形的稳定性. 【知识网络】知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 第 2 页 共 10 页 考考点一、点一、直线直线、射线和线段、射线和线段 1 1直线直线 代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一 个描述性的定义，便于理解直线的意义). 要点诠释：要点诠释： 1 1） 直线的直线的两种表示方法：两种表示方法： (1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线 AB，其中 A、B 是表示直线上两点 的字母； (2)用一个小写字母表示直线，如直线 a. 2 2) )直线和点的两种位置关系直线和点的两种位置关系 (1)点在直线上(或说直线经过某点)； (2)点在直线外(或说直线不经过某点). 3 3) ). .直线的性质：直线的性质： 过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线). 2 2射线射线 直线上一点和它一旁的部分叫做。

10、有关问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、等腰三角形等腰三角形 1 1. .等腰三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2 2性质：性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60 要点诠释：要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3 3判定：判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形 要点诠释：要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形 考考点二、点二、直直角三角形角三角形 1 1. .直角三角形：直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2 2性质：性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30锐角所。

11、 C.三条，六条 D.四条，四条 3下列四个图中，能用1、AOB、O 三种方法表示同一个的是( ). 4一个三角形的三个内角中( ). A.至少有一个钝角 B.至少有一个直角 C.至多有一个锐角 D.至少有两个锐角 5 （2014 秋上蔡县校级期末）如果三角形的三边长分别为 a、a1、a+1，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba2 Ca2 D0a2 6. 如图，某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么正确的方法是( ). A.带去 B.带去 C.带去 D.带和去 二、填空题二、填空题 7 （2015 秋迁安市期中）钟表在 3 点 40 分时，它的时针和分针所成的角是 8一个角的余角比它的补角还多，则这个角等于_. 9两个角，它们的比是 3:2，其差为 36，则这两个角的关系是_. 10直角三角形的两个锐角的平分线所成的锐角为_. 11如图所示，A=50，B=40，C。

12、A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 3如果线段 a、b、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 4下列条件能确定ABC 是直角三角形的条件有( ) (1)A+B=C；(2)A:B:C=1:2:3；(3)A=90-B；(4)A=B=C. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. 已知：ABC 中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. .（2015泰安）如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，垂足为 E，BFAC 交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平分ABF，AE=2BF给出下列四个结论：DE=DF；DB=DC；ADBC；AC=3BF，其中正确 的结论共有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题二、填空题 7如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_度 第 2 页 共 8。

13、176;，AB=AC，D 为 AC 的中点，AEBD 交 BC 于 E，若BDE=，ADB 的大小是（ ） A B C D 3如图，ABC 中，C 为钝角，CF 为 AB 上的中线，BE 为 AC 上的高，若 CF=BE，则ACF 的大小是 （ ）. A45 B60 C30 D不确定 4如图，ABC 中，BAC=90 ADBC，AE 平分BAC，B=2C，DAE 的度数是( ) . A. 45 B. 20 C. 30 D. 15 第 2 页 共 9 页 5 （2014 春安岳县校级期中）如图，六边形 ABCDEF 中，每一个内角都是 120，AB=12，BC=30，CD=8， DE=28求这个六边形的周长为（ ） A125 B126 C116 D108 6. 如图，ABBC，BEAC，12，ADAB，则（ ）. A1EFD BBEEC CBFDFCD。

14、 2如图，标有角号的 7 个角中共有_对内错角，_对同位角，_对同旁内角.( ) A.4、2、4 B.4、3、4 C.3、2、4 D.4、2、3 3把一张长方形的纸片按下图所示的方式折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的 C 点落在 BM 或 BM 的延长线上，则EMF 的度数是( ). A.85 B.90 C.95 D.100 4如图，在ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD，CE 的中点， 且 SABC=4cm 2，则阴影面积 等于( ). A.2cm 2 B.1cm2 C. cm 2 D. cm 2 5 （2014 秋金昌期末）钟表 4 点 30 分时，时针与分针所成的角的度数为（ ） A45 B30 C60 D75 6. ABC 中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 第 2 页 共 7 页 二、填空题二、填空题 7如图，ADBC，BD 平分ABC。

15、中： （1）ACBD； （2）BC=DE； （3）DBC= 1 2 DAB； （4）ABE 是正三角形，其中正确的是（ ） A （1）和（2） B （2）和（3） C （3）和（4） D （1）和（4） 3.如图，等腰三角形 ABC 中，BAC=90，在底边 BC 上截取 BD=AB，过 D 作 DEBC 交 AC 于 E，连接 AD， 则图中等腰三角形的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 4.如图，三角形纸片 ABC 中，B=2C，把三角形纸片沿直线 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的 E 处，那么 下列等式成立的是（ ）AAC=AD+BD BAC=AB+BD CAC=AD+CD DAC=AB+ CD 5 （2012镇江）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得 到一个正六边形，记为第 1 个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边 三角形，记为第 2 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正 六边形（如图。